线性代数/高斯消元法/解

解

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问题 1

使用高斯消元法求解每个系统的唯一解。

1. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}2x&+&3y&=&13\\x&-&y&=&-1\end{array}}$
   
   
2. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}x&&&-&z&=&0\\3x&+&y&&&=&1\\-x&+&y&+&z&=&4\end{array}}$

答案

高斯消元法可以以不同的方式执行，所以这些只是展示了一种获得答案的可能方法。

1. 高斯消元法

   ${\xrightarrow[{}]{-(1/2)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{2}{rc}r}2x&+&3y&=&13\\&-&(5/2)y&=&-15/2\end{array}}$

   得到解为 $y=3$ 和 $x=2$.
2. 这里的高斯消元法

   ${\xrightarrow[{\rho _{1}+\rho _{3}}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{3}{rc}r}x&&&-&z&=&0\\&&y&+&3z&=&1\\&&y&&&=&4\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}\;{\begin{array}{*{3}{rc}r}x&&&-&z&=&0\\&&y&+&3z&=&1\\&&&&-3z&=&3\end{array}}$

   得到 $x=-1$，$y=4$，和 $z=-1$.

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问题 2

使用高斯消元法求解每个系统，或得出“多个解”或“无解”的结论。

1. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}2x&+&2y&=&5\\x&-&4y&=&0\end{array}}$
2. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}-x&+&y&=&1\\x&+&y&=&2\end{array}}$
3. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}x&-&3y&+&z&=&1\\x&+&y&+&2z&=&14\end{array}}$
4. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}-x&-&y&=&1\\-3x&-&3y&=&2\end{array}}$
5. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}&&4y&+&z&=&20\\2x&-&2y&+&z&=&0\\x&&&+&z&=&5\\x&+&y&-&z&=&10\end{array}}$
6. ${\begin{array}{*{4}{rc}r}2x&&&+&z&+&w&=&5\\&&y&&&-&w&=&-1\\3x&&&-&z&-&w&=&0\\4x&+&y&+&2z&+&w&=&9\end{array}}$

答案

1. 高斯消元法

   ${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{-(1/2)\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}2x&+&2y&=&5\\&&-5y&=&-5/2\end{array}}\end{array}}$

   表明 $y=1/2$ 并且 $x=2$ 是唯一的解。
2. 高斯消元法

   ${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}-x&+&y&=&1\\&&2y&=&3\end{array}}\end{array}}$

   得到 $y=3/2$ 和 $x=1/2$ 作为唯一解。
3. 行变换

   ${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}x&-&3y&+&z&=&1\\&&4y&+&z&=&13\end{array}}\end{array}}$

   表明，因为变量 $z$ 不是任何行的主元变量，所以存在无限多个解。
4. 行变换

   ${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}-x&-&y&=&1\\&&0&=&-1\end{array}}\end{array}}$

   表明不存在解。
5. 高斯消元法

   ${\xrightarrow[{}]{\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{4}}}\;{\begin{array}{*{3}{rc}r}x&+&y&-&z&=&10\\2x&-&2y&+&z&=&0\\x&&&+&z&=&5\\&&4y&+&z&=&20\end{array}}\;{\xrightarrow[{-\rho _{1}+\rho _{3}}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{3}{rc}r}x&+&y&-&z&=&10\\&&-4y&+&3z&=&-20\\&&-y&+&2z&=&-5\\&&4y&+&z&=&20\end{array}}\;{\xrightarrow[{\rho _{2}+\rho _{4}}]{-(1/4)\rho _{2}+\rho _{3}}}\;{\begin{array}{*{3}{rc}r}x&+&y&-&z&=&10\\&&-4y&+&3z&=&-20\\&&&&(5/4)z&=&0\\&&&&4z&=&0\end{array}}$

