线性代数/高斯消元法

定义 1.1

线性方程 在变量 $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ 中的形式为

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+\cdots +a_{n}x_{n}=d$

其中数字 $a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R}$ 是方程的系数，$d\in \mathbb {R}$ 是常数。一个 $n$-元组 $(s_{1},s_{2},\dots ,s_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ 是该方程的解，或满足该方程，如果将数字 $s_{1},\dots ,s_{n}$ 代入变量得到一个真命题：$a_{1}s_{1}+a_{2}s_{2}+\ldots +a_{n}s_{n}=d$.

线性方程组

${\begin{array}{*{4}{rc}r}a_{1,1}x_{1}&+&a_{1,2}x_{2}&+&\cdots &+&a_{1,n}x_{n}&=&d_{1}\\a_{2,1}x_{1}&+&a_{2,2}x_{2}&+&\cdots &+&a_{2,n}x_{n}&=&d_{2}\\&&&&&&&\vdots \\a_{m,1}x_{1}&+&a_{m,2}x_{2}&+&\cdots &+&a_{m,n}x_{n}&=&d_{m}\end{array}}$

的解是 $(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})$ 如果该 $n$-元组是系统中所有方程的解。

示例 1.2

有序对 $(-1,5)$ 是该系统的解。

${\begin{array}{*{2}{rc}r}4x_{1}&+&2x_{2}&=&6\\-x_{1}&+&x_{2}&=&6\end{array}}$

相反地，$(5,-1)$ 不是一个解。

找到所有解的集合就是 **求解** 该方程组。不需要猜测或好运来求解线性方程组。存在一个始终有效的算法。以下示例介绍该算法，称为 **高斯消元法**。它逐步将系统转换为一种易于求解的形式。

例 1.3

要解此方程组

${\begin{array}{*{3}{rc}r}&&&&3x_{3}&=&9\\x_{1}&+&5x_{2}&-&2x_{3}&=&2\\{\frac {1}{3}}x_{1}&+&2x_{2}&&&=&3\end{array}}$

我们重复变换它，直到它变成一种易于求解的形式。

${\begin{array}{rcl}\quad &{\xrightarrow[{}]{\text{swap row 1 with row 3}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}{\frac {1}{3}}x_{1}&+&2x_{2}&&&=&3\\x_{1}&+&5x_{2}&-&2x_{3}&=&2\\&&&&3x_{3}&=&9\end{array}}\\&{\xrightarrow[{}]{\text{multiply row 1 by 3}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}x_{1}&+&6x_{2}&&&=&9\\x_{1}&+&5x_{2}&-&2x_{3}&=&2\\&&&&3x_{3}&=&9\end{array}}\\&{\xrightarrow[{}]{{\text{add }}-1{\text{ times row 1 to row 2}}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}x_{1}&+&6x_{2}&&&=&9\\&&-x_{2}&-&2x_{3}&=&-7\\&&&&3x_{3}&=&9\end{array}}\end{array}}$

第三步是唯一一个非平凡的步骤。我们已经用$-1$ 乘以第一行两边，用它加上旧的第二行，并将结果写为新的第二行。

现在我们可以求出每个变量的值。底部的方程式表明 $x_{3}=3$。将 $3$ 代入 $x_{3}$ 中间的方程式表明 $x_{2}=1$。将这两个值代入顶部的方程式，得到 $x_{1}=3$，因此该系统有一个唯一的解：解集为 $\{\,(3,1,3)\,\}$。

本节的大部分内容和下一节内容都是关于用高斯消元法解线性方程组的示例。我们将在本书中一直使用它。它又快又简单。但是，在我们开始这些例子之前，我们首先要证明这种方法也是安全的，它永远不会丢失解，也不会产生多余的解。

定理 1.4（高斯消元法）

如果线性方程组通过以下操作之一转换为另一个方程组

1. 一个方程式与另一个方程式交换
2. 一个方程式的两边乘以一个非零常数
3. 一个方程被它自身与另一个方程的倍数的和替换

那么这两个系统具有相同的解集。

这三种操作都有一定的限制。将一行乘以 $0$ 是不允许的，因为这显然会改变系统的解集。类似地，将一行与自身的倍数相加也是不允许的，因为将 $-1$ 倍的自身相加的效果是将该行乘以 $0$。最后，不允许将一行与自身交换，这是为了使第四章中的一些结果更易于陈述和记忆（此外，自身交换没有意义）。

