线性代数/特征值和特征向量/解答

解答

问题 1

对于每一个，找到特征多项式和特征值。

1. ${\begin{pmatrix}10&-9\\4&-2\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}0&3\\7&0\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$
5. ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

解答

1. 这个

   $0={\begin{vmatrix}10-x&-9\\4&-2-x\end{vmatrix}}=(10-x)(-2-x)-(-36)$

   简化为特征方程$x^{2}-8x+16=0$。因为该方程分解为$(x-4)^{2}$只有一个特征值$\lambda _{1}=4$.
2. $0=(1-x)(3-x)-8=x^{2}-4x-5$；$\lambda _{1}=5$, $\lambda _{2}=-1$
3. $x^{2}-21=0$; $\lambda _{1}={\sqrt {21}}$, $\lambda _{2}=-{\sqrt {21}}$
4. $x^{2}=0$; $\lambda _{1}=0$
5. $x^{2}-2x+1=0$; $\lambda _{1}=1$

本练习建议所有读者尝试。

问题 2

对于每个矩阵，求特征方程，特征值以及相关的特征向量。

1. ${\begin{pmatrix}3&0\\8&-1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}3&2\\-1&0\end{pmatrix}}$

解答

1. 特征方程为 $(3-x)(-1-x)=0$. 其根，即特征值，为 $\lambda _{1}=3$ 和 $\lambda _{2}=-1$. 为了找到特征向量，我们考虑这个方程。

   ${\begin{pmatrix}3-x&0\\8&-1-x\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

   对于与 $\lambda _{1}=3$ 相关的特征向量，我们考虑得到的线性方程组。

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}0\cdot b_{1}&+&0\cdot b_{2}&=&0\\8\cdot b_{1}&+&-4\cdot b_{2}&=&0\end{array}}$

   特征空间是所有第二个分量是第一个分量两倍的向量集合。

   $\{{\begin{pmatrix}b_{2}/2\\b_{2}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b_{2}\in \mathbb {C} \}\qquad {\begin{pmatrix}3&0\\8&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{2}/2\\b_{2}\end{pmatrix}}=3\cdot {\begin{pmatrix}b_{2}/2\\b_{2}\end{pmatrix}}$

   （这里，参数是$b_{2}$，因为这是上面系统中自由的变量。）因此，这是一个与特征值$3$相关的特征向量。

   ${\begin{pmatrix}1/2\\1\end{pmatrix}}$

   寻找与$\lambda _{2}=-1$相关的特征向量是类似的。这个系统

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}4\cdot b_{1}&+&0\cdot b_{2}&=&0\\8\cdot b_{1}&+&0\cdot b_{2}&=&0\end{array}}$

   导致第一个分量为零的向量集合。

   $\{{\begin{pmatrix}0\\b_{2}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b_{2}\in \mathbb {C} \}\qquad {\begin{pmatrix}3&0\\8&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\b_{2}\end{pmatrix}}=-1\cdot {\begin{pmatrix}0\\b_{2}\end{pmatrix}}$

   因此，这是一个与$\lambda _{2}$相关的特征向量。

   ${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

2. 特征方程是

   $0={\begin{vmatrix}3-x&2\\-1&-x\end{vmatrix}}=x^{2}-3x+2=(x-2)(x-1)$

   因此，特征值为 $\lambda _{1}=2$ 和 $\lambda _{2}=1$。为了找到特征向量，请考虑以下系统。

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}(3-x)\cdot b_{1}&+&2\cdot b_{2}&=&0\\-1\cdot b_{1}&-&x\cdot b_{2}&=&0\end{array}}$

   对于 $\lambda _{1}=2$，我们得到

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}1\cdot b_{1}&+&2\cdot b_{2}&=&0\\-1\cdot b_{1}&-&2\cdot b_{2}&=&0\end{array}}$

   导致以下特征空间和特征向量。

   $\{{\begin{pmatrix}-2b_{2}\\b_{2}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b_{2}\in \mathbb {C} \}\qquad {\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}}$

   对于 $\lambda _{2}=1$，该系统为

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}2\cdot b_{1}&+&2\cdot b_{2}&=&0\\-1\cdot b_{1}&-&1\cdot b_{2}&=&0\end{array}}$