   给出唯一解 $(x,y,z)=(5,5,0)$.
6. 这里高斯消元法给出

   ${\xrightarrow[{-2\rho _{1}+\rho _{4}}]{-(3/2)\rho _{1}+\rho _{3}}}\;{\begin{array}{*{4}{rc}r}2x&&&+&z&+&w&=&5\\&&y&&&-&w&=&-1\\&&&-&(5/2)z&-&(5/2)w&=&-15/2\\&&y&&&-&w&=&-1\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{4}}}\;{\begin{array}{*{4}{rc}r}2x&&&+&z&+&w&=&5\\&&y&&&-&w&=&-1\\&&&-&(5/2)z&-&(5/2)w&=&-15/2\\&&&&&&0&=&0\end{array}}$

   这表明存在许多解。

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问题 3

除了高斯消元法之外，还有其他方法可以用来解线性方程组。在高中时，一种常见的解法是解出其中一个方程中的某个变量，然后将得到的表达式代入其他方程。重复此步骤，直到得到一个只含有一个变量的方程。由此，可以得到解的第一个数字，然后进行回代。这种方法比高斯消元法花费的时间更长，因为它涉及更多的算术运算，也更容易出错。为了说明这种方法如何导致错误的结论，我们将使用以下方程组：

${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&3y&=&1\\2x&+&y&=&-3\\2x&+&2y&=&0\end{array}}$

来自示例 1.12。

1. 解第一个方程求 $x$ 并将该表达式代入第二个方程。找到结果 $y$.
2. 再次解第一个方程求 $x$，但这次将该表达式代入第三个方程。找到这个 $y$.

使用此方法的用户必须采取哪些额外的步骤来避免错误地得出方程组有解的结论？

答案

1. 从 $x=1-3y$ 我们得到 $2(1-3y)+y=-3$，得到 $y=1$.
2. 从 $x=1-3y$ 我们得到 $2(1-3y)+2y=0$，导致得出结论 $y=1/2$.

使用这种方法的用户必须将所有可能的解代回所有方程中进行检验。

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问题 4

对于哪些 $k$ 的值，此方程组没有解、有无数个解，还是有唯一解？

${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&-&y&=&1\\3x&-&3y&=&k\end{array}}$

答案

进行以下化简

${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&-&y&=&1\\&&0&=&-3+k\end{array}}\end{array}}$

得出结论，如果 $k\neq 3$，则此方程组无解；如果 $k=3$，则此方程组有无穷多个解。它永远不会有唯一解。

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问题 5

从某种意义上说，此方程组不是线性的，

${\begin{array}{*{3}{rc}r}2\sin \alpha &-&\cos \beta &+&3\tan \gamma &=&3\\4\sin \alpha &+&2\cos \beta &-&2\tan \gamma &=&10\\6\sin \alpha &-&3\cos \beta &+&\tan \gamma &=&9\end{array}}$

尽管如此，我们仍然可以应用高斯消元法。请进行操作，该系统是否有解？

答案

令 $x=\sin \alpha$，$y=\cos \beta$，以及 $z=\tan \gamma$

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&-&y&+&3z&=&3\\4x&+&2y&-&2z&=&10\\6x&-&3y&+&z&=&9\end{array}}&{\xrightarrow[{-3\rho _{1}+\rho _{3}}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&-&y&+&3z&=&3\\&&4y&-&8z&=&4\\&&&&-8z&=&0\end{array}}\end{array}}$

得到 $z=0$，$y=1$，以及 $x=2$。请注意，没有 $\alpha$ 满足该要求。

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问题 6

为了使这些系统中的每一个都存在解，常数 $b$ 必须满足什么条件？提示 应用高斯消元法，看看右侧发生了什么 (Anton 1987)。

1. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&-&3y&=&b_{1}\\3x&+&y&=&b_{2}\\x&+&7y&=&b_{3}\\2x&+&4y&=&b_{4}\end{array}}$
2. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}x_{1}&+&2x_{2}&+&3x_{3}&=&b_{1}\\2x_{1}&+&5x_{2}&+&3x_{3}&=&b_{2}\\x_{1}&&&+&8x_{3}&=&b_{3}\end{array}}$

