线性代数/探索

本小节为可选内容。它简要描述了调查人员如何得出一般定义，该定义将在下一小节中给出。

以上三种情况并没有显示出明显的模式来用于一般$n\!\times \!n$ 公式。我们可以发现，$1\!\times \!1$ 项 $a$ 只有一个字母，$2\!\times \!2$ 项 $ad$ 和 $bc$ 有两个字母，而 $3\!\times \!3$ 项 $aei$ 等，有三个字母。我们还可以观察到，在这些项中，矩阵的每一行和每一列都有一个字母，例如，$cdh$ 项的字母

${\begin{pmatrix}&&c\\d\\&h\end{pmatrix}}$

每一行和每一列都来自一个。但这些观察结果可能比启发更令人费解。例如，我们可能会想知道为什么有些项相加而另一些项相减。

一个好的解决问题策略是看看解决方案必须具备哪些属性，然后寻找具有这些属性的东西。所以，我们将从询问我们对公式有哪些要求开始。

在这一点上，我们判断矩阵是否奇异的主要方法是进行高斯消元，然后检查结果梯形矩阵的对角线是否有任何零（也就是说，检查对角线上的乘积是否为零）。所以，我们可以预期，证明一个公式确定奇异性的证明将涉及将高斯方法应用于矩阵，以表明最后对角线上的乘积为零当且仅当行列式公式给出零。这表明了我们的初步计划：我们将寻找一组函数，它们具有不受行操作影响的性质，并且具有梯形矩阵的行列式是其对角线元素的乘积的性质。在这个计划下，证明这些函数确定奇异性的证明将是，“其中$T\rightarrow \cdots \rightarrow {\hat {T}}$ 是高斯消元，$T$ 的行列式等于 ${\hat {T}}$ 的行列式（因为行列式不受行操作的影响），它是对角线上的乘积，该乘积为零当且仅当矩阵为奇异的”。在本小节的其余部分，我们将在这个计划中测试$2\!\times \!2$ 和 $3\!\times \!3$ 行列式，我们知道。我们最终将修改“不受行操作影响”的部分，但不会改变太多。

检查计划的第一步是测试$2\!\times \!2$和$3\!\times \!3$公式是否受主元旋转的行操作影响：如果

$T{\xrightarrow[{}]{k\rho _{i}+\rho _{j}}}{\hat {T}}$

那么$\det({\hat {T}})=\det(T)$？这个$2\!\times \!2$行列式在$k\rho _{1}+\rho _{2}$操作后的检查

$\det({\begin{pmatrix}a&b\\ka+c&kb+d\\\end{pmatrix}})=a(kb+d)-(ka+c)b=ad-bc$

表明它确实没有改变，另一个$2\!\times \!2$主元$k\rho _{2}+\rho _{1}$给出了相同的结果。这个$3\!\times \!3$主元$k\rho _{3}+\rho _{2}$使行列式保持不变

${\begin{array}{rl}\det({\begin{pmatrix}a&b&c\\kg+d&kh+e&ki+f\\g&h&i\end{pmatrix}})&={\begin{array}{l}a(kh+e)i+b(ki+f)g+c(kg+d)h\\\ -h(ki+f)a-i(kg+d)b-g(kh+e)c\end{array}}\\&=aei+bfg+cdh-hfa-idb-gec\end{array}}$

其他$3\!\times \!3$主元操作也是如此。

所以计划似乎很有希望。当然，也许$4\!\times \!4$行列式公式会受到主元旋转的影响。我们正在探索一种可能性，我们还没有掌握所有事实。尽管如此，到目前为止，进展顺利。

下一步是比较$\det({\hat {T}})$ 与 $\det(T)$，对应于

$T{\xrightarrow[{}]{{\rho }_{i}\leftrightarrow {\rho }_{j}}}{\hat {T}}$

交换两行操作。对于 $2\!\times \!2$ 的行交换 $\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{2}$

$\det({\begin{pmatrix}c&d\\a&b\end{pmatrix}})=cb-ad$

并没有得到 $ad-bc$。在 $3\!\times \!3$ 矩阵内进行 $\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{3}$ 交换

$\det({\begin{pmatrix}g&h&i\\d&e&f\\a&b&c\end{pmatrix}})=gec+hfa+idb-bfg-cdh-aei$

同样没有得到交换前相同的行列式 - 再次发生了符号改变。尝试一个不同的 $3\!\times \!3$ 交换 $\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{2}$

$\det({\begin{pmatrix}d&e&f\\a&b&c\\g&h&i\end{pmatrix}})=dbi+ecg+fah-hcd-iae-gbf$