   导致以下结果。

   $\{{\begin{pmatrix}-b_{2}\\b_{2}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b_{2}\in \mathbb {C} \}\qquad {\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$

问题 3

找到该矩阵的特征方程，以及特征值和相关特征向量。提示：特征值是复数。

${\begin{pmatrix}-2&-1\\5&2\end{pmatrix}}$

解答

特征方程

$0={\begin{vmatrix}-2-x&-1\\5&2-x\end{vmatrix}}=x^{2}+1$

具有复数根 $\lambda _{1}=i$ 和 $\lambda _{2}=-i$。此系统

${\begin{array}{*{2}{rc}r}(-2-x)\cdot b_{1}&-&1\cdot b_{2}&=&0\\5\cdot b_{1}&&(2-x)\cdot b_{2}&=&0\end{array}}$

对于 $\lambda _{1}=i$ 高斯消元法进行如下化简。

${\begin{array}{*{2}{rc}r}(-2-i)\cdot b_{1}&-&1\cdot b_{2}&=&0\\5\cdot b_{1}&-&(2-i)\cdot b_{2}&=&0\end{array}}{\xrightarrow[{}]{(-5/(-2-i))\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{array}{*{2}{rc}r}(-2-i)\cdot b_{1}&-&1\cdot b_{2}&=&0\\&&0&=&0\end{array}}$

(对于右下角的计算，求出共同的分母

${\frac {5}{-2-i}}-(2-i)={\frac {5}{-2-i}}-{\frac {-2-i}{-2-i}}\cdot (2-i)={\frac {5-(-5)}{-2-i}}$

从而得到 $0=0$ 方程）。 这些是最终的特征空间和特征向量。

$\{{\begin{pmatrix}(1/(-2-i))b_{2}\\b_{2}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b_{2}\in \mathbb {C} \}\qquad {\begin{pmatrix}1/(-2-i)\\1\end{pmatrix}}$

对于 $\lambda _{2}=-i$ 该系统

${\begin{array}{*{2}{rc}r}(-2+i)\cdot b_{1}&-&1\cdot b_{2}&=&0\\5\cdot b_{1}&-&(2+i)\cdot b_{2}&=&0\end{array}}{\xrightarrow[{}]{(-5/(-2+i))\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{array}{*{2}{rc}r}(-2+i)\cdot b_{1}&-&1\cdot b_{2}&=&0\\&&0&=&0\end{array}}$

导致了这个结果。

$\{{\begin{pmatrix}(1/(-2+i))b_{2}\\b_{2}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b_{2}\in \mathbb {C} \}\qquad {\begin{pmatrix}1/(-2+i)\\1\end{pmatrix}}$

问题 4

求解此矩阵的特征多项式、特征值和相关特征向量。

${\begin{pmatrix}1&1&1\\0&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}}$

解答

特征方程是

$0={\begin{vmatrix}1-x&1&1\\0&-x&1\\0&0&1-x\end{vmatrix}}=(1-x)^{2}(-x)$

因此特征值为 $\lambda _{1}=1$（该方程的重复根）和 $\lambda _{2}=0$。对于其他情况，考虑此系统。

${\begin{array}{*{3}{rc}r}(1-x)\cdot b_{1}&+&b_{2}&+&b_{3}&=&0\\&&-x\cdot b_{2}&+&b_{3}&=&0\\&&&&(1-x)\cdot b_{3}&=&0\end{array}}$

当 $x=\lambda _{1}=1$ 时，解集为这个特征空间。

$\{{\begin{pmatrix}b_{1}\\0\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b_{1}\in \mathbb {C} \}$

当 $x=\lambda _{2}=0$ 时，解集就是这个特征空间。

$\{{\begin{pmatrix}-b_{2}\\b_{2}\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b_{2}\in \mathbb {C} \}$

所以这些是与 $\lambda _{1}=1$ 和 $\lambda _{2}=0$ 相关的特征向量。

${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}$

本练习建议所有读者尝试。

问题 5

对于每个矩阵，求特征方程，特征值以及相关的特征向量。

1. ${\begin{pmatrix}3&-2&0\\-2&3&0\\0&0&5\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\4&-17&8\end{pmatrix}}$

