线性代数/特征值和特征向量

在本节中，我们将重点关注推论 2.4的属性。

定义 3.1

一个变换$t:V\to V$ 有一个标量特征值 $\lambda$，如果存在一个非零特征向量 ${\vec {\zeta }}\in V$ 使得 $t({\vec {\zeta }})=\lambda \cdot {\vec {\zeta }}$。

("Eigen" 是德语，意思是 "特征" 或 "独特"；有些作者称这些为特征值和向量。没有作者称它们为 "独特的"。)

示例 3.2

投影映射

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi }{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}\qquad x,y,z\in \mathbb {C}$

有一个特征值为 $1$，与以下形式的任何特征向量相关联：

${\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}$

其中 $x$ 和 $y$ 是标量，其中至少一个是非 $0$。另一方面， $2$ 不是 $\pi$ 的特征值，因为没有非 ${\vec {0}}$ 向量被加倍。

这个例子说明了为什么“非-${\vec {0}}$”出现在定义中。不允许${\vec {0}}$ 作为特征向量将消除平凡特征值。

示例 3.3

平凡空间$\{{\vec {0}}\,\}$ 上唯一的变换是

${\vec {0}}\mapsto {\vec {0}}$.

这个映射没有特征值，因为没有非-${\vec {0}}$ 向量${\vec {v}}$ 被映射到它们自身的标量倍数$\lambda \cdot {\vec {v}}$。

示例 3.4

考虑同态$t:{\mathcal {P}}_{1}\to {\mathcal {P}}_{1}$，由$c_{0}+c_{1}x\mapsto (c_{0}+c_{1})+(c_{0}+c_{1})x$ 给出。的范围$t$ 是一个维度的。因此，将$t$ 应用于范围内的向量将简单地重新缩放该向量：$c+cx\mapsto (2c)+(2c)x$。也就是说，$t$ 具有$2$ 的特征值，它与形式为$c+cx$ 的特征向量相关，其中$c\neq 0$。

此地图的特征值为 $0$，与形式为 $c-cx$ 的特征向量相关联，其中 $c\neq 0$。

定义 3.5

方阵 $T$ 具有一个标量特征值 $\lambda$，与非零特征向量 ${\vec {\zeta }}$ 相关联，如果 $T{\vec {\zeta }}=\lambda \cdot {\vec {\zeta }}$。

备注 3.6

虽然从映射到矩阵的这种扩展是显而易见的，但有一点必须说明。映射的特征值也是表示该映射的矩阵的特征值，因此相似矩阵具有相同的特征值。但特征向量则不同——相似矩阵不一定具有相同的特征向量。

例如，再次考虑变换 $t:{\mathcal {P}}_{1}\to {\mathcal {P}}_{1}$，由 $c_{0}+c_{1}x\mapsto (c_{0}+c_{1})+(c_{0}+c_{1})x$ 给出。它具有一个特征值为 $2$，与形式为 $c+cx$ 的特征向量相关联，其中 $c\neq 0$。如果我们用 $B=\langle 1+1x,1-1x\rangle$ 来表示 $t$

$T={\rm {Rep}}_{B,B}(t)={\begin{pmatrix}2&0\\0&0\end{pmatrix}}$

然后 $2$ 是 $T$ 的特征值，与这些特征向量相关联。

$\{{\begin{pmatrix}c_{0}\\c_{1}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,{\begin{pmatrix}2&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{0}\\c_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2c_{0}\\2c_{1}\end{pmatrix}}\}=\{{\begin{pmatrix}c_{0}\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c_{0}\in \mathbb {C} ,\,c_{0}\neq 0\}$

另一方面，将 $t$ 相对于 $D=\langle 2+1x,1+0x\rangle$ 表示给出

$S={\rm {Rep}}_{D,D}(t)={\begin{pmatrix}3&1\\-3&-1\end{pmatrix}}$

并且 $S$ 与特征值 $2$ 相关联的特征向量是这些。

$\{{\begin{pmatrix}c_{0}\\c_{1}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,{\begin{pmatrix}3&1\\-3&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{0}\\c_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2c_{0}\\2c_{1}\end{pmatrix}}\}=\{{\begin{pmatrix}0\\c_{1}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c_{1}\in \mathbb {C} ,\,c_{1}\neq 0\}$

