线性代数/探索/解答

解答

建议所有读者练习本习题。

问题 1

计算每个矩阵的行列式。

1. ${\begin{pmatrix}3&1\\-1&1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2&0&1\\3&1&1\\-1&0&1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}4&0&1\\0&0&1\\1&3&-1\end{pmatrix}}$

答案

1. $4$
2. $3$
3. $-12$

问题 2

计算每个矩阵的行列式。

1. ${\begin{pmatrix}2&0\\-1&3\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2&1&1\\0&5&-2\\1&-3&4\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}2&3&4\\5&6&7\\8&9&1\end{pmatrix}}$

答案

1. $6$
2. $21$
3. $27$

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问题 3

验证一个上三角 $3\!\times \!3$ 矩阵的行列式是其对角线上元素的乘积。

$\det({\begin{pmatrix}a&b&c\\0&e&f\\0&0&i\end{pmatrix}})=aei$

下三角矩阵是否以相同的方式工作？

答案

对于第一个，应用本节中的公式，注意任何包含 $d$, $g$, 或 $h$ 为零的项，并进行化简。下三角矩阵以相同的方式工作。

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问题 4

使用行列式判断每个矩阵是否为奇异或非奇异。

1. ${\begin{pmatrix}2&1\\3&1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}4&2\\2&1\end{pmatrix}}$

答案

1. 非奇异矩阵，行列式为 $-1$.
2. 非奇异矩阵，行列式为 $-1$.
3. 奇异矩阵，行列式为 $0$.

问题 5

奇异或非奇异？使用行列式来判断。

1. ${\begin{pmatrix}2&1&1\\3&2&2\\0&1&4\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&0&1\\2&1&1\\4&1&3\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}2&1&0\\3&-2&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$

答案

1. 非奇异矩阵，行列式为 $3$.
2. 奇异矩阵，行列式为 $0$.
3. 奇异矩阵，行列式为 $0$.

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问题 6

每对矩阵都通过一次行操作来进行区分。使用该操作来比较 $\det(A)$ 与 $\det(B)$.

1. $A={\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}}$ $B={\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}}$
2. $A={\begin{pmatrix}3&1&0\\0&0&1\\0&1&2\end{pmatrix}}$ $B={\begin{pmatrix}3&1&0\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}}$
3. $A={\begin{pmatrix}1&-1&3\\2&2&-6\\1&0&4\end{pmatrix}}$ $B={\begin{pmatrix}1&-1&3\\1&1&-3\\1&0&4\end{pmatrix}}$

答案

1. $\det(B)=\det(A)$ 通过 $-2\rho _{1}+\rho _{2}$
2. $\det(B)=-\det(A)$ 通过 $\rho _{2}\leftrightarrow \rho _{3}$
3. $\det(B)=(1/2)\cdot \det(A)$ 通过 $(1/2)\rho _{2}$

问题 7

证明这一点。

$\det({\begin{pmatrix}1&1&1\\a&b&c\\a^{2}&b^{2}&c^{2}\end{pmatrix}})=(b-a)(c-a)(c-b)$

答案

利用 $3\!\times \!3$ 矩阵行列式的公式，我们展开左侧

$1\cdot b\cdot c^{2}+1\cdot c\cdot a^{2}+1\cdot a\cdot b^{2}-b^{2}\cdot c\cdot 1-c^{2}\cdot a\cdot 1-a^{2}\cdot b\cdot 1$

并通过分配律展开右侧。

$(bc-ba-ac+a^{2})\cdot (c-b)=c^{2}b-b^{2}c-bac+b^{2}a-ac^{2}+acb+a^{2}c-a^{2}b$

现在我们可以直接检查两者是否相等。（注。这是 $3\!\times \!3$ 情况下的 范德蒙德行列式，它在应用中出现）。

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问题 8

哪些实数 $x$ 使这个矩阵奇异？

${\begin{pmatrix}12-x&4\\8&8-x\end{pmatrix}}$

答案

这个方程

$0=\det({\begin{pmatrix}12-x&4\\8&8-x\end{pmatrix}})=64-20x+x^{2}=(x-16)(x-4)$

有根$x=16$ 和 $x=4$.