解答

1. 特征方程是

   $0={\begin{vmatrix}3-x&-2&0\\-2&3-x&0\\0&0&5-x\end{vmatrix}}=x^{3}-11x^{2}+35x-25=(x-1)(x-5)^{2}$

   因此，特征值为 $\lambda _{1}=1$ 以及重复特征值 $\lambda _{2}=5$。要查找特征向量，请考虑此系统。

   ${\begin{array}{*{3}{rc}r}(3-x)\cdot b_{1}&-&2\cdot b_{2}&&&=&0\\-2\cdot b_{1}&+&(3-x)\cdot b_{2}&&&=&0\\&&&&(5-x)\cdot b_{3}&=&0\end{array}}$

   对于 $\lambda _{1}=1$ 我们得到

   ${\begin{array}{*{3}{rc}r}2\cdot b_{1}&-&2\cdot b_{2}&&&=&0\\-2\cdot b_{1}&+&2\cdot b_{2}&&&=&0\\&&&&4\cdot b_{3}&=&0\end{array}}$

   导致以下特征空间和特征向量。

   $\{{\begin{pmatrix}b_{2}\\b_{2}\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b_{2}\in \mathbb {C} \}\qquad {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}$

   对于 $\lambda _{2}=5$，该系统为

   ${\begin{array}{*{3}{rc}r}-2\cdot b_{1}&-&2\cdot b_{2}&&&=&0\\-2\cdot b_{1}&-&2\cdot b_{2}&&&=&0\\&&&&0\cdot b_{3}&=&0\end{array}}$

   导致以下结果。

   $\{{\begin{pmatrix}-b_{2}\\b_{2}\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\b_{3}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b_{2},b_{3}\in \mathbb {C} \}\qquad {\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

2. 特征方程是

   $0={\begin{vmatrix}-x&1&0\\0&-x&1\\4&-17&8-x\end{vmatrix}}=-x^{3}+8x^{2}-17x+4=-1\cdot (x-4)(x^{2}-4x+1)$

   特征值为 $\lambda _{1}=4$ 和（使用二次方程） $\lambda _{2}=2+{\sqrt {3}}$ 和 $\lambda _{3}=2-{\sqrt {3}}$。为了求特征向量，考虑此系统。

   ${\begin{array}{*{3}{rc}r}-x\cdot b_{1}&+&b_{2}&&&=&0\\&&-x\cdot b_{2}&+&b_{3}&=&0\\4\cdot b_{1}&-&17\cdot b_{2}&+&(8-x)\cdot b_{3}&=&0\end{array}}$

   将 $x=\lambda _{1}=4$ 代入得到系统

   ${\begin{array}{*{3}{rc}r}-4\cdot b_{1}&+&b_{2}&&&=&0\\&&-4\cdot b_{2}&+&b_{3}&=&0\\4\cdot b_{1}&-&17\cdot b_{2}&+&4\cdot b_{3}&=&0\end{array}}{\xrightarrow[{}]{\rho _{1}+\rho _{3}}}{\begin{array}{*{3}{rc}r}-4\cdot b_{1}&+&b_{2}&&&=&0\\&&-4\cdot b_{2}&+&b_{3}&=&0\\&&-16\cdot b_{2}&+&4\cdot b_{3}&=&0\end{array}}{\xrightarrow[{}]{-4\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{array}{*{3}{rc}r}-4\cdot b_{1}&+&b_{2}&&&=&0\\&&-4\cdot b_{2}&+&b_{3}&=&0\\&&&&0&=&0\end{array}}$

   导致以下特征空间和特征向量。

   $V_{4}=\{{\begin{pmatrix}(1/16)\cdot b_{3}\\(1/4)\cdot b_{3}\\b_{3}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b_{2}\in \mathbb {C} \}\qquad {\begin{pmatrix}1\\4\\16\end{pmatrix}}$

   将 $x=\lambda _{2}=2+{\sqrt {3}}$ 代入得到方程组

   ${\begin{array}{*{3}{rc}r}(-2-{\sqrt {3}})\cdot b_{1}&+&b_{2}&&&=&0\\&&(-2-{\sqrt {3}})\cdot b_{2}&+&b_{3}&=&0\\4\cdot b_{1}&-&17\cdot b_{2}&+&(6-{\sqrt {3}})\cdot b_{3}&=&0\end{array}}$