证明

我们将在这里介绍行交换操作，并将其他两种情况留到 习题 14。

考虑将第 $i$ 行与第 $j$ 行交换。

如果仅交换 $n$-元组 $(s_{1},\ldots ,s_{n})$ 能满足交换前的方程组，当且仅当将 $s$ 值代入变量 $x$ 后得到真命题： $a_{1,1}s_{1}+a_{1,2}s_{2}+\cdots +a_{1,n}s_{n}=d_{1}$ 以及 ... $a_{i,1}s_{1}+a_{i,2}s_{2}+\cdots +a_{i,n}s_{n}=d_{i}$ 以及 ... $a_{j,1}s_{1}+a_{j,2}s_{2}+\cdots +a_{j,n}s_{n}=d_{j}$ 以及 ... $a_{m,1}s_{1}+a_{m,2}s_{2}+\cdots +a_{m,n}s_{n}=d_{m}$.

在一个由“与”连接的语句组成的需求中，我们可以重新排列语句的顺序，使得该需求满足当且仅当 $a_{1,1}s_{1}+a_{1,2}s_{2}+\cdots +a_{1,n}s_{n}=d_{1}$ 且 ... $a_{j,1}s_{1}+a_{j,2}s_{2}+\cdots +a_{j,n}s_{n}=d_{j}$ 且 ... $a_{i,1}s_{1}+a_{i,2}s_{2}+\cdots +a_{i,n}s_{n}=d_{i}$ 且 ... $a_{m,1}s_{1}+a_{m,2}s_{2}+\cdots +a_{m,n}s_{n}=d_{m}$。这与在行交换之后，$(s_{1},\ldots ,s_{n})$ 是该方程组的解完全一致。

定义 1.5

来自 定理 1.4 的三个操作是 **基本约简操作**，或者 **行操作**，或者 **高斯操作**。它们是 **交换**、**乘以一个标量** 或 **缩放**，以及 **主元操作**。

在写出计算时，我们用 “行 $i$" 表示 “$\rho _{i}$"。例如，我们将主元操作表示为 $k\rho _{i}+\rho _{j}$，其中发生改变的行写在后面。为了节省写作，当多个主元操作使用相同的 $\rho _{i}$ 时，我们也会将它们一起列出。

示例 1.6

高斯方法的一个典型应用是解决这个方程组。

${\begin{array}{*{3}{rc}r}x&+&y&&&=&0\\2x&-&y&+&3z&=&3\\x&-&2y&-&z&=&3\end{array}}$

对方程组进行第一次变换，需要使用第一行消去第二行中的 $x$ 和第三行中的 $x$。为了消除第二行中的 $2x$，我们将第一行乘以 $-2$，将结果加到第二行，并将结果写成新的第二行。为了消除第三行中的 $x$，我们将第一行乘以 $-1$，将结果加到第三行，并将结果写成新的第三行。

${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{-\rho _{1}+\rho _{3}}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}x&+&y&&&=&0\\&&-3y&+&3z&=&3\\&&-3y&-&z&=&3\end{array}}\end{array}}$

(注意两个 $\rho _{1}$ 步骤 $-2\rho _{1}+\rho _{2}$ 和 $-\rho _{1}+\rho _{3}$ 被写成一个操作。) 在这个第二个系统中，最后两个方程只包含两个未知数。为了完成，我们将第二个系统转换为第三个系统，其中最后一个方程只包含一个未知数。这个变换利用第二行消去 $y$ 从第三行。

${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}x&+&y&&&=&0\\&&-3y&+&3z&=&3\\&&&&-4z&=&0\end{array}}\end{array}}$

现在我们已经准备好求解。第三行表明 $z=0$。 将它代入第二行得到 $y=-1$，然后代入第一行得到 $x=1$。

示例 1.7

对于本章开头提到的物理问题，高斯消元法给出了如下结果。

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{2}{rc}r}40h&+&15c&=&100\\-50h&+&25c&=&50\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{5/4\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}40h&+&15c&=&100\\&&(175/4)c&=&175\end{array}}\end{array}}$