问题 9

使用高斯消元法验证本节前言中给出的 $3\!\times \!3$ 矩阵的公式。

${\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}$ 是非奇异的当且仅当 $aei+bfg+cdh-hfa-idb-gec\neq 0$

答案

我们首先将矩阵简化为阶梯形。首先，假设 $a\neq 0$ 且 $ae-bd\neq 0$.

${\begin{array}{rcl}{\xrightarrow[{}]{(1/a)\rho _{1}}}\;{\begin{pmatrix}1&b/a&c/a\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}&{\xrightarrow[{-g\rho _{1}+\rho _{3}}]{-d\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{pmatrix}1&b/a&c/a\\0&(ae-bd)/a&(af-cd)/a\\0&(ah-bg)/a&(ai-cg)/a\end{pmatrix}}\\&{\xrightarrow[{}]{(a/(ae-bd))\rho _{2}}}&{\begin{pmatrix}1&b/a&c/a\\0&1&(af-cd)/(ae-bd)\\0&(ah-bg)/a&(ai-cg)/a\end{pmatrix}}\end{array}}$

此步骤完成了计算。

${\xrightarrow[{}]{((ah-bg)/a)\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&b/a&c/a\\0&1&(af-cd)/(ae-bd)\\0&0&(aei+bgf+cdh-hfa-idb-gec)/(ae-bd)\end{pmatrix}}$

现在假设 $a\neq 0$ 且 $ae-bd\neq 0$，原始矩阵非奇异当且仅当上面的 $3,3$ 项非零。也就是说，在这些假设下，原始矩阵非奇异当且仅当 $aei+bgf+cdh-hfa-idb-gec\neq 0$，如预期的那样。

最后，我们来讨论一下如果前一段中为了方便所做出的假设不成立会发生什么。首先，如果 $a\neq 0$ 但 $ae-bd=0$，那么我们可以交换

${\begin{pmatrix}1&b/a&c/a\\0&0&(af-cd)/a\\0&(ah-bg)/a&(ai-cg)/a\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{\rho _{2}\leftrightarrow \rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&b/a&c/a\\0&(ah-bg)/a&(ai-cg)/a\\0&0&(af-cd)/a\end{pmatrix}}$

并得出结论：矩阵非奇异当且仅当$ah-bg=0$ 或者 $af-cd=0$。 条件“$ah-bg=0$ 或者 $af-cd=0$" 等价于条件“$(ah-bg)(af-cd)=0$”。 展开并使用情况假设 $ae-bd=0$ 将 $ae$ 代入 $bd$ 得出以下结果。

$0=ahaf-ahcd-bgaf+bgcd=ahaf-ahcd-bgaf+aegc=a(haf-hcd-bgf+egc)$

由于 $a\neq 0$，矩阵非奇异当且仅当 $haf-hcd-bgf+egc=0$。因此，在这个 $a\neq 0$ 和 $ae-bd=0$ 的情况下，当 $haf-hcd-bgf+egc-i(ae-bd)=0$ 时，矩阵是非奇异的。

剩下的情况都很简单。先做 $a=0$ 但 $d\neq 0$ 的情况，以及 $a=0$ 和 $d=0$ 但 $g\neq 0$ 的情况，首先交换行，然后按照上述方法进行。 $a=0$， $d=0$，以及 $g=0$ 的情况很容易——这个矩阵是奇异的，因为它的列构成一个线性相关的集合，并且行列式为零。

问题 10

证明 $\mathbb {R} ^{2}$ 中过 $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$ 的直线方程可以用这个行列式表示。

$\det({\begin{pmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{pmatrix}})=0\qquad x_{1}\neq x_{2}$

答案

计算行列式并进行一些代数运算，可以得到这个结果。

${\begin{array}{rl}0&=y_{1}x+x_{2}y+x_{1}y_{2}-y_{2}x-x_{1}y-x_{2}y_{1}\\(x_{2}-x_{1})\cdot y&=(y_{2}-y_{1})\cdot x+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}\\y&={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot x+{\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}\end{array}}$

请注意，这是一个直线的方程（特别是，它包含斜率的常用表达式），并且请注意 $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$ 满足它。

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问题 11

许多人知道这个关于 $3\!\times \!3$ 矩阵行列式的记忆方法：首先重复前两列，然后将正对角线上的乘积加起来，再减去反对角线上的乘积。也就是说，首先写下