   ${\xrightarrow[{}]{(-4/(-2-{\sqrt {3}}))\rho _{1}+\rho _{3}}}{\begin{array}{*{3}{rc}r}(-2-{\sqrt {3}})\cdot b_{1}&+&b_{2}&&&=&0\\&&(-2-{\sqrt {3}})\cdot b_{2}&+&b_{3}&=&0\\&+&(-9-4{\sqrt {3}})\cdot b_{2}&+&(6-{\sqrt {3}})\cdot b_{3}&=&0\end{array}}$

   (第三个等式中的中间系数等于数字 $(-4/(-2-{\sqrt {3}}))-17$; 找到 $-2-{\sqrt {3}}$ 的公分母，然后通过将分数的上下乘以 $-2+{\sqrt {3}}$ 来对分母进行有理化。

   ${\xrightarrow[{}]{((9+4{\sqrt {3}})/(-2-{\sqrt {3}}))\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{array}{*{3}{rc}r}(-2-{\sqrt {3}})\cdot b_{1}&+&b_{2}&&&=&0\\&&(-2-{\sqrt {3}})\cdot b_{2}&+&b_{3}&=&0\\&&&&0&=&0\end{array}}$

   这将导致以下特征空间和特征向量。

   $V_{2+{\sqrt {3}}}=\{{\begin{pmatrix}(1/(2+{\sqrt {3}})^{2})\cdot b_{3}\\(1/(2+{\sqrt {3}}))\cdot b_{3}\\b_{3}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b_{3}\in \mathbb {C} \}\qquad {\begin{pmatrix}(1/(2+{\sqrt {3}})^{2})\\(1/(2+{\sqrt {3}}))\\1\end{pmatrix}}$

   最后，将 $x=\lambda _{3}=2-{\sqrt {3}}$ 代入，得到以下系统

   ${\begin{array}{*{3}{rc}r}(-2+{\sqrt {3}})\cdot b_{1}&+&b_{2}&&&=&0\\&&(-2+{\sqrt {3}})\cdot b_{2}&+&b_{3}&=&0\\4\cdot b_{1}&-&17\cdot b_{2}&+&(6+{\sqrt {3}})\cdot b_{3}&=&0\end{array}}$

   ${\begin{aligned}&{\xrightarrow[{}]{(-4/(-2+{\sqrt {3}}))\rho _{1}+\rho _{3}}}{\begin{array}{*{3}{rc}r}(-2+{\sqrt {3}})\cdot b_{1}&+&b_{2}&&&=&0\\&&(-2+{\sqrt {3}})\cdot b_{2}&+&b_{3}&=&0\\&&(-9+4{\sqrt {3}})\cdot b_{2}&+&(6+{\sqrt {3}})\cdot b_{3}&=&0\end{array}}\\&{\xrightarrow[{}]{((9-4{\sqrt {3}})/(-2+{\sqrt {3}}))\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{array}{*{3}{rc}r}(-2+{\sqrt {3}})\cdot b_{1}&+&b_{2}&&&=&0\\&&(-2+{\sqrt {3}})\cdot b_{2}&+&b_{3}&=&0\\&&&&0&=&0\end{array}}\end{aligned}}$

   这给出了特征空间和特征向量。

   $V_{2-{\sqrt {3}}}=\{{\begin{pmatrix}(1/(2+{\sqrt {3}})^{2})\cdot b_{3}\\(1/(2-{\sqrt {3}}))\cdot b_{3}\\b_{3}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b_{3}\in \mathbb {C} \}\qquad {\begin{pmatrix}(1/(-2+{\sqrt {3}})^{2})\\(1/(-2+{\sqrt {3}}))\\1\end{pmatrix}}$

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问题 6

设 $t:{\mathcal {P}}_{2}\to {\mathcal {P}}_{2}$ 为

$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\mapsto (5a_{0}+6a_{1}+2a_{2})-(a_{1}+8a_{2})x+(a_{0}-2a_{2})x^{2}.$