所以 $c=4$，回代后可得 $h=1$。（化学问题将在后面解决。）

例 1.8

化简

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{3}{rc}r}x&+&y&+&z&=&9\\2x&+&4y&-&3z&=&1\\3x&+&6y&-&5z&=&0\end{array}}&{\xrightarrow[{-3\rho _{1}+\rho _{3}}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}x&+&y&+&z&=&9\\&&2y&-&5z&=&-17\\&&3y&-&8z&=&-27\end{array}}\\&{\xrightarrow[{}]{-(3/2)\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}x&+&y&+&z&=&9\\&&2y&-&5z&=&-17\\&&&&-(1/2)z&=&-(3/2)\end{array}}\end{array}}$

表明 $z=3$，$y=-1$，以及 $x=7$。

如这些例子所示，高斯消元法使用基本行变换来设置回代。

定义 1.9

在每一行中，第一个具有非零系数的变量称为该行的**主元变量**。如果每个主元变量都位于它上一行主元变量的右边（第一行主元变量除外），则该系统处于**阶梯形**。

例 1.10

上面的例子中唯一需要的操作是主元变换。下面是一个线性系统，它需要交换方程的操作。经过第一次主元变换

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&&&&&=&0\\2x&-&2y&+&z&+&2w&=&4\\&&y&&&+&w&=&0\\&&&&2z&+&w&=&5\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&&&&&=&0\\&&&&z&+&2w&=&4\\&&y&&&+&w&=&0\\&&&&2z&+&w&=&5\end{array}}\end{array}}$

第二个方程没有主元变量 $y$。为了获得一个，我们向下寻找系统中具有主元变量 $y$ 的行，并将其交换进来。

${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{\rho _{2}\leftrightarrow \rho _{3}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&&&&&=&0\\&&y&&&+&w&=&0\\&&&&z&+&2w&=&4\\&&&&2z&+&w&=&5\end{array}}\end{array}}$

(如果第二行下面还有其他行以$y$开头，我们可以交换其中任意一行。）高斯消元法的其他步骤与之前相同。

${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{3}+\rho _{4}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&&&&&=&0\\&&y&&&+&w&=&0\\&&&&z&+&2w&=&4\\&&&&&&-3w&=&-3\end{array}}\end{array}}$

回代得到$w=1$，$z=2$，$y=-1$，以及$x=-1$。

严格来说，对行进行缩放的操作并不是求解线性方程组所必需的。我们之所以包含它，是因为我们将在本章后面将其用作高斯消元法的一种变体，即高斯-若尔当消元法。

到目前为止，我们看到的线性方程组都具有与未知数数量相同的方程。这些方程组都有解，而且对于所有方程组，只有一个解。在本小节的最后，我们通过一些对比的情况，来了解其他可能出现的现象。

例 1.11

线性方程组不需要具有与未知数数量相同的方程。这个方程组

${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&3y&=&1\\2x&+&y&=&-3\\2x&+&2y&=&-2\end{array}}$

具有比变量更多的方程。高斯消元法有助于我们理解这个方程组，因为这个

${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{-2\rho _{1}+\rho _{3}}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&3y&=&1\\&&-5y&=&-5\\&&-4y&=&-4\end{array}}\end{array}}$

表明其中一个方程是多余的。阶梯形

${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{-(4/5)\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&3y&=&1\\&&-5y&=&-5\\&&0&=&0\end{array}}\end{array}}$

得出 $y=1$ 以及 $x=-2$。 “$0=0$” 是由冗余推导出来的。

该例子的系统方程数多于变量数。高斯消元法也适用于变量数多于方程数的系统。下一节将给出许多示例。

线性系统与之前示例的另一个区别在于一些线性系统没有唯一解。这种情况以两种方式出现。

第一种情况是它可能根本没有解。

例 1.12

将上例中的系统与以下系统进行对比。

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&3y&=&1\\2x&+&y&=&-3\\2x&+&2y&=&0\end{array}}&{\xrightarrow[{-2\rho _{1}+\rho _{3}}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&3y&=&1\\&&-5y&=&-5\\&&-4y&=&-2\end{array}}\end{array}}$

该系统是不一致的：没有一对数字能同时满足所有方程。梯形形式清楚地显示了这种不一致性。

${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{-(4/5)\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&3y&=&1\\&&-5y&=&-5\\&&0&=&2\end{array}}\end{array}}$