同样导致符号改变。

因此，行交换似乎会改变行列式的符号。这改变了我们的计划，但没有破坏它。我们打算通过仅考虑行列式是否为零来确定非奇异性，而不考虑它的符号。因此，我们不再期望行列式完全不受行操作的影响，而是希望在交换时行列式会改变符号。

最后，我们将 $\det({\hat {T}})$ 与 $\det(T)$ 进行比较，对应于

$T{\xrightarrow[{}]{k{\rho }_{i}}}{\hat {T}}$

将一行乘以一个标量 $k\neq 0$。其中一个 $2\!\times \!2$ 的情况是

$\det({\begin{pmatrix}a&b\\kc&kd\end{pmatrix}})=a(kd)-(kc)b=k\cdot (ad-bc)$

另一个情况也是同样的结果。下面是一个 $3\!\times \!3$ 的情况

${\begin{array}{rl}\det({\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\kg&kh&ki\end{pmatrix}})&={\begin{array}{l}ae(ki)+bf(kg)+cd(kh)\\\quad -(kh)fa-(ki)db-(kg)ec\end{array}}\\&=k\cdot (aei+bfg+cdh-hfa-idb-gec)\end{array}}$

另外两个情况类似。这些让我们怀疑将一行乘以 $k$ 会将行列式乘以 $k$。这与我们修改后的计划相符，因为我们只要求行列式的零性保持不变，而不关注行列式的符号或大小。

总之，为了开发计算行列式的公式方案，我们寻找在旋转操作下保持不变的行列式函数，在行交换时改变符号，并且在行重新缩放时进行重新缩放。在接下来的两个小节中，我们将发现，对于每一个 $n$ 这样的函数都存在且是唯一的。

对于下一个小节，请注意，如上所述，标量从每一行中提取出来，而不影响其他行。例如，在以下等式中

$\det({\begin{pmatrix}3&3&9\\2&1&1\\5&10&-5\end{pmatrix}})=3\cdot \det({\begin{pmatrix}1&1&3\\2&1&1\\5&10&-5\end{pmatrix}})$

这 $3$ 没有从所有三行中提取出来，只从最上面的行中提取出来。行列式对每一行都独立地起作用。当我们要利用行列式的这种性质时，我们将行列式写成行的函数: "$\det({\vec {\rho }}_{1},{\vec {\rho }}_{2},\dots {\vec {\rho }}_{n})$"，而不是 "$\det(T)$" 或 "$\det(t_{1,1},\dots ,t_{n,n})$"。下一小节开始的行列式定义就是以这种方式写成的。

练习

建议所有读者做这道练习。

问题 1

计算每个矩阵的行列式。

1. ${\begin{pmatrix}3&1\\-1&1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2&0&1\\3&1&1\\-1&0&1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}4&0&1\\0&0&1\\1&3&-1\end{pmatrix}}$

问题 2

计算每个矩阵的行列式。

1. ${\begin{pmatrix}2&0\\-1&3\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2&1&1\\0&5&-2\\1&-3&4\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}2&3&4\\5&6&7\\8&9&1\end{pmatrix}}$

建议所有读者做这道练习。

问题 3

验证一个上三角 $3\!\times \!3$ 矩阵的行列式是主对角线元素的乘积。

$\det({\begin{pmatrix}a&b&c\\0&e&f\\0&0&i\end{pmatrix}})=aei$

下三角矩阵是否也一样？

建议所有读者做这道练习。

问题 4

使用行列式判断每个矩阵是否为奇异矩阵或非奇异矩阵。

1. ${\begin{pmatrix}2&1\\3&1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}4&2\\2&1\end{pmatrix}}$

问题 5

奇异或非奇异？使用行列式来判断。

1. ${\begin{pmatrix}2&1&1\\3&2&2\\0&1&4\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&0&1\\2&1&1\\4&1&3\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}2&1&0\\3&-2&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$

建议所有读者做这道练习。

问题 6

每对矩阵都通过一次行操作而有所不同。使用此操作来比较 $\det(A)$ 和 $\det(B)$.