求其特征值和相应的特征向量。

解答

关于自然基底 $B=\langle 1,x,x^{2}\rangle$，其矩阵表示为：

${\rm {Rep}}_{B,B}(t)={\begin{pmatrix}5&6&2\\0&-1&-8\\1&0&-2\end{pmatrix}}$

因此特征方程为：

$0={\begin{pmatrix}5-x&6&2\\0&-1-x&-8\\1&0&-2-x\end{pmatrix}}=(5-x)(-1-x)(-2-x)-48-2\cdot (-1-x)$

为 $0=-x^{3}+2x^{2}+15x-36=-1\cdot (x+4)(x-3)^{2}$。为了找到相应的特征向量，考虑以下方程组：

${\begin{array}{*{3}{rc}r}(5-x)\cdot b_{1}&+&6\cdot b_{2}&+&2\cdot b_{3}&=&0\\&&(-1-x)\cdot b_{2}&-&8\cdot b_{3}&=&0\\b_{1}&&&+&(-2-x)\cdot b_{3}&=&0\end{array}}$

将 $x=\lambda _{1}=4$ 代入，得到：

${\begin{array}{*{3}{rc}r}b_{1}&+&6\cdot b_{2}&+&2\cdot b_{3}&=&0\\&&-5\cdot b_{2}&-&8\cdot b_{3}&=&0\\b_{1}&&&-&6\cdot b_{3}&=&0\end{array}}{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{array}{*{3}{rc}r}b_{1}&+&6\cdot b_{2}&+&2\cdot b_{3}&=&0\\&&-5\cdot b_{2}&-&8\cdot b_{3}&=&0\\&&-6\cdot b_{2}&-&8\cdot b_{3}&=&0\end{array}}{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{array}{*{3}{rc}r}b_{1}&+&6\cdot b_{2}&+&2\cdot b_{3}&=&0\\&&-5\cdot b_{2}&-&8\cdot b_{3}&=&0\\&&-6\cdot b_{2}&-&8\cdot b_{3}&=&0\end{array}}$

问题 7

找到此映射的特征值和特征向量 $t:{\mathcal {M}}_{2}\to {\mathcal {M}}_{2}$.

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}2c&a+c\\b-2c&d\end{pmatrix}}$

解答

$\lambda =1,{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}{\text{ and }}{\begin{pmatrix}2&3\\1&0\end{pmatrix}}$, $\lambda =-2,{\begin{pmatrix}-1&0\\1&0\end{pmatrix}}$, $\lambda =-1,{\begin{pmatrix}-2&1\\1&0\end{pmatrix}}$

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问题 8

求微分算子$d/dx:{\mathcal {P}}_{3}\to {\mathcal {P}}_{3}$的特征值和对应的特征向量。

解答

固定自然基$B=\langle 1,x,x^{2},x^{3}\rangle$。该映射的作用是$1\mapsto 0$，$x\mapsto 1$，$x^{2}\mapsto 2x$，和$x^{3}\mapsto 3x^{2}$，它的表示很容易计算。

$T={\rm {Rep}}_{B,B}(d/dx)={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}}_{B,B}$

我们可以通过以下计算找到特征值。

$0=\left|T-xI\right|={\begin{vmatrix}-x&1&0&0\\0&-x&2&0\\0&0&-x&3\\0&0&0&-x\end{vmatrix}}=x^{4}$

因此该映射只有一个特征值$\lambda =0$。为了找到相关的特征向量，我们需要解以下方程：

${\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}}_{B,B}{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\b_{4}\end{pmatrix}}_{B}=0\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\b_{4}\end{pmatrix}}_{B}\qquad \Longrightarrow \qquad b_{2}=0,b_{3}=0,b_{4}=0$

获得此特征空间。

$\{{\begin{pmatrix}b_{1}\\0\\0\\0\end{pmatrix}}_{B}\,{\big |}\,b_{1}\in \mathbb {C} \}=\{b_{1}+0\cdot x+0\cdot x^{2}+0\cdot x^{3}\,{\big |}\,b_{1}\in \mathbb {C} \}=\{b_{1}\,{\big |}\,b_{1}\in \mathbb {C} \}$