答案

1. 高斯消元法

   ${\xrightarrow[{\begin{array}{c}\\[-19pt]\scriptstyle -\rho _{1}+\rho _{3}\\[-5pt]\scriptstyle -2\rho _{1}+\rho _{4}\end{array}}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&-&3y&=&b_{1}\\&&10y&=&-3b_{1}+b_{2}\\&&10y&=&-b_{1}+b_{3}\\&&10y&=&-2b_{1}+b_{4}\end{array}}\;{\xrightarrow[{-\rho _{2}+\rho _{4}}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}\;{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&-&3y&=&b_{1}\\&&10y&=&-3b_{1}+b_{2}\\&&0&=&2b_{1}-b_{2}+b_{3}\\&&0&=&b_{1}-b_{2}+b_{4}\end{array}}$

   表明该系统仅当 $b_{3}=-2b_{1}+b_{2}$ 且 $b_{4}=-b_{1}+b_{2}$ 时才一致。
2. 化简

   ${\xrightarrow[{-\rho _{1}+\rho _{3}}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{3}{rc}r}x_{1}&+&2x_{2}&+&3x_{3}&=&b_{1}\\&&x_{2}&-&3x_{3}&=&-2b_{1}+b_{2}\\&&-2x_{2}&+&5x_{3}&=&-b_{1}+b_{3}\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{2\rho _{2}+\rho _{3}}}\;{\begin{array}{*{3}{rc}r}x_{1}&+&2x_{2}&+&3x_{3}&=&b_{1}\\&&x_{2}&-&3x_{3}&=&-2b_{1}+b_{2}\\&&&&-x_{3}&=&-5b_{1}++2b_{2}+b_{3}\end{array}}$

   表明每个 $b_{1}$，$b_{2}$ 和 $b_{3}$ 都可以是任何实数——这个系统总是有唯一的解。

问题 7

判断真假：未知数多于方程式的系统至少有一个解。 (如往常一样，要说是“真”，你必须证明它，而要说是“假”，你必须提供一个反例。)

答案

这个未知数多于方程式的系统

${\begin{array}{*{3}{rc}r}x&+&y&+&z&=&0\\x&+&y&+&z&=&1\end{array}}$

无解。

问题 8

任何像本小节开头的平衡反应问题这样的化学问题都必须有无数个解吗？

答案

是的。例如，同一个反应可以在两个不同的烧瓶中进行的事实表明，任何解的两倍都是另一个不同的解（如果发生物理反应，那么至少要有一个非零解）。

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问题 9

找到系数 $a$、$b$ 和 $c$，使得函数 $f(x)=ax^{2}+bx+c$ 的图像经过点 $(1,2)$、$(-1,6)$ 和 $(2,3)$。

答案

因为 $f(1)=2$、$f(-1)=6$ 和 $f(2)=3$，我们得到一个线性方程组。

${\begin{array}{*{3}{rc}r}1a&+&1b&+&c&=&2\\1a&-&1b&+&c&=&6\\4a&+&2b&+&c&=&3\end{array}}$

高斯消元法

${\begin{array}{rcl}{\xrightarrow[{-4\rho _{1}+\rho _{2}}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{3}{rc}r}a&+&b&+&c&=&2\\&&-2b&&&=&4\\&&-2b&-&3c&=&-5\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}a&+&b&+&c&=&2\\&&-2b&&&=&4\\&&&&-3c&=&-9\end{array}}\end{array}}$

表明解是 $f(x)=1x^{2}-2x+3$。

问题 10

高斯消元法通过对方程组中的方程进行组合来生成新的方程。

1. 方程 $3x-2y=5$ 能否通过一系列高斯消元步骤从该方程组中的方程推导出来？

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&y&=&1\\4x&-&y&=&6\end{array}}$

2. 方程 $5x-3y=2$ 能否通过一系列高斯消元步骤从该方程组中推导出来？

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}2x&+&2y&=&5\\3x&+&y&=&4\end{array}}$

3. 方程 $6x-9y+5z=-2$ 能否通过一系列高斯消元步骤从该方程组中推导出来？

   ${\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&+&y&-&z&=&4\\6x&-&3y&+&z&=&5\end{array}}$