解集为空。

例 1.13

前面的系统方程数多于未知数，但这并非导致不一致的原因——例 1.11 中方程数多于未知数，但它是相容的。方程数多于未知数也不足以导致不一致，这一点可以通过以下具有相同方程数和未知数的不一致系统说明。

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&2y&=&8\\2x&+&4y&=&8\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&2y&=&8\\&&0&=&-8\end{array}}\end{array}}$

线性系统没有唯一解的另一种情况是它有多个解。

例 1.14

在此系统中

${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&y&=&4\\2x&+&2y&=&8\end{array}}$

任何满足第一个方程的数字对都会自动满足第二个方程。解集 $\{(x,y)\,{\big |}\,x+y=4\}$ 是无限的；其中一些成员是 $(0,4)$, $(-1,5)$, 以及 $(2.5,1.5)$。在此应用高斯方法的结果与前面的例子形成对比，因为我们没有得到矛盾的方程。

${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&y&=&4\\&&0&=&0\end{array}}\end{array}}$

不要被该例子中的“$0=0$”方程所迷惑。它不是系统具有多个解的信号。

示例 1.15

没有“$0=0$”并不意味着系统没有许多不同的解。该系统处于阶梯形式

${\begin{array}{*{3}{rc}r}x&+&y&+&z&=&0\\&&y&+&z&=&0\end{array}}$

没有“$0=0$”，但它有无穷多个解。（例如，以下每一个都是解：$(0,1,-1)$, $(0,1/2,-1/2)$, $(0,0,0)$, 以及 $(0,-\pi ,\pi )$。有无穷多个解，因为任何第一项为 $0$ 且第二项为第三项负数的三元组都是解。）

“$0=0$”的存在并不意味着该系统必须具有多个解。示例 1.11 说明了这一点。该系统也是如此，它没有多个解——实际上它没有解——尽管它在被带到阶梯形式时具有“$0=0$”行。

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&&&-&2z&=&6\\&&y&+&z&=&1\\2x&+&y&-&z&=&7\\&&3y&+&3z&=&0\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&&&-&2z&=&6\\&&y&+&z&=&1\\&&y&+&z&=&1\\&&3y&+&3z&=&0\end{array}}\\&{\xrightarrow[{-3\rho _{2}+\rho _{4}}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&&&-&2z&=&6\\&&y&+&z&=&1\\&&&&0&=&0\\&&&&0&=&-3\end{array}}\end{array}}$

我们将用本小节对我们迄今为止关于高斯消元法所学内容做一个总结。

高斯消元法使用三种行操作来将一个线性方程组设置为适合回代法。如果任何步骤显示了一个矛盾的方程式，那么我们可以停止，并得出结论，该线性方程组没有解。如果我们在没有矛盾方程式的的情况下达到阶梯形矩阵，并且每个变量都是其所在行的主元变量，那么该线性方程组只有一个解，我们可以通过回代法找到它。最后，如果我们在没有矛盾方程式的的情况下达到阶梯形矩阵，并且没有唯一解（至少一个变量不是主元变量），那么该线性方程组就有多个解。

下一小节将讨论第三种情况——我们将看到如何描述具有多个解的线性方程组的解集。

习题

此练习建议所有读者尝试。

问题 1

使用高斯消元法求解以下每个线性方程组的唯一解。

1. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}2x&+&3y&=&13\\x&-&y&=&-1\end{array}}$
   

   
   

2. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}x&&&-&z&=&0\\3x&+&y&&&=&1\\-x&+&y&+&z&=&4\end{array}}$

此练习建议所有读者尝试。

问题 2

使用高斯消元法求解以下每个线性方程组，或得出结论“有多个解”或“无解”。

1. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}2x&+&2y&=&5\\x&-&4y&=&0\end{array}}$
   

   
   

2. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}-x&+&y&=&1\\x&+&y&=&2\end{array}}$
   

   
   

3. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}x&-&3y&+&z&=&1\\x&+&y&+&2z&=&14\end{array}}$
   

   
   

4. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}-x&-&y&=&1\\-3x&-&3y&=&2\end{array}}$
   

   
   

5. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}&&4y&+&z&=&20\\2x&-&2y&+&z&=&0\\x&&&+&z&=&5\\x&+&y&-&z&=&10\end{array}}$
   