问题 9

证明

三角矩阵（上三角或下三角）的特征值为对角线上的元素。

解答

三角矩阵 $T-xI$ 的行列式是沿着对角线向下乘积，因此它可以分解成 $t_{i,i}-x$ 项的乘积。

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问题 10

找到 $2\!\times \!2$ 矩阵的特征多项式公式。

解答

只需展开 $T-xI$ 的行列式。

${\begin{vmatrix}a-x&c\\b&d-x\end{vmatrix}}=(a-x)(d-x)-bc=x^{2}+(-a-d)\cdot x+(ad-bc)$

问题 11

证明变换的特征多项式是定义明确的。

解答

该变换的任何两个表示都是相似的，而相似矩阵具有相同的特征多项式。

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问题 12

1. 在任何非平凡向量空间中，任何非${\vec {0}}$ 向量可以是特征向量吗？也就是说，给定一个非平凡$V$ 中的${\vec {v}}\neq {\vec {0}}$，是否存在变换$t:V\to V$ 和一个标量$\lambda \in \mathbb {R}$ 使得$t({\vec {v}})=\lambda {\vec {v}}$？
2. 给定一个标量$\lambda$，在任何非平凡向量空间中，任何非${\vec {0}}$ 向量可以是与特征值$\lambda$ 相关的特征向量吗？

解答

1. 是的，使用$\lambda =1$ 和恒等映射。
2. 是的，使用乘以$\lambda$ 的变换。

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问题 13

假设$t:V\to V$ 和$T={\rm {Rep}}_{B,B}(t)$。证明$T$ 的与$\lambda$ 相关的特征向量是（关于相同基）由$T-\lambda I$ 所表示的映射的核中的非${\vec {0}}$ 向量。

解答

如果 $t({\vec {v}})=\lambda \cdot {\vec {v}}$，则在映射 $t-\lambda \cdot {\mbox{id}}$ 下 ${\vec {v}}\mapsto {\vec {0}}$。

问题 14

证明如果 $a,\ldots ,\,d$ 都是整数，并且 $a+b=c+d$，则

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

具有整数特征值，即 $a+b$ 和 $a-c$。

解答

特征方程

$0={\begin{vmatrix}a-x&b\\c&d-x\end{vmatrix}}=(a-x)(d-x)-bc$

简化为 $x^{2}+(-a-d)\cdot x+(ad-bc)$。检查值 $x=a+b$ 和 $x=a-c$ 满足方程（在 $a+b=c+d$ 条件下）是常规的。

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问题 15

证明如果 $T$ 是非奇异的，并且具有特征值 $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$，则 $T^{-1}$ 具有特征值 $1/\lambda _{1},\dots ,1/\lambda _{n}$。反之是否成立？

解答

考虑一个特征空间 $V_{\lambda }$。任何 ${\vec {w}}\in V_{\lambda }$ 都是某个 ${\vec {v}}\in V_{\lambda }$（即 ${\vec {v}}=(1/\lambda )\cdot {\vec {w}}$）的图像 ${\vec {w}}=\lambda \cdot {\vec {v}}$。因此，在 $V_{\lambda }$（这是一个非平凡的子空间）上，$t^{-1}$ 的作用为 $t^{-1}({\vec {w}})={\vec {v}}=(1/\lambda )\cdot {\vec {w}}$，因此 $1/\lambda$ 是 $t^{-1}$ 的一个特征值。

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问题 16

假设 $T$ 是 $n\!\times \!n$ 并且 $c,d$ 是标量。

1. 证明如果 $T$ 有特征值 $\lambda$ 以及与之相关的特征向量 ${\vec {v}}$ ，那么 ${\vec {v}}$ 是 $cT+dI$ 与特征值 $c\lambda +d$ 相关的特征向量。
2. 证明如果 $T$ 可对角化，那么 $cT+dI$ 也是可对角化的。

解答

1. 我们有 $(cT+dI){\vec {v}}=cT{\vec {v}}+dI{\vec {v}}=c\lambda {\vec {v}}+d{\vec {v}}=(c\lambda +d)\cdot {\vec {v}}$.
2. 假设 $S=PTP^{-1}$ 是对角矩阵。那么 $P(cT+dI)P^{-1}=P(cT)P^{-1}+P(dI)P^{-1}=cPTP^{-1}+dI=cS+dI$ 也是对角矩阵。

