线性代数/高斯-若尔当消元法/解

解

建议所有读者进行此练习。

问题 1

使用高斯-若尔当消元法求解每个方程组。

${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&y&=&2\\x&-&y&=&0\end{array}}$
${\begin{array}{*{3}{rc}r}x&&&-&z&=&4\\2x&+&2y&&&=&1\end{array}}$
${\begin{array}{*{2}{rc}r}3x&-&2y&=&1\\6x&+&y&=&1/2\end{array}}$
${\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&-&y&&&=&-1\\x&+&3y&-&z&=&5\\&&y&+&2z&=&5\end{array}}$

答案

这些答案仅显示了高斯-若尔当消元法。有了它，描述解集就很容易了。

$\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&1&2\\1&-1&0\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&1&2\\0&-2&-2\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{-(1/2)\rho _{2}}}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&1&2\\0&1&1\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{1}}}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&0&1\\0&1&1\end{array}}\right)$
$\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&0&-1&4\\2&2&0&1\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&0&-1&4\\0&2&2&-7\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{(1/2)\rho _{2}}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&0&-1&4\\0&1&1&-7/2\end{array}}\right)$
$\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}3&-2&1\\6&1&1/2\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}3&-2&1\\0&5&-3/2\end{array}}\right){\xrightarrow[{(1/5)\rho _{2}}]{(1/3)\rho _{1}}}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&-2/3&1/3\\0&1&-3/10\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{(2/3)\rho _{2}+\rho _{1}}}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&0&2/15\\0&1&-3/10\end{array}}\right)$
交换行使得算术更容易。
$\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}2&-1&0&-1\\1&3&-1&5\\0&1&2&5\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{-(1/2)\rho _{1}+\rho _{2}}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}2&-1&0&-1\\0&7/2&-1&11/2\\0&1&2&5\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{\rho _{2}\leftrightarrow \rho _{3}}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}2&-1&0&-1\\0&1&2&5\\0&7/2&-1&11/2\end{array}}\right)$
${\begin{array}{rl}&{\xrightarrow[{}]{-(7/2)\rho _{2}+\rho _{3}}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}2&-1&0&-1\\0&1&2&5\\0&0&-8&-12\end{array}}\right){\xrightarrow[{-(1/8)\rho _{2}}]{(1/2)\rho _{1}}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&-1/2&0&-1/2\\0&1&2&5\\0&0&1&3/2\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{3}+\rho _{2}}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&-1/2&0&-1/2\\0&1&0&2\\0&0&1&3/2\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{(1/2)\rho _{2}+\rho _{1}}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&0&0&1/2\\0&1&0&2\\0&0&1&3/2\end{array}}\right)\end{array}}$

建议所有读者进行此练习。

问题 2

求解每个矩阵的简化行阶梯形。

${\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&3&1\\2&0&4\\-1&-3&-3\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&0&3&1&2\\1&4&2&1&5\\3&4&8&1&2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}0&1&3&2\\0&0&5&6\\1&5&1&5\end{pmatrix}}$

答案

使用高斯-约当消元法。

${\xrightarrow[{}]{-(1/2)\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}2&1\\0&5/2\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{(2/5)\rho _{2}}]{(1/2)\rho _{1}}}{\begin{pmatrix}1&1/2\\0&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-(1/2)\rho _{2}+\rho _{1}}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$
${\xrightarrow[{-3\rho _{1}+\rho _{3}}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&0&3&1&2\\0&4&-1&0&3\\0&4&-1&-2&-4\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&0&3&1&2\\0&4&-1&0&3\\0&0&0&-2&-7\end{pmatrix}}$
${\xrightarrow[{-(1/2)\rho _{3}}]{(1/4)\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&0&3&1&2\\0&1&-1/4&0&3/4\\0&0&0&1&7/2\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-\rho _{3}+\rho _{1}}}{\begin{pmatrix}1&0&3&0&-3/2\\0&1&-1/4&0&3/4\\0&0&0&1&7/2\end{pmatrix}}$
${\xrightarrow[{}]{\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&5&1&5\\0&0&5&6\\0&1&3&2\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{\rho _{2}\leftrightarrow \rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&5&1&5\\0&1&3&2\\0&0&5&6\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{(1/5)\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&5&1&5\\0&1&3&2\\0&0&1&6/5\end{pmatrix}}$
${\xrightarrow[{-\rho _{3}+\rho _{1}}]{-3\rho _{3}+\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&5&0&19/5\\0&1&0&-8/5\\0&0&1&6/5\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-5\rho _{2}+\rho _{1}}}{\begin{pmatrix}1&0&0&59/5\\0&1&0&-8/5\\0&0&1&6/5\end{pmatrix}}$