$\left({\begin{array}{ccc|cc}h_{1,1}&h_{1,2}&h_{1,3}&h_{1,1}&h_{1,2}\\h_{2,1}&h_{2,2}&h_{2,3}&h_{2,1}&h_{2,2}\\h_{3,1}&h_{3,2}&h_{3,3}&h_{3,1}&h_{3,2}\end{array}}\right)$

然后计算这个。

${\begin{array}{l}h_{1,1}h_{2,2}h_{3,3}+h_{1,2}h_{2,3}h_{3,1}+h_{1,3}h_{2,1}h_{3,2}\\\quad -h_{3,1}h_{2,2}h_{1,3}-h_{3,2}h_{2,3}h_{1,1}-h_{3,3}h_{2,1}h_{1,2}\end{array}}$

1. 检查一下，看看这个结果是否与本节前言中给出的公式一致。
2. 这个方法是否适用于其他大小的行列式？

答案

1. 与本节前言中给出的公式的比较很简单。
2. 虽然它适用于 $2\!\times \!2$ 矩阵

   ${\begin{array}{rl}\left({\begin{array}{cc|c}h_{1,1}&h_{1,2}&h_{1,1}\\h_{2,1}&h_{2,2}&h_{2,1}\end{array}}\right)&={\begin{array}{l}h_{1,1}h_{2,2}+h_{1,2}h_{2,1}\\\quad -h_{2,1}h_{1,2}-h_{2,2}h_{1,1}\end{array}}\\&=h_{1,1}h_{2,2}-h_{1,2}h_{2,1}\end{array}}$

   对于 $4\!\times \!4$ 矩阵，该法则不成立。例如，这个矩阵是奇异的，因为第二行和第三行相等。

   ${\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&1&1&0\\0&1&1&0\\-1&0&0&1\end{pmatrix}}$

   但是按照记忆技巧中的方案计算，结果并不为零。

   $\left({\begin{array}{cccc|ccc}1&0&0&1&1&0&0\\0&1&1&0&0&1&1\\0&1&1&0&0&1&1\\-1&0&0&1&-1&0&0\end{array}}\right)={\begin{array}{l}1+0+0+0\\\quad -(-1)-0-0-0\end{array}}$

问题 12

向量

${\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\qquad {\vec {y}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}$

的叉积 是用以下行列式计算的向量。

${\vec {x}}\times {\vec {y}}=\det({\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{1}&{\vec {e}}_{2}&{\vec {e}}_{3}\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{pmatrix}})$

注意第一行由向量组成，这些向量来自 $\mathbb {R} ^{3}$ 的标准基。证明两个向量的叉积垂直于每个向量。

答案

行列式为 $(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}){\vec {e}}_{1}+(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}){\vec {e}}_{2}+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}){\vec {e}}_{3}$。为了检查垂直性，我们检查与第一个向量的点积是否为零。

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}\\x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}\\x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\end{pmatrix}}=x_{1}x_{2}y_{3}-x_{1}x_{3}y_{2}+x_{2}x_{3}y_{1}-x_{1}x_{2}y_{3}+x_{1}x_{3}y_{2}-x_{2}x_{3}y_{1}=0$

与第二个向量的点积也是零。

${\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}\\x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}\\x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\end{pmatrix}}=x_{2}y_{1}y_{3}-x_{3}y_{1}y_{2}+x_{3}y_{1}y_{2}-x_{1}y_{2}y_{3}+x_{1}y_{2}y_{3}-x_{2}y_{1}y_{3}=0$

问题 13

证明每个语句对于 $2\!\times \!2$ 矩阵成立。

1. 两个矩阵乘积的行列式等于这两个矩阵行列式的乘积 $\det(ST)=\det(S)\cdot \det(T)$.
2. 如果 $T$ 可逆，那么逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数 $\det(T^{-1})=(\,\det(T)\,)^{-1}$.

如果存在一个非奇异矩阵 $P$ 使得 $T^{\prime }=PTP^{-1}$，则称矩阵 $T$ 和 $T^{\prime }$ 是相似的。(这个定义在第五章)。证明相似 $2\!\times \!2$ 矩阵有相同的行列式。

答案

1. 直接代入计算：乘积的行列式是

   ${\begin{array}{rl}\det({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}w&x\\y&z\end{pmatrix}})&=\det({\begin{pmatrix}aw+by&ax+bz\\cw+dy&cx+dz\end{pmatrix}})\\&={\begin{array}{l}acwx+adwz+bcxy+bdyz\\\quad -acwx-bcwz-adxy-bdyz\end{array}}\end{array}}$

   而两个矩阵行列式的乘积是

   $\det({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}})\cdot \det({\begin{pmatrix}w&x\\y&z\end{pmatrix}})=(ad-bc)\cdot (wz-xy)$

   很容易验证它们是相等的。
2. 利用上一项的结果。

从上面两项可以立即得到相似矩阵具有相同行列式：$\det(PTP^{-1})=\det(P)\cdot \det(T)\cdot \det(P^{-1})$.