因此，相似矩阵可以具有不同的特征向量。

这里是对正在发生的事情的非正式描述。底层转换将特征向量 ${\vec {v}}\mapsto 2\cdot {\vec {v}}$ 乘以 2。但当表示变换的矩阵为 $T={\rm {Rep}}_{B,B}(t)$ 时，它“假设”列向量是关于 $B$ 的表示。相比之下，$S={\rm {Rep}}_{D,D}(t)$ “假设”列向量是关于 $D$ 的表示。因此，每个矩阵乘以 2 的向量看起来都不一样。

下一个例子说明了寻找特征向量和特征值的常用方法。

例 3.7

这个矩阵的特征值和特征向量是什么？

$T={\begin{pmatrix}1&2&1\\2&0&-2\\-1&2&3\end{pmatrix}}$

要找到标量 $x$ 使得 $T{\vec {\zeta }}=x{\vec {\zeta }}$ 对非零特征向量 ${\vec {\zeta }}$ 成立，将所有项移到左侧

${\begin{pmatrix}1&2&1\\2&0&-2\\-1&2&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\z_{3}\end{pmatrix}}-x{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\z_{3}\end{pmatrix}}={\vec {0}}$

并分解为 $(T-xI){\vec {\zeta }}={\vec {0}}$。（注意它说的是 $T-xI$；表达式 $T-x$ 没有意义，因为 $T$ 是一个矩阵，而 $x$ 是一个标量。）这个齐次线性系统

${\begin{pmatrix}1-x&2&1\\2&0-x&-2\\-1&2&3-x\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\z_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

只有当矩阵是奇异矩阵时，该方程才有非零解。我们可以确定这种情况何时发生。

${\begin{array}{rl}0&=\left|T-xI\right|\\&={\begin{vmatrix}1-x&2&1\\2&0-x&-2\\-1&2&3-x\end{vmatrix}}\\&=x^{3}-4x^{2}+4x\\&=x(x-2)^{2}\end{array}}$

特征值为 $\lambda _{1}=0$ 和 $\lambda _{2}=2$。要找到相关的特征向量，将每个特征值代入。代入 $\lambda _{1}=0$，得到

${\begin{pmatrix}1-0&2&1\\2&0-0&-2\\-1&2&3-0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\z_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\z_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\\-a\\a\end{pmatrix}}$

对于标量参数 $a\neq 0$ （$a$ 是非零值，因为特征向量必须是非零向量）。同样地，代入 $\lambda _{2}=2$，得到

${\begin{pmatrix}1-2&2&1\\2&0-2&-2\\-1&2&3-2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\z_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\z_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b\\0\\b\end{pmatrix}}$

其中 $b\neq 0$.

示例 3.8

如果

$S={\begin{pmatrix}\pi &1\\0&3\end{pmatrix}}$

(这里 $\pi$ 不是投影映射，它是数字 $3.14\ldots$) 则

$\left|{\begin{pmatrix}\pi -x&1\\0&3-x\end{pmatrix}}\right|=(x-\pi )(x-3)$

所以 $S$ 的特征值为 $\lambda _{1}=\pi$ 和 $\lambda _{2}=3$。为了找到相关的特征向量，首先将 $\lambda _{1}$ 代入 $x$

${\begin{pmatrix}\pi -\pi &1\\0&3-\pi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\\0\end{pmatrix}}$

对于一个标量 $a\neq 0$，然后代入 $\lambda _{2}$

${\begin{pmatrix}\pi -3&1\\0&3-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-b/(\pi -3)\\b\end{pmatrix}}$

其中 $b\neq 0$.