   
   

6. ${\begin{array}{*{4}{rc}r}2x&&&+&z&+&w&=&5\\&&y&&&-&w&=&-1\\3x&&&-&z&-&w&=&0\\4x&+&y&+&2z&+&w&=&9\end{array}}$

此练习建议所有读者尝试。

问题 3

除了高斯消元法之外，还有其他方法可以解线性方程组。高中通常会教的一种方法是解出其中一个方程中的一个变量，然后将所得的表达式代入其他方程。重复此步骤，直到得到一个只有一个变量的方程。由此可以得到解中的第一个数字，然后进行回代。这种方法比高斯消元法需要更长时间，因为它涉及更多算术运算，并且更容易导致错误。为了说明这种方法如何导致错误的结论，我们将使用这个方程组

${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&3y&=&1\\2x&+&y&=&-3\\2x&+&2y&=&0\end{array}}$

来自 示例 1.12。

1. 解出第一个方程中的 $x$ 并将该表达式代入第二个方程。找到所得的 $y$。
2. 再次解出第一个方程中的 $x$，但这次将该表达式代入第三个方程。找到这个 $y$。

使用这种方法的用户必须采取什么额外的步骤才能避免错误地得出方程组有解的结论？

此练习建议所有读者尝试。

问题 4

对于哪些值 $k$，这个方程组没有解、有无数个解或有唯一解？

${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&-&y&=&1\\3x&-&3y&=&k\end{array}}$

此练习建议所有读者尝试。

问题 5

这个方程组在某种程度上是非线性的，

${\begin{array}{*{3}{rc}r}2\sin \alpha &-&\cos \beta &+&3\tan \gamma &=&3\\4\sin \alpha &+&2\cos \beta &-&2\tan \gamma &=&10\\6\sin \alpha &-&3\cos \beta &+&\tan \gamma &=&9\end{array}}$

但我们仍然可以应用高斯消元法。请这样做。这个方程组有解吗？

此练习建议所有读者尝试。

问题 6

为了使这些方程组都存在解，常数 $b$ 必须满足什么条件？提示：应用高斯消元法，看看右侧发生了什么（Anton 1987）。

1. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&-&3y&=&b_{1}\\3x&+&y&=&b_{2}\\x&+&7y&=&b_{3}\\2x&+&4y&=&b_{4}\end{array}}$
   

   
   

2. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}x_{1}&+&2x_{2}&+&3x_{3}&=&b_{1}\\2x_{1}&+&5x_{2}&+&3x_{3}&=&b_{2}\\x_{1}&&&+&8x_{3}&=&b_{3}\end{array}}$

问题 7

判断对错：一个未知数个数多于方程个数的方程组至少有一个解。（像往常一样，要证明“正确”，你需要证明它，而要证明“错误”，你需要提供一个反例。）

问题 8

任何像本节开头的平衡反应问题这样的化学问题是否一定有无穷多个解？

此练习建议所有读者尝试。

问题 9

求系数$a$, $b$, 和 $c$ 使得 $f(x)=ax^{2}+bx+c$ 的图像经过点 $(1,2)$, $(-1,6)$, 和 $(2,3)$.

问题 10

高斯消元法通过组合方程组中的方程来生成新的方程。

1. 方程$3x-2y=5$ 可以通过一系列高斯消元步骤，从这个方程组中的方程推导出来吗？

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&y&=&1\\4x&-&y&=&6\end{array}}$

2. 方程$5x-3y=2$ 可以通过一系列高斯消元步骤，从这个方程组中的方程推导出来吗？

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}2x&+&2y&=&5\\3x&+&y&=&4\end{array}}$

3. 方程式 $6x-9y+5z=-2$ 能否通过一系列高斯消元步骤从该系统的方程式推导出？

   ${\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&+&y&-&z&=&4\\6x&-&3y&+&z&=&5\end{array}}$