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问题 14

证明平面上的这个区域的面积

等于这个行列式的值。

$\det({\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}\\y_{1}&y_{2}\end{pmatrix}})$

与这个进行比较。

$\det({\begin{pmatrix}x_{2}&x_{1}\\y_{2}&y_{1}\end{pmatrix}})$

答案

一种方法是计算这些区域

通过取整个矩形的面积，减去 $A$ 左上角矩形，$B$ 上中三角形，$D$ 右上角三角形，$C$ 左下角三角形，$E$ 下中三角形，以及 $F$ 右下角矩形 $(x_{1}+x_{2})(y_{1}+y_{2})-x_{2}y_{1}-(1/2)x_{1}y_{1}-(1/2)x_{2}y_{2}-(1/2)x_{2}y_{2}-(1/2)x_{1}y_{1}-x_{2}y_{1}$。简化后得到行列式公式。

这个行列式是上面行列式的负数；公式区分了第二列是相对于第一列逆时针还是顺时针。

问题 15

证明对于 $2\!\times \!2$ 矩阵，矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式。对于 $3\!\times \!3$ 矩阵是否也成立？

答案

对于 $2\!\times \!2$ 矩阵，使用序言中引用的公式，很容易计算。它也适用于 $3\!\times \!3$ 矩阵；计算是例行的。

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问题 16

行列式函数是线性的吗 - 是否 $\det(x\cdot T+y\cdot S)=x\cdot \det(T)+y\cdot \det(S)$？

答案

不。回想一下，常数一次只能从一行中取出。

$\det({\begin{pmatrix}2&4\\2&6\\\end{pmatrix}})=2\cdot \det({\begin{pmatrix}1&2\\2&6\\\end{pmatrix}})=2\cdot 2\cdot \det({\begin{pmatrix}1&2\\1&3\\\end{pmatrix}})$

这与线性性相矛盾（这里我们不需要 $S$，也就是说，我们可以取 $S$ 为零矩阵）。

问题 17

证明如果 $A$ 是 $3\!\times \!3$ 矩阵，则对于任何标量 $c$，$\det(c\cdot A)=c^{3}\cdot \det(A)$。

答案

每次取出一行中的 $c$。

问题 18

哪些实数 $\theta$ 使

${\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$

成为奇异矩阵？从几何角度解释。

答案

没有实数 $\theta$ 使矩阵成为奇异矩阵，因为矩阵的行列式 $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta$ 永远不等于 $0$，它对于所有 $\theta$ 等于 $1$。从几何角度看，关于标准基，这个矩阵表示平面绕原点旋转 $\theta$ 角。每个这样的映射都是一对一的——一方面，它是可逆的。

? 问题 19

如果三阶行列式的元素为 $1$，$2$，…，$9$，它可能的最大值是多少？（Haggett & Saunders 1955）

答案

这是引文来源中给出的答案。 令 $P$ 为行列式三个正项的和，而 $-N$ 为三个负项的和。 $P$ 的最大值为

$9\cdot 8\cdot 7+6\cdot 5\cdot 4+3\cdot 2\cdot 1=630.$

与 $P$ 一致的 $N$ 的最小值为

$9\cdot 6\cdot 1+8\cdot 5\cdot 2+7\cdot 4\cdot 3=218.$

对 $P$ 的任何改变都会导致该总和减少超过 $4$。因此 $412$ 是行列式的最大值，行列式的一种形式为

${\begin{vmatrix}9&4&2\\3&8&6\\5&1&7\end{vmatrix}}.$

参考文献

• Haggett, Vern (proposer); Saunders, F. W. (solver) (1955), "Elementary problem 1135", American Mathematical Monthly, American Mathematical Society, 62 (5): 257 {{citation}}: 未知参数 |month= 被忽略 (帮助)