定义 3.9

方阵 $T$ 的特征多项式是矩阵 $T-xI$ 的行列式，其中 $x$ 是一个变量。特征方程是 $\left|T-xI\right|=0$。变换 $t$ 的特征多项式是任何 ${\rm {Rep}}_{B,B}(t)$ 的多项式。

问题 11 检查变换的特征多项式是定义良好的，也就是说，任何基的选择都产生相同的多项式。

引理 3.10

非平凡向量空间上的线性变换至少有一个特征值。

证明

特征多项式的任何根都是特征值。在复数域上，任何一阶或更高阶的多项式都具有根。（这就是本章我们使用复数作为标量的原因。）

注意以上例子中特征向量集合的熟悉形式。

定义 3.11

变换 $t$ 与特征值 $\lambda$ 相关的特征空间是 $V_{\lambda }=\{{\vec {\zeta }}\,{\big |}\,t({\vec {\zeta }}\,)=\lambda {\vec {\zeta }}\,\}\cup \{{\vec {0}}\,\}$。矩阵的特征空间的定义类似。

引理 3.12

特征空间是一个子空间。

证明

特征空间必须是非空的——例如，它包含零向量——因此我们只需要检查闭包。取来自 $V_{\lambda }$ 的向量 ${\vec {\zeta }}_{1},\ldots ,{\vec {\zeta }}_{n}$，以表明任何线性组合都在 $V_{\lambda }$ 中。

${\begin{array}{rl}t(c_{1}{\vec {\zeta }}_{1}+c_{2}{\vec {\zeta }}_{2}+\cdots +c_{n}{\vec {\zeta }}_{n})&=c_{1}t({\vec {\zeta }}_{1})+\dots +c_{n}t({\vec {\zeta }}_{n})\\&=c_{1}\lambda {\vec {\zeta }}_{1}+\dots +c_{n}\lambda {\vec {\zeta }}_{n}\\&=\lambda (c_{1}{\vec {\zeta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\zeta }}_{n})\end{array}}$

(即使任何 ${\vec {\zeta }}_{i}$ 是 ${\vec {0}}$ 由于 $t({\vec {0}})=\lambda \cdot {\vec {0}}={\vec {0}}$ )。

示例 3.13

在 示例 3.8 中，与特征值 $\pi$ 关联的特征空间和与特征值 $3$ 关联的特征空间分别是这些。

$V_{\pi }=\{{\begin{pmatrix}a\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a\in \mathbb {R} \}\qquad V_{3}=\{{\begin{pmatrix}-b/\pi -3\\b\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b\in \mathbb {R} \}$

示例 3.14

在 示例 3.7 中，这些是与特征值 $0$ 和 $2$ 关联的特征空间。

$V_{0}=\{{\begin{pmatrix}a\\-a\\a\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a\in \mathbb {R} \},\qquad V_{2}=\{{\begin{pmatrix}b\\0\\b\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b\in \mathbb {R} \}.$

注 3.15

特征方程为 $0=x(x-2)^{2}$，因此在某种意义上，$2$ 是一个“两倍”的特征值。然而，特征向量的数量并不“两倍”，因为特征空间的维数为 1，而不是 2。下一个例子显示了一个数字，$1$，是特征方程的二重根，并且相关特征空间的维数为 2。

例 3.16

关于标准基，此矩阵

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

表示投影。

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi }{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}\qquad x,y,z\in \mathbb {C}$

与特征值 $0$ 相关的特征空间及其与特征值 $1$ 相关的特征空间很容易找到。

$V_{0}=\{{\begin{pmatrix}0\\0\\c_{3}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c_{3}\in \mathbb {C} \}\qquad V_{1}=\{{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c_{1},c_{2}\in \mathbb {C} \}$

根据引理，如果两个特征向量 ${\vec {v}}_{1}$ 和 ${\vec {v}}_{2}$ 与同一个特征值相关联，则这两个向量的任何线性组合也是与该特征值相关联的特征向量。但是，如果两个特征向量 ${\vec {v}}_{1}$ 和 ${\vec {v}}_{2}$ 与不同的特征值相关联，则它们的和 ${\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}$ 不一定与任何一个特征值相关。事实上，恰恰相反。如果特征值不同，则特征向量线性无关。