建议所有读者进行此练习。

问题 3

使用高斯-若尔当消元法求解每个解集，然后读出参数化。

${\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&+&y&-&z&=&1\\4x&-&y&&&=&3\end{array}}$
${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&&&-&z&&&=&1\\&&y&+&2z&-&w&=&3\\x&+&2y&+&3z&-&w&=&7\end{array}}$
${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&+&z&&&=&0\\&&y&&&+&w&=&0\\3x&-&2y&+&3z&+&w&=&0\\&&-y&&&-&w&=&0\end{array}}$
${\begin{array}{*{5}{rc}r}a&+&2b&+&3c&+&d&-&e&=&1\\3a&-&b&+&c&+&d&+&e&=&3\end{array}}$

答案

关于“高斯”部分的答案，请参见问题 I.2.5。

而“乔丹”部分则如下所示。
${\xrightarrow[{-(1/3)\rho _{2}}]{(1/2)\rho _{1}}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&1/2&-1/2&1/2\\0&1&-2/3&-1/3\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{-(1/2)\rho _{2}+\rho _{1}}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&0&-1/6&2/3\\0&1&-2/3&-1/3\end{array}}\right)$
解集如下
$\{{\begin{pmatrix}2/3\\-1/3\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1/6\\2/3\\1\end{pmatrix}}z\,{\big |}\,z\in \mathbb {R} \}$
第二个部分为
${\xrightarrow[{}]{\rho _{3}+\rho _{2}}}\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&0&-1&0&1\\0&1&2&0&3\\0&0&0&1&0\end{array}}\right)$
因此，解集如下所示。
$\{{\begin{pmatrix}1\\3\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\-2\\1\\0\end{pmatrix}}z\,{\big |}\,z\in \mathbb {R} \}$
此乔丹部分为
${\xrightarrow[{}]{\rho _{2}+\rho _{1}}}\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&0&1&1&0\\0&1&0&1&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{array}}\right)$
给出
$\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}z+{\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\\1\end{pmatrix}}w\,{\big |}\,z,w\in \mathbb {R} \}$
（当然，零向量可以从描述中省略）。
“Jordan” 一半
${\xrightarrow[{}]{-(1/7)\rho _{2}}}\left({\begin{array}{*{5}{c}|c}1&2&3&1&-1&1\\0&1&8/7&2/7&-4/7&0\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{-2\rho _{2}+\rho _{1}}}\left({\begin{array}{*{5}{c}|c}1&0&5/7&3/7&1/7&1\\0&1&8/7&2/7&-4/7&0\end{array}}\right)$
最终得到以下解集。
$\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-5/7\\-8/7\\1\\0\\0\end{pmatrix}}c+{\begin{pmatrix}-3/7\\-2/7\\0\\1\\0\end{pmatrix}}d+{\begin{pmatrix}-1/7\\4/7\\0\\0\\1\end{pmatrix}}e\,{\big |}\,c,d,e\in \mathbb {R} \}$