答案

1. 是的，通过观察，给定方程来自 $-\rho _{1}+\rho _{2}$.
2. 否。给定方程被对 $(1,1)$ 满足。但是，该对不满足方程组中的第一个方程。
3. 是的。要查看给定行是否为 $c_{1}\rho _{1}+c_{2}\rho _{2}$，求解关于 $x$、$y$、$z$ 以及常数的系数的方程组

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}2c_{1}&+&6c_{2}&=&6\\c_{1}&-&3c_{2}&=&-9\\-c_{1}&+&c_{2}&=&5\\4c_{1}&+&5c_{2}&=&-2\end{array}}$

   并得到 $c_{1}=-3$ 和 $c_{2}=2$，所以给定行是 $-3\rho _{1}+2\rho _{2}$.

问题 11

证明，当 $a,b,\ldots ,e$ 是实数，并且 $a\neq 0$，如果

$ax+by=c$

与

$ax+dy=e$

具有相同的解集，那么它们是同一个方程。如果 $a=0$ 会怎样？

答案

如果 $a\neq 0$，那么第一个方程的解集为 $\{(x,y)\,{\big |}\,x=(c-by)/a\}$。令 $y=0$，得到解 $(c/a,0)$，由于第二个方程应该有相同的解集，所以代入得到 $a(c/a)+d\cdot 0=e$，所以 $c=e$。然后令 $y=1$ 代入 $x=(c-by)/a$，得到 $a((c-b)/a)+d\cdot 1=e$，从而得到 $b=d$。因此，它们是同一个方程。

当 $a=0$ 时，方程可以不同但仍然有相同的解集：例如，$0x+3y=6$ 和 $0x+6y=12$。

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问题 12

证明，如果 $ad-bc\neq 0$ 那么

${\begin{array}{*{2}{rc}r}ax&+&by&=&j\\cx&+&dy&=&k\end{array}}$

有唯一解。

答案

我们分三种情况讨论：当 $a\neq 0$，当 $a=0$ 且 $c\neq 0$，以及当 $a=0$ 且 $c=0$。

对于第一种情况，我们假设 $a\neq 0$。那么化简后得到

${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{-(c/a)\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}ax&+&by&=&j\\&&(-{\frac {cb}{a}}+d)y&=&-{\frac {cj}{a}}+k\end{array}}\end{array}}$

表明该系统有唯一解当且仅当 $-(cb/a)+d\neq 0$；记住 $a\neq 0$，所以回代可以得到唯一的一个 $x$（顺便观察一下，$j$ 和 $k$ 对结论是否有唯一解没有影响，虽然如果存在唯一解，那么它们会影响解的值）。但是 $-(cb/a)+d=(ad-bc)/a$，分数不等于 $0$ 当且仅当它的分子不等于 $0$。因此，在第一种情况下，有唯一解当且仅当 $ad-bc\neq 0$。

在第二种情况下，如果 $a=0$ 但 $c\neq 0$，则交换

${\begin{array}{*{2}{rc}r}cx&+&dy&=&k\\&&by&=&j\end{array}}$

得出结论，当且仅当 $b\neq 0$ 时，该系统具有唯一解（我们使用 $c\neq 0$ 的情况假设，以获得唯一 $x$ 进行回代)。 但是，在 $a=0$ 且 $c\neq 0$ 时，条件 "$b\neq 0$" 等价于条件 "$ad-bc\neq 0$"。 这就完成了第二种情况。

最后，对于第三种情况，如果 $a$ 和 $c$ 都是 $0$，则该系统

${\begin{array}{*{2}{rc}r}0x&+&by&=&j\\0x&+&dy&=&k\end{array}}$

可能无解（如果第二个方程不是第一个方程的倍数），也可能具有无穷多个解（如果第二个方程是第一个方程的倍数，则对于满足两个方程的每个 $y$，任何对 $(x,y)$ 都可以），但它永远不会有唯一解。 注意，$a=0$ 且 $c=0$ 导致 $ad-bc=0$.