定理 3.17

对于映射或矩阵的任何一组不同的特征值，其对应的特征向量集合（每个特征值对应一个特征向量）是线性无关的。

证明

我们将使用关于特征值数量的归纳法。如果没有特征值或只有一个特征值，则对应的特征向量集合为空集或仅包含一个非零成员的单元素集合，在任何情况下，它们都是线性无关的。

为进行归纳，假设该定理对任何包含 $k$ 个不同特征值的集合成立，假设 $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k+1}$ 是不同的特征值，并设 ${\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{k+1}$ 是对应的特征向量。如果 $c_{1}{\vec {v}}_{1}+\dots +c_{k}{\vec {v}}_{k}+c_{k+1}{\vec {v}}_{k+1}={\vec {0}}$，则用 $\lambda _{k+1}$ 乘以显示方程的两边，将映射或矩阵应用于显示方程的两边，然后将第一个结果从第二个结果中减去，我们将得到以下结果。

$c_{1}(\lambda _{k+1}-\lambda _{1}){\vec {v}}_{1}+\dots +c_{k}(\lambda _{k+1}-\lambda _{k}){\vec {v}}_{k}+c_{k+1}(\lambda _{k+1}-\lambda _{k+1}){\vec {v}}_{k+1}={\vec {0}}$

归纳假设现在适用：$c_{1}(\lambda _{k+1}-\lambda _{1})=0,\dots ,c_{k}(\lambda _{k+1}-\lambda _{k})=0$。因此，由于所有特征值都是不同的，$c_{1},\,\dots ,\,c_{k}$ 都是 $0$。最后，现在 $c_{k+1}$ 必须是 $0$ 因为我们只剩下方程 ${\vec {v}}_{k+1}\neq {\vec {0}}$。

示例 3.18

的特征值

${\begin{pmatrix}2&-2&2\\0&1&1\\-4&8&3\end{pmatrix}}$

是不同的：$\lambda _{1}=1$，$\lambda _{2}=2$，以及 $\lambda _{3}=3$。一组相关的特征向量，如

$\{{\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}9\\4\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}}\}$

是线性无关的。

推论 3.19

一个 $n\!\times \!n$ 矩阵，具有 $n$ 个不同的特征值是可对角化的。

证明

形成一个特征向量基。应用 推论 2.4。

练习

问题 1

对于每个，找到特征多项式和特征值。

1. ${\begin{pmatrix}10&-9\\4&-2\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}0&3\\7&0\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$
5. ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

本练习建议所有读者完成。

问题 2

对于每个矩阵，求特征方程，以及特征值和相应的特征向量。

1. ${\begin{pmatrix}3&0\\8&-1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}3&2\\-1&0\end{pmatrix}}$

问题 3

求该矩阵的特征方程，以及特征值和相应的特征向量。提示：特征值为复数。

${\begin{pmatrix}-2&-1\\5&2\end{pmatrix}}$

问题 4

求该矩阵的特征多项式、特征值和相应的特征向量。

${\begin{pmatrix}1&1&1\\0&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}}$

本练习建议所有读者完成。

问题 5

对于每个矩阵，求特征方程，以及特征值和相应的特征向量。

1. ${\begin{pmatrix}3&-2&0\\-2&3&0\\0&0&5\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\4&-17&8\end{pmatrix}}$

本练习建议所有读者完成。

问题 6

设 $t:{\mathcal {P}}_{2}\to {\mathcal {P}}_{2}$ 为

$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\mapsto (5a_{0}+6a_{1}+2a_{2})-(a_{1}+8a_{2})x+(a_{0}-2a_{2})x^{2}.$

求其特征值和相应的特征向量。

问题 7

找到该映射的特征值和特征向量 $t:{\mathcal {M}}_{2}\to {\mathcal {M}}_{2}$.