问题 4

给出此矩阵的两个不同的梯形形式。

{\begin{pmatrix}2&1&1&3\\6&4&1&2\\1&5&1&5\end{pmatrix}}

答案

常规的 Gauss 方法给出了一个

{\xrightarrow[{-(1/2)\rho _{1}+\rho _{3}}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}2&1&1&3\\0&1&-2&-7\\0&9/2&1/2&7/2\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-(9/2)\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}2&1&1&3\\0&1&-2&-7\\0&0&19/2&35\end{pmatrix}}

以及任何美观上的改变，例如将最下面一行乘以 $2$ ,

{\begin{pmatrix}2&1&1&3\\0&1&-2&-7\\0&0&19&70\end{pmatrix}}

会得到另一个。

建议所有读者进行此练习。

问题 5

列出每个尺寸可能的简化行阶梯形式。

$2\!\times \!2$
$2\!\times \!3$
$3\!\times \!2$
$3\!\times \!3$

答案

在下述情况下，我们取 $a,b\in \mathbb {R}$ 。因此，下面列出的某些规范形式实际上包括无限多种情况。特别是，它们包括情况 $a=0$ 和 $b=0$ 。

${\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}1&a\\0&0\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}1&a&b\\0&0&0\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}0&1&a\\0&0&0\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}1&0&a\\0&1&b\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}1&a&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\0&0\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}1&a&b\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}0&1&a\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}1&0&a\\0&1&b\\0&0&0\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}1&a&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

建议所有读者进行此练习。

问题 6

对非奇异矩阵应用高斯-约旦消元法会得到什么结果？

答案

非奇异齐次线性系统有唯一解。所以，非奇异矩阵必须简化为（方阵）矩阵，除了 $0$ 以外，所有元素都是 $1$ ，例如：

{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}},\quad {\text{or}}\quad {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\quad {\text{etc.}}

问题 7

引理 4 的证明中引用了行主元操作的 $i\neq j$ 条件。

行操作的定义对交换操作 $i\neq j$ 有一个条件 $\rho _{i}\leftrightarrow \rho _{j}$ 。证明在 $A{\xrightarrow[{}]{\rho _{i}\leftrightarrow \rho _{j}}}\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{i}\leftrightarrow \rho _{j}}}A$ 这个条件是不必要的。
写出一个 $2\!\times \!2$ 的非零矩阵，并证明 $-1\cdot \rho _{1}+\rho _{1}$ 操作不会被 $1\cdot \rho _{1}+\rho _{1}$ 操作逆转。
扩展该引理的证明，明确说明在什么地方使用了关于旋转的 $i\neq j$ 条件。

答案

操作 $\rho _{i}\leftrightarrow \rho _{i}$ 不会改变 $A$ 。
例如，
${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{1}}}{\begin{pmatrix}0&0\\3&4\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{\rho _{1}+\rho _{1}}}{\begin{pmatrix}0&0\\3&4\end{pmatrix}}$
使矩阵发生改变。
如果 $i\neq j$ ，那么
${\begin{array}{rcl}{\begin{pmatrix}\vdots \\a_{i,1}&\cdots &a_{i,n}\\\vdots \\a_{j,1}&\cdots &a_{j,n}\\\vdots \end{pmatrix}}&{\xrightarrow[{}]{k\rho _{i}+\rho _{j}}}&{\begin{pmatrix}\vdots \\a_{i,1}&\cdots &a_{i,n}\\\vdots \\ka_{i,1}+a_{j,1}&\cdots &ka_{i,n}+a_{j,n}\\\vdots \end{pmatrix}}\\&{\xrightarrow[{}]{-k\rho _{i}+\rho _{j}}}&{\begin{pmatrix}\vdots \\a_{i,1}&\cdots &a_{i,n}\\\vdots \\-ka_{i,1}+ka_{i,1}+a_{j,1}&\cdots &-ka_{i,n}+ka_{i,n}+a_{j,n}\\\vdots \end{pmatrix}}\end{array}}$
的确给出了 $A$ 。当然，如果 $i=j$ ，那么第三个矩阵的元素将具有 $-k(ka_{i,j}+a_{i,j})+ka_{i,j}+a_{i,j}$ 的形式。)