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问题 13

在系统

${\begin{array}{*{2}{rc}r}ax&+&by&=&c\\dx&+&ey&=&f\end{array}}$

每个方程都在 $xy$-平面上描述了一条直线。通过几何推理，证明存在三种可能性：存在唯一解，不存在解，存在无穷多解。

答案

回想一下，如果一对直线共享两个不同的点，那么它们是同一条直线。这是因为两点确定一条直线，所以这两个点确定了这两条直线中的每一条，因此它们是同一条直线。

因此，直线可以共享一个点（给出唯一解），不共享任何点（给出无解），或至少共享两个点（这使得它们是同一条直线）。

问题 14

完成对 定理 1.4 的证明。

答案

对于将 $\rho _{i}$ 乘以非零实数 $k$ 的约简操作，我们有 $(s_{1},\ldots ,s_{n})$ 满足该系统

${\begin{array}{*{4}{rc}r}a_{1,1}x_{1}&+&a_{1,2}x_{2}&+&\cdots &+&a_{1,n}x_{n}&=&d_{1}\\&&&&&&&\vdots \\ka_{i,1}x_{1}&+&ka_{i,2}x_{2}&+&\cdots &+&ka_{i,n}x_{n}&=&kd_{i}\\&&&&&&&\vdots \\a_{m,1}x_{1}&+&a_{m,2}x_{2}&+&\cdots &+&a_{m,n}x_{n}&=&d_{m}\end{array}}$

当且仅当

${\begin{array}{rl}a_{1,1}s_{1}+a_{1,2}s_{2}+\cdots +a_{1,n}s_{n}&=d_{1}\\&\vdots \\{\text{and }}ka_{i,1}s_{1}+ka_{i,2}s_{2}+\cdots +ka_{i,n}s_{n}&=kd_{i}\\&\vdots \\{\text{and }}a_{m,1}s_{1}+a_{m,2}s_{2}+\cdots +a_{m,n}s_{n}&=d_{m}\end{array}}$

根据“满足”的定义。但是，因为 $k\neq 0$，这在当且仅当

${\begin{array}{rl}a_{1,1}s_{1}+a_{1,2}s_{2}+\cdots +a_{1,n}s_{n}&=d_{1}\\&\vdots \\{\text{and }}a_{i,1}s_{1}+a_{i,2}s_{2}+\cdots +a_{i,n}s_{n}&=d_{i}\\&\vdots \\{\text{and }}a_{m,1}s_{1}+a_{m,2}s_{2}+\cdots +a_{m,n}s_{n}&=d_{m}\end{array}}$

(这在$i$方程的两边直接约去) 是显而易见的，这说明 $(s_{1},\ldots ,s_{n})$ 是方程组的解。

${\begin{array}{*{4}{rc}r}a_{1,1}x_{1}&+&a_{1,2}x_{2}&+&\cdots &+&a_{1,n}x_{n}&=&d_{1}\\&&&&&&&\vdots \\a_{i,1}x_{1}&+&a_{i,2}x_{2}&+&\cdots &+&a_{i,n}x_{n}&=&d_{i}\\&&&&&&&\vdots \\a_{m,1}x_{1}&+&a_{m,2}x_{2}&+&\cdots &+&a_{m,n}x_{n}&=&d_{m}\end{array}}$

正如所要求的。

对于枢轴操作 $k\rho _{i}+\rho _{j}$，我们有 $(s_{1},\ldots ,s_{n})$ 满足

${\begin{array}{*{4}{rc}r}a_{1,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{1,n}x_{n}&=&d_{1}\\&&&&&\vdots \\a_{i,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{i,n}x_{n}&=&d_{i}\\&&&&&\vdots \\(ka_{i,1}+a_{j,1})x_{1}&+&\cdots &+&(ka_{i,n}+a_{j,n})x_{n}&=&kd_{i}+d_{j}\\&&&&&\vdots \\a_{m,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{m,n}x_{n}&=&d_{m}\end{array}}$