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}2c&a+c\\b-2c&d\end{pmatrix}}$

本练习建议所有读者完成。

问题 8

求微分算子的特征值和相关特征向量 $d/dx:{\mathcal {P}}_{3}\to {\mathcal {P}}_{3}$.

问题 9

证明

三角矩阵（上三角或下三角）的特征值是其对角线上的元素。

本练习建议所有读者完成。

问题 10

求 $2\!\times \!2$ 矩阵的特征多项式公式。

问题 11

证明变换的特征多项式是定义良好的。

本练习建议所有读者完成。

问题 12

1. 任何非零向量在任何非平凡向量空间中都可以是特征向量吗？也就是说，给定一个非零向量 ${\vec {v}}\neq {\vec {0}}$ 来自非平凡向量空间 $V$，是否存在变换 $t:V\to V$ 和一个标量 $\lambda \in \mathbb {R}$ 使得 $t({\vec {v}})=\lambda {\vec {v}}$?
2. 给定一个标量 $\lambda$，任何非零向量在任何非平凡向量空间中都可以是与特征值 $\lambda$ 相关的特征向量吗？

本练习建议所有读者完成。

问题 13

假设 $t:V\to V$ 且 $T={\rm {Rep}}_{B,B}(t)$。证明 $T$ 与 $\lambda$ 相关的特征向量是 $T-\lambda I$（关于相同基底表示的）所表示的映射的核中的非 ${\vec {0}}$ 向量。

问题 14

证明如果 $a,\ldots ,\,d$ 都是整数并且 $a+b=c+d$ 那么

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

具有整数特征值，即 $a+b$ 和 $a-c$.

本练习建议所有读者完成。

问题 15

证明如果 $T$ 是非奇异的并且具有特征值 $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ 那么 $T^{-1}$ 具有特征值 $1/\lambda _{1},\dots ,1/\lambda _{n}$。反过来是否成立？

本练习建议所有读者完成。

问题 16

假设 $T$ 是 $n\!\times \!n$ 并且 $c,d$ 是标量。

1. 证明如果 $T$ 有特征值 $\lambda$，且其对应的特征向量为 ${\vec {v}}$，那么 ${\vec {v}}$ 是 $cT+dI$ 的特征向量，其对应的特征值为 $c\lambda +d$.
2. 证明如果 $T$ 是可对角化的，那么 $cT+dI$ 也是可对角化的。

本练习建议所有读者完成。

问题 17

证明 $\lambda$ 是 $T$ 的特征值当且仅当由 $T-\lambda I$ 表示的映射不是同构。

问题 18

1. 证明如果 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，那么 $\lambda ^{k}$ 是 $A^{k}$ 的特征值。
2. 这个证明有什么问题？它将“如果 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，而 $\mu$ 是 $B$ 的特征值，那么 $\lambda \mu$ 是 $AB$ 的特征值，因为如果 $A{\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}$ 并且 $B{\vec {x}}=\mu {\vec {x}}$，那么 $AB{\vec {x}}=A\mu {\vec {x}}=\mu A{\vec {x}}=\mu \lambda {\vec {x}}$”?

(Strang 1980)

问题 19

矩阵等价矩阵是否具有相同的特征值？

问题 20

证明具有实数项和奇数行数的方阵至少有一个实特征值。

问题 21

对角化。

${\begin{pmatrix}-1&2&2\\2&2&2\\-3&-6&-6\end{pmatrix}}$

问题 22

假设 $P$ 是一个非奇异 $n\!\times \!n$ 矩阵。证明 **相似变换** 映射 $t_{P}:{\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}\to {\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}$，它将 $T\mapsto PTP^{-1}$，是一个同构。

? 问题 23

证明如果$A$是一个$n$阶方阵，并且每行（列）的总和为$c$，那么$c$是$A$的特征根。(Morrison 1967)

解答

参考文献

• Morrison, Clarence C. (proposer) (1967), "Quickie", Mathematics Magazine, 40 (4): 232.
• Strang, Gilbert (1980), Linear Algebra and its Applications (Second ed.), Harcourt Brace Jovanovich.