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问题 17

证明 $\lambda$ 是 $T$ 的特征值当且仅当由 $T-\lambda I$ 表示的映射不是同构。

解答

标量 $\lambda$ 是特征值当且仅当变换 $t-\lambda {\mbox{id}}$ 是奇异的。一个变换是奇异的当且仅当它不是同构（也就是说，一个变换是同构当且仅当它是非奇异的）。

问题 18

1. 证明如果 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，那么 $\lambda ^{k}$ 是 $A^{k}$ 的特征值。
2. 这个推论有什么问题？“如果 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，并且 $\mu$ 是 $B$ 的特征值，那么 $\lambda \mu$ 是 $AB$ 的特征值，因为如果 $A{\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}$ 并且 $B{\vec {x}}=\mu {\vec {x}}$ 那么 $AB{\vec {x}}=A\mu {\vec {x}}=\mu A{\vec {x}}=\mu \lambda {\vec {x}}$”？

(Strang 1980)

解答

1. 如果特征值 $\lambda$ 与特征向量 ${\vec {x}}$ 相关联，那么 $A^{k}{\vec {x}}=A\cdots A{\vec {x}}=A^{k-1}\lambda {\vec {x}}=\lambda A^{k-1}{\vec {x}}=\cdots =\lambda ^{k}{\vec {x}}$。(可以通过对 $k$ 进行归纳来得到完整的细节。)
2. 与 $\lambda$ 相关的特征向量可能不是与 $\mu$ 相关的特征向量。

问题 19

矩阵等价矩阵具有相同的特征值吗？

解答

不。这两个相同大小、相同秩的矩阵具有不同的特征值。

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}}$

问题 20

证明一个具有实数元素且行数为奇数的方阵至少有一个实特征值。

解答

特征多项式为奇次方，因此至少有一个实根。

问题 21

对角化矩阵。

${\begin{pmatrix}-1&2&2\\2&2&2\\-3&-6&-6\end{pmatrix}}$

解答

特征多项式 $x^{3}-5x^{2}+6x$ 有不同的根 $\lambda _{1}=0$, $\lambda _{2}=-2$, 以及 $\lambda _{3}=-3$。因此，该矩阵可以对角化为如下形式。

${\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-2&0\\0&0&-3\end{pmatrix}}$

问题 22

假设 $P$ 是一个非奇异的 $n\!\times \!n$ 矩阵。证明**相似变换**映射 $t_{P}:{\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}\to {\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}$，将 $T\mapsto PTP^{-1}$，是一个同构。

解答

我们必须证明它是单射和满射，并且它遵守矩阵加法和标量乘法的运算。

为了证明它是单射的，假设 $t_{P}(T)=t_{P}(S)$，也就是说，假设 $PTP^{-1}=PSP^{-1}$，并注意到用 $P^{-1}$ 左乘和用 $P$ 右乘两边得到 $T=S$。为了证明它是满射的，考虑 $S\in {\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}$ 并观察到 $S=t_{P}(P^{-1}SP)$.

映射 $t_{P}$ 保持矩阵加法，因为 $t_{P}(T+S)=P(T+S)P^{-1}=(PT+PS)P^{-1}=PTP^{-1}+PSP^{-1}=t_{P}(T+S)$ 来自我们所见过的矩阵乘法和加法的性质。标量乘法类似：$t_{P}(cT)=P(c\cdot T)P^{-1}=c\cdot (PTP^{-1})=c\cdot t_{P}(T)$.

? 问题 23

证明如果 $A$ 是一个 $n$ 阶方阵，并且每一行（列）的和都为 $c$，那么 $c$ 是 $A$ 的特征根。（Morrison 1967）

解答

这是在引用的来源中给出的答案。

如果 $A$ 特征函数的自变量等于 $c$，将前 $(n-1)$ 行（列）加到 $n$ 行（列），得到一个行列式，它的 $n$ 行（列）为零。因此，$c$ 是 $A$ 的一个特征根。

参考资料

• Morrison, Clarence C. (proposer) (1967), "Quickie", Mathematics Magazine, 40 (4): 232.
• Strang, Gilbert (1980), Linear Algebra and its Applications (第二版 ed.), Harcourt Brace Jovanovich.