1. $A={\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}}$ $B={\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}}$
2. $A={\begin{pmatrix}3&1&0\\0&0&1\\0&1&2\end{pmatrix}}$ $B={\begin{pmatrix}3&1&0\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}}$
3. $A={\begin{pmatrix}1&-1&3\\2&2&-6\\1&0&4\end{pmatrix}}$ $B={\begin{pmatrix}1&-1&3\\1&1&-3\\1&0&4\end{pmatrix}}$

问题 7

证明这一点。

$\det({\begin{pmatrix}1&1&1\\a&b&c\\a^{2}&b^{2}&c^{2}\end{pmatrix}})=(b-a)(c-a)(c-b)$

建议所有读者做这道练习。

问题 8

哪些实数 $x$ 使该矩阵奇异？

${\begin{pmatrix}12-x&4\\8&8-x\end{pmatrix}}$

问题 9

使用高斯消元法验证本节前言中给出的 $3\!\times \!3$ 矩阵的公式。

${\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}$ 非奇异当且仅当 $aei+bfg+cdh-hfa-idb-gec\neq 0$

问题 10

证明 $\mathbb {R} ^{2}$ 中经过 $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$ 的直线方程可以用以下行列式表示。

$\det({\begin{pmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{pmatrix}})=0\qquad x_{1}\neq x_{2}$

建议所有读者做这道练习。

问题 11

许多人知道这个用来计算 $3\!\times \!3$ 矩阵行列式的助记符：首先重复前两列，然后将前对角线上的乘积之和减去后对角线上的乘积之和。也就是说，首先写出

$\left({\begin{array}{ccc|cc}h_{1,1}&h_{1,2}&h_{1,3}&h_{1,1}&h_{1,2}\\h_{2,1}&h_{2,2}&h_{2,3}&h_{2,1}&h_{2,2}\\h_{3,1}&h_{3,2}&h_{3,3}&h_{3,1}&h_{3,2}\end{array}}\right)$

然后计算这个。

${\begin{array}{l}h_{1,1}h_{2,2}h_{3,3}+h_{1,2}h_{2,3}h_{3,1}+h_{1,3}h_{2,1}h_{3,2}\\\quad -h_{3,1}h_{2,2}h_{1,3}-h_{3,2}h_{2,3}h_{1,1}-h_{3,3}h_{2,1}h_{1,2}\end{array}}$

1. 检查此结果是否与本节引言中给出的公式一致。
2. 该公式是否适用于其他尺寸的行列式？

问题 12

向量

${\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\qquad {\vec {y}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}$

的叉积是由以下行列式计算得到的向量。

${\vec {x}}\times {\vec {y}}=\det({\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{1}&{\vec {e}}_{2}&{\vec {e}}_{3}\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{pmatrix}})$

注意，第一行由向量组成，这些向量来自 $\mathbb {R} ^{3}$ 的标准基。证明两个向量的叉积垂直于每个向量。

问题 13

证明每个语句都适用于 $2\!\times \!2$ 矩阵。

1. 积的行列式等于行列式的积 $\det(ST)=\det(S)\cdot \det(T)$.
2. 如果 $T$ 是可逆的，那么逆矩阵的行列式等于行列式的逆 $\det(T^{-1})=(\,\det(T)\,)^{-1}$.

矩阵 $T$ 和 $T^{\prime }$ 是相似的，如果存在一个非奇异矩阵 $P$ 使得 $T^{\prime }=PTP^{-1}$。（这个定义在第五章）。证明相似 $2\!\times \!2$ 矩阵具有相同的行列式。

建议所有读者做这道练习。

问题 14

证明这个平面区域的面积

等于这个行列式的值。

$\det({\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}\\y_{1}&y_{2}\end{pmatrix}})$

与这个比较。

$\det({\begin{pmatrix}x_{2}&x_{1}\\y_{2}&y_{1}\end{pmatrix}})$

问题 15

证明对于 $2\!\times \!2$ 矩阵，矩阵的行列式等于其转置的行列式。这对于 $3\!\times \!3$ 矩阵也成立吗？

建议所有读者做这道练习。

问题 16

行列式函数是线性的吗——是 $\det(x\cdot T+y\cdot S)=x\cdot \det(T)+y\cdot \det(S)$ 吗？

问题 17

证明如果 $A$ 是 $3\!\times \!3$，那么 $\det(c\cdot A)=c^{3}\cdot \det(A)$ 对于任何标量 $c$ 成立。

问题 18

哪些实数 $\theta$ 使得

${\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$

奇异？从几何角度解释。

? 问题 19

如果一个三阶行列式包含元素 $1$，$2$，...，$9$，它可能达到的最大值是多少？ (Haggett & Saunders 1955)

解决方案

参考资料

• Haggett, Vern (proposer); Saunders, F. W. (solver) (1955), "Elementary problem 1135", American Mathematical Monthly, American Mathematical Society, 62 (5): 257 {{citation}}: 未知参数 |month= 被忽略 (帮助).