线性代数/域

域在线性代数的研究中非常重要。这是因为线性代数中的任何结果都适用于所有域，因为线性代数中的基本运算只涉及加法、减法、乘法和除法。

然而，它们主要属于抽象代数的研究范畴，这里不会完全讨论。相反，我们只提供定义。

域是一个集合 F，它具有两个二元运算符（或函数）+ 和 *，以及元素 0 和 1，满足以下条件：

• 加法的交换律：a+b=b+a
• 加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
• 加法单位元：0+a=a+0=a
• 加法逆元：对于所有 a，存在一个元素 b，使得 a+b=0
• 乘法的交换律：ab=ba
• 乘法的结合律：(ab)c=a(bc)
• 乘法单位元：1a=a1=a
• 乘法逆元：对于所有非零 a，存在一个元素 b，使得 ab=1
• 乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac

域的例子

1. 有理数 Q
2. 实数 R
3. 复数 C
4. 有理多项式函数的集合

特征 0

线性代数的另一个重要假设是，我们正在使用特征为 0 的域。

定义

域的特征是指第一个自然数 n，使得 1+1+1+.....+1（n 次）等于 0。如果没有这样的数，则它具有特征 0。

例子

1. 模 p 的整数 Z_p，其中 p 是一个素数。

在线性代数中，我们不使用像 Z_p 这样的域，因此我们只使用特征为 0 的域。