当且仅当

${\begin{array}{rl}a_{1,1}s_{1}+\cdots +a_{1,n}s_{n}&=d_{1}\\&\vdots \\{\text{and }}a_{i,1}s_{1}+\cdots +a_{i,n}s_{n}&=d_{i}\\&\vdots \\{\text{and }}(ka_{i,1}+a_{j,1})s_{1}+\cdots +(ka_{i,n}+a_{j,n})s_{n}&=kd_{i}+d_{j}\\&\vdots \\{\text{and }}a_{m,1}s_{1}+a_{m,2}s_{2}+\cdots +a_{m,n}s_{n}&=d_{m}\end{array}}$

根据“满足”的定义，从第 $j$ 个等式中减去 $k$ 倍的第 $i$ 个等式（注：这里需要 $i\neq j$ ；如果 $i=j$ ，则上面两个 $d_{i}$ 不相等），得到前述复合语句成立当且仅当

${\begin{array}{rl}a_{1,1}s_{1}+\cdots +a_{1,n}s_{n}&=d_{1}\\&\vdots \\{\text{and }}a_{i,1}s_{1}+\cdots +a_{i,n}s_{n}&=d_{i}\\&\vdots \\{\text{and }}(ka_{i,1}+a_{j,1})s_{1}+\cdots +(ka_{i,n}+a_{j,n})s_{n}\\\quad -(ka_{i,1}s_{1}+\cdots +ka_{i,n}s_{n})&=kd_{i}+d_{j}-kd_{i}\\&\vdots \\{\text{and }}a_{m,1}s_{1}+\cdots +a_{m,n}s_{n}&=d_{m}\end{array}}$

哪个，在取消后，说$(s_{1},\ldots ,s_{n})$ 解決

${\begin{array}{*{4}{rc}r}a_{1,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{1,n}x_{n}&=&d_{1}\\&&&&&\vdots \\a_{i,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{i,n}x_{n}&=&d_{i}\\&&&&&\vdots \\a_{j,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{j,n}x_{n}&=&d_{j}\\&&&&&\vdots \\a_{m,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{m,n}x_{n}&=&d_{m}\end{array}}$

正如所要求的。

問題 15

是否存在一個解集為整個$\mathbb {R} ^{2}$ 的二元一次方程組？

答案

是的，這個一元一次方程組

$0x+0y=0$

由每個 $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ 滿足。

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問題 16

高斯消元法中使用的任何運算都是多餘的嗎？也就是說，任何運算都可以由其他運算合成嗎？

答案

是的。這一步運算交換了行$i$ 和$j$

${\xrightarrow[{}]{\rho _{i}+\rho _{j}}}\quad {\xrightarrow[{}]{-\rho _{j}+\rho _{i}}}\quad {\xrightarrow[{}]{\rho _{i}+\rho _{j}}}\quad {\xrightarrow[{}]{-1\rho _{i}}}$

因此，在其他兩個運算存在的情況下，行交換運算是多餘的。

問題 17

證明高斯消元法的每個運算都是可逆的。也就是說，顯示如果兩個系統通過一個行運算$S_{1}\rightarrow S_{2}$ 相關聯，則存在一個行運算可以返回$S_{2}\rightarrow S_{1}$。

答案

交換行由交換回來逆轉。

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{3}{rc}r}a_{1,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{1,n}x_{n}&=&d_{1}\\&&&&&\vdots \\a_{m,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{m,n}x_{n}&=&d_{m}\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{\rho _{i}\leftrightarrow \rho _{j}}}\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{j}\leftrightarrow \rho _{i}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}a_{1,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{1,n}x_{n}&=&d_{1}\\&&&&&\vdots \\a_{m,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{m,n}x_{n}&=&d_{m}\end{array}}\end{array}}$

将一行两边都乘以$k\neq 0$ 可以通过除以$k$ 来逆转。

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{3}{rc}r}a_{1,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{1,n}x_{n}&=&d_{1}\\&&&&&\vdots \\a_{m,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{m,n}x_{n}&=&d_{m}\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{k\rho _{i}}}\;{\xrightarrow[{}]{(1/k)\rho _{i}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}a_{1,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{1,n}x_{n}&=&d_{1}\\&&&&&\vdots \\a_{m,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{m,n}x_{n}&=&d_{m}\end{array}}\end{array}}$