问题 11

证明：当 $a,b,\ldots ,e$ 为实数且 $a\neq 0$ 时，如果

$ax+by=c$

与

$ax+dy=e$

具有相同的解集，那么它们是同一个方程式。如果 $a=0$ 呢？

此练习建议所有读者尝试。

问题 12

证明：如果 $ad-bc\neq 0$，那么

${\begin{array}{*{2}{rc}r}ax&+&by&=&j\\cx&+&dy&=&k\end{array}}$

有唯一解。

此练习建议所有读者尝试。

问题 13

在系统

${\begin{array}{*{2}{rc}r}ax&+&by&=&c\\dx&+&ey&=&f\end{array}}$

中，每个方程式在 $xy$ 平面中描述一条直线。通过几何推理，证明存在三种可能性：存在唯一解，不存在解和存在无限多个解。

问题 14

完成 定理 1.4 的证明。

问题 15

是否存在一个二元线性系统，其解集是整个 $\mathbb {R} ^{2}$？

此练习建议所有读者尝试。

问题 16

高斯消元法中使用的任何操作都是多余的吗？也就是说，任何操作都可以从其他操作合成吗？

问题 17

证明：高斯消元法的每个操作都是可逆的。也就是说，证明：如果两个系统通过行操作 $S_{1}\rightarrow S_{2}$ 相关联，那么存在一个行操作可以返回 $S_{2}\rightarrow S_{1}$。

? 问题 18

一个装有便士、镍币和角分的盒子包含 13 个硬币，总价值为 $83$ 美分。盒子里每种硬币有多少枚？(Anton 1987)

? 问题 19

给出四个正整数。选择其中任意三个整数，求其算术平均值，并将此结果加到第四个整数上。这样就得到了数字 29、23、21 和 17。其中一个原始整数是

1. 19
2. 21
3. 23
4. 29
5. 17

(Salkind 1975，1955 年问题 38)

此练习建议所有读者尝试。

? 问题 20

看看这个：${\mbox{AHAHA}}+{\mbox{TEHE}}={\mbox{TEHAW}}$。它是将一个简单的加法例子中的每个数字替换成一个代码字母得到的，要求识别这些字母并证明解的唯一性（Ransom & Gupta 1935）。

? 问题 21

Wohascum 县委员会共有 20 名成员，最近需要选举一名主席。共有三名候选人（$A$，$B$，和$C$）；每张选票都必须按优先顺序列出三名候选人，不得弃权。发现有 11 名成员（多数）更喜欢 $A$ 比 $B$ （因此其他 9 名成员更喜欢 $B$ 比 $A$）。同样，发现有 12 名成员更喜欢 $C$ 比 $A$。根据这些结果，有人建议 $B$ 应该退出，以便在 $A$ 和 $C$ 之间进行决选。然而，$B$ 抗议，之后发现有 14 名成员更喜欢 $B$ 比 $C$！委员会还没有从由此产生的混乱中恢复过来。鉴于 $A$，$B$，$C$ 的每种可能顺序至少出现在一张选票上，有多少名成员投票给 $B$ 作为他们的首选（Gilbert, Krusemeyer & Larson 1993，问题编号 2）？

? 问题 22

"这个有 $n$ 个未知数的 $n$ 个线性方程组，”伟大的数学家说，“它有一个奇特的性质。”

"天哪！"可怜的坚果说，“是什么？”

"注意，”伟大的数学家说，“常数是等差数列。”

"当你解释的时候，一切都变得如此清晰！"可怜的坚果说，“你是说像 $6x+9y=12$ 和 $15x+18y=21$ 这样吗？”

"没错，”伟大的数学家说着，拿出了他的巴松管。“事实上，即使更大的系统也能被解决，无论它们的级数如何。你能找到它们的解吗？”

"天哪！"可怜的坚果喊道，“我被难住了。”

是吗？（Dudley, Lebow & Rothman 1963)

解决方案

参考文献

• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra, John Wiley & Sons.
• Dudley, Underwood (proposer); Lebow, Arnold (proposer); Rothman, David (solver) (1963), "Elemantary problem 1151", American Mathematical Monthly, 70 (1): 93 {{citation}}: 未知参数 |month= 被忽略 (帮助).
• Gilbert, George T.; Krusemeyer, Mark; Larson, Loren C. (1993), The Wohascum County Problem Book, The Mathematical Association of America.
• Ransom, W. R. (proposer); Gupta, Hansraj (solver) (1935), "Elementary problem 105", American Mathematical Monthly, 42 (1): 47 {{citation}}: 未知参数 |month= 被忽略 (帮助).
• Salkind, Charles T. (1975), Contest Problem Book No 1: Annual High School Mathematics Examinations 1950-1960.