线性代数/一般系统

考虑 m 个方程组

$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}$
$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+\ldots +a_{2n}x_{n}=b_{2}$
$a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}+\ldots +a_{3n}x_{n}=b_{3}$
$\vdots$
$a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+a_{m3}x_{3}+\ldots +a_{mn}x_{n}=b_{m}$

以及矩阵

$A=\left({\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{matrix}}\right)$

$A_{1}=\left({\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}&b_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}&b_{m}\end{matrix}}\right)$

克罗内克-卡佩利定理

一般线性方程组有解，当且仅当 A 的秩等于 A₁ 的秩。如果 A 的秩小于 A₁ 的秩，则该方程组无解。

证明

线性方程组只有当 A₁ 的最后一列是其他列的线性组合时才有解。如果是这样，那么根据之前证明的定理，A 的列空间与 A₁ 的列空间相同，因此它们的秩相同。现在，假设它们的秩相同。那么 A 的基列也构成 A₁ 的基列，因为它们具有相同维度的列空间。因此，它们的列空间相同，所以最后一列也属于 A 的列空间，因此与其他列线性相关，这种线性相关性是该方程组的解。假设 A₁ 的秩大于 A。这意味着另一个证明是，如果我们假设 A 的秩为 r，因此如果 b 与 {a1,a2....ar} 线性相关，它证明了 {a1,a2...ar,b} 的秩为 r，因此定理得以解决。但是，如果 b 不是系统 (a1,a2.....ar) 的组合，这意味着系统 (a1,a2...ar,b) 是系统 (a1....an,b) 的基，如果我们将任何 ai/r<i<n 附加到系统 (a1,a2...ar,b,ai} 上，它将是线性的，这意味着系统 (a1,a2.....ar,b) 是 {a1,a2.....an.b) 的基，因此 (a1,a2.....an,b) 的秩等于 Rank(A)+1。所以我们不能解决系统。