将一行乘以$k$ 并加到另一行，可以通过将该行乘以$-k$ 来逆转。

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{3}{rc}r}a_{1,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{1,n}x_{n}&=&d_{1}\\&&&&&\vdots \\a_{m,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{m,n}x_{n}&=&d_{m}\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{k\rho _{i}+\rho _{j}}}\;{\xrightarrow[{}]{-k\rho _{i}+\rho _{j}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}a_{1,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{1,n}x_{n}&=&d_{1}\\&&&&&\vdots \\a_{m,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{m,n}x_{n}&=&d_{m}\end{array}}\end{array}}$

备注：观察第三种情况，如果我们允许 $i=j$，那么结果将不成立。

${\begin{array}{*{2}{rc}r}3x&+&2y&=&7\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{2\rho _{1}+\rho _{1}}}\;{\begin{array}{*{2}{rc}r}9x&+&6y&=&21\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{1}}}\;{\begin{array}{*{2}{rc}r}-9x&-&6y&=&-21\end{array}}$

？ 问题 18

一个装有便士、镍币和一角硬币的盒子，里面有 13 个硬币，总价值为 $83$ 美分。盒子里每种硬币有多少个？ (Anton 1987)

答案

设 $p$、$n$ 和 $d$ 分别代表便士、镍币和一角硬币的数量。对于作为实数的变量，这个系统

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{3}{rc}r}p&+&n&+&d&=&13\\p&+&5n&+&10d&=&83\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}p&+&n&+&d&=&13\\&&4n&+&9d&=&70\end{array}}\end{array}}$

有无穷多个解。但是，只有有限多个解，其中$p$、$n$ 和 $d$ 是非负整数。遍历 $d=0$，...，$d=8$ 表明 $(p,n,d)=(3,4,6)$ 是唯一合理的解。

? 问题 19

给出四个正整数。选择其中三个整数，找到它们的算术平均值，并将该结果加到第四个整数上。因此，得到数字 29、23、21 和 17。一个原始整数是

1. 19
2. 21
3. 23
4. 29
5. 17

(Salkind 1975, 1955 年问题 38)

答案

求解系统

${\begin{array}{*{2}{rc}r}(1/3)(a+b+c)&+&d&=&29\\(1/3)(b+c+d)&+&a&=&23\\(1/3)(c+d+a)&+&b&=&21\\(1/3)(d+a+b)&+&c&=&17\end{array}}$

我们得到 $a=12$、$b=9$、$c=3$、$d=21$。因此，第二项 21 是正确答案。

建议所有读者练习此题。

? 问题 20

嘲笑一下这个：${\mbox{AHAHA}}+{\mbox{TEHE}}={\mbox{TEHAW}}$。它是通过用一个代码字母替换简单加法例题中每个数字的数字而得到的，需要识别这些字母并证明解是唯一的 (Ransom & Gupta 1935)。

答案

这是答案在引用的来源中给出的方式。

比较该加法算式中个位和百位的数字，可以看出十位数必须进位。然后，十位数告诉我们 $A<H$，因此个位和百位不可能进位。那么，这五个数字列可以得到以下五个等式。

${\begin{array}{rl}A+E&=W\\2H&=A+10\\H&=W+1\\H+T&=E+10\\A+1&=T\end{array}}$

如果同时解这五个未知数的五个线性方程，可以得到唯一的解：$A=4$，$T=5$，$H=7$，$W=6$ 和 $E=2$，因此原始加法的例子是 $47474+5272=52746$.

? 问题 21

沃哈斯库姆县委员会由 20 名成员组成，最近需要选举主席。共有三位候选人 ($A$, $B$, 和 $C$)；在每张选票上，三位候选人都要按优先顺序排列，不得弃权。结果发现，11 名成员（多数）更喜欢 $A$ 胜过 $B$（因此，其余 9 人更喜欢 $B$ 胜过 $A$）。同样，结果还发现，12 名成员更喜欢 $C$ 胜过 $A$。鉴于这些结果，有人建议 $B$ 应该退出，以便在 $A$ 和 $C$ 之间进行决选。然而，$B$ 提出抗议，随后发现，14 名成员更喜欢 $B$ 胜过 $C$！委员会至今尚未从由此造成的混乱中恢复过来。鉴于 $A$, $B$, $C$ 的所有可能排列顺序至少在一张选票上出现，有多少名成员将 $B$ 作为首选投票（吉尔伯特、克鲁斯迈耶和拉森 1993，问题编号 2）？

答案

这是答案在引用的来源中给出的方式。

八名委員投票支持 $B$。为了证明这一点，我们将利用给定的信息来研究有多少投票者选择了每个 $A$、$B$、$C$的顺序。

六个优先顺序是： $ABC$、$ACB$、$BAC$、$BCA$、$CAB$、$CBA$；假设它们分别收到 $a$、$b$、$c$、$d$、$e$、$f$票。我们知道

${\begin{array}{*{3}{rc}r}a&+&b&+&e&=&11\\d&+&e&+&f&=&12\\a&+&c&+&d&=&14\end{array}}$

从喜欢 $A$ 超过 $B$ 的人数中，喜欢 $C$ 超过 $A$ 的人数，以及喜欢 $B$ 超过 $C$ 的人数。由于共计 20 票，我们也知道

${\begin{array}{*{3}{rc}r}c&+&d&+&f&=&9\\a&+&b&+&c&=&8\\b&+&e&+&f&=&6\end{array}}$

从喜欢 $B$ 超过 $A$ 的偏好中，对于 $A$ 超过 $C$ 的偏好，以及对于 $C$ 超过 $B$ 的偏好。

解为 $a=6$，$b=1$，$c=1$，$d=7$，$e=4$ 和 $f=1$。因此，将 $B$ 作为首选投票的委员人数为 $c+d=1+7=8$。

评论。 如果我们只知道 至少 14 位委员更喜欢 $B$ 超过 $C$，这个问题的答案将相同。

评委偏好的看似矛盾的本质（$A$优于$B$，$B$优于$C$，$C$优于$A$），这种“非传递优势”的例子在汇总个人选择时并不少见。

？ 问题 22

“这个包含$n$个线性方程和$n$个未知数的系统，”伟大的数学家说，“有一个奇妙的性质。”

“天哪！”可怜的坚果说，“是什么？”

“请注意，”伟大的数学家说，“常数是算术级数。”

“当你解释的时候，一切都如此清楚！”可怜的坚果说。“你是指像$6x+9y=12$和$15x+18y=21$这样吗？”

“没错，”伟大的数学家说着，掏出他的大提琴。“事实上，这个系统有一个唯一的解。你能找到它吗？”

“天哪！”可怜的坚果喊道，“我感到困惑。”

你呢？ (Dudley, Lebow & Rothman 1963)

答案

这是答案在引用的来源中给出的方式。

我们还没有使用“依赖”这个词；这里它意味着高斯方法表明没有唯一的解。如果$n\geq 3$，则该系统是依赖的，解不唯一。因此$n<3$。但“系统”这个词意味着$n>1$。因此$n=2$。如果这些方程是

${\begin{array}{*{2}{rc}r}ax&+&(a+d)y&=&a+2d\\(a+3d)x&+&(a+4d)y&=&a+5d\end{array}}$

那么$x=-1$，$y=2$。

参考资料

• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra, John Wiley & Sons.
• Dudley, Underwood（提出者）；Lebow, Arnold（提出者）；Rothman, David（解题者）（1963），“Elemantary problem 1151”，American Mathematical Monthly，70（1）：93 {{citation}}: 未知参数 |month= 被忽略 (帮助).
• Gilbert, George T.；Krusemeyer, Mark；Larson, Loren C.（1993），The Wohascum County Problem Book，美国数学协会.
• Ransom, W. R.（提出者）；Gupta, Hansraj（解题者）（1935），“Elementary problem 105”，American Mathematical Monthly，42（1）：47 {{citation}}: 未知参数 |month= 被忽略 (帮助).
• Salkind, Charles T.（1975），Contest Problem Book No 1: Annual High School Mathematics Examinations 1950-1960.