线性代数/Gram-Schmidt 正交化/解题

解题

问题 1

对 $\mathbb {R} ^{2}$ 的每个基进行 Gram-Schmidt 过程。

1. $\left\langle {\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\-1\\5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\4\\2\end{pmatrix}}\right\rangle$
2. $\left\langle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}\right\rangle$
3. $\left\langle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}\right\rangle$

然后将这些正交基转换为标准正交基。

答案

1. ${\begin{array}{rl}{\vec {\kappa }}_{1}&={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\\{\vec {\kappa }}_{2}&={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}-{\frac {{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}-{\frac {3}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1/2\\-1/2\end{pmatrix}}\end{array}}$

2. ${\begin{array}{rl}{\vec {\kappa }}_{1}&={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\\{\vec {\kappa }}_{2}&={\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}-{\frac {{\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}-{\frac {3}{1}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}\end{array}}$

3. ${\begin{array}{rl}{\vec {\kappa }}_{1}&={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\\{\vec {\kappa }}_{2}&={\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}-{\frac {{\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}-{\frac {0}{1}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}\end{array}}$

这三个部分的相应正交基如下。

$\left\langle {\begin{pmatrix}1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}/2\\-{\sqrt {2}}/2\end{pmatrix}}\right\rangle \qquad \left\langle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}\right\rangle \qquad \left\langle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}\right\rangle$

本练习推荐所有读者完成。

问题 2

对 $\mathbb {R} ^{3}$ 的每个基进行 Gram-Schmidt 正交化。

1. $\left\langle {\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}}\right\rangle$
2. $\left\langle {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}}\right\rangle$

然后将这些正交基转换为标准正交基。

答案

1. ${\begin{array}{rl}{\vec {\kappa }}_{1}&={\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}}\\{\vec {\kappa }}_{2}&={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}-{\frac {{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}-{\frac {0}{12}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}\\{\vec {\kappa }}_{3}&={\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}})-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{2}]}({\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}}-{\frac {{\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}}-{\frac {{\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}\\&\quad ={\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}}-{\frac {8}{12}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}}-{\frac {-1}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-5/6\\5/3\\-5/6\end{pmatrix}}\end{array}}$

2. ${\begin{array}{rl}{\vec {\kappa }}_{1}&={\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}\\{\vec {\kappa }}_{2}&={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}-{\frac {{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}-{\frac {-1}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1/2\\1/2\\0\end{pmatrix}}\\{\vec {\kappa }}_{3}&={\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}})-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{2}]}({\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}})\\&={\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}}-{\frac {{\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}-{\frac {{\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1/2\\1/2\\0\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1/2\\1/2\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1/2\\1/2\\0\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1/2\\1/2\\0\end{pmatrix}}\\&\quad ={\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}}-{\frac {-1}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}-{\frac {5/2}{1/2}}\cdot {\begin{pmatrix}1/2\\1/2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\end{array}}$

这两个问题的对应正交基如下。

$\left\langle {\begin{pmatrix}1/{\sqrt {3}}\\1/{\sqrt {3}}\\1/{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1/{\sqrt {2}}\\0\\-1/{\sqrt {2}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1/{\sqrt {6}}\\2/{\sqrt {6}}\\-1/{\sqrt {6}}\end{pmatrix}}\right\rangle \qquad \left\langle {\begin{pmatrix}1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\rangle$

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问题 3

为 $\mathbb {R} ^{3}$ 的此子空间找到一个正交基：平面 $x-y+z=0$。

答案

给定的空间可以这样参数化。

$\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x=y-z\}=\{{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}\cdot y+{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}}\cdot z\,{\big |}\,y,z\in \mathbb {R} \}$

因此，我们取基

$\left\langle {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}}\right\rangle$

应用 Gram-Schmidt 正交化方法

${\begin{array}{rl}{\vec {\kappa }}_{1}&={\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}\\{\vec {\kappa }}_{2}&={\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}}-{\frac {{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}}-{\frac {-1}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1/2\\1/2\\1\end{pmatrix}}\end{array}}$

然后归一化。

$\left\langle {\begin{pmatrix}1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1/{\sqrt {6}}\\1/{\sqrt {6}}\\2/{\sqrt {6}}\end{pmatrix}}\right\rangle$

问题 4

找到 $\mathbb {R} ^{4}$ 中此子空间的正交规范基。

$\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x-y-z+w=0{\text{ and }}x+z=0\}$

答案

将线性系统简化

${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&-&z&+&w&=&0\\x&&&+&z&&&=&0\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&-&z&+&w&=&0\\&&y&+&2z&-&w&=&0\end{array}}$

并通过参数化给出子空间的描述。

$\{{\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\\0\end{pmatrix}}\cdot z+{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}}\cdot w\,{\big |}\,z,w\in \mathbb {R} \}$

因此我们取基，

$\left\langle {\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}}\right\rangle$

进行格拉姆-施密特正交化过程

${\begin{array}{rl}{\vec {\kappa }}_{1}&={\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\\0\end{pmatrix}}\\{\vec {\kappa }}_{2}&={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}}-{\frac {{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\\0\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\\0\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}}-{\frac {-2}{6}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1/3\\1/3\\1/3\\1\end{pmatrix}}\end{array}}$

最后进行归一化。

$\left\langle {\begin{pmatrix}-1/{\sqrt {6}}\\-2/{\sqrt {6}}\\1/{\sqrt {6}}\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-{\sqrt {3}}/6\\{\sqrt {3}}/6\\{\sqrt {3}}/6\\{\sqrt {3}}/2\end{pmatrix}}\right\rangle$

问题 5

证明 $\mathbb {R} ^{n}$ 中任何线性无关子集都可以正交化，且不改变其生成空间。

答案

$\mathbb {R} ^{n}$ 的线性无关子集是其生成空间的一组基。应用 定理 2.7。

注意. “线性无关” 这一短语出现在问题中是有原因的。如果没有这个短语，我们需要考虑两件事。第一，当我们对线性相关集合进行 Gram-Schmidt 过程时，我们会得到一些零向量。例如，对于

$S=\{{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}}\}$

我们会得到以下结果。

${\vec {\kappa }}_{1}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\qquad {\vec {\kappa }}_{2}={\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

第一点问题并不严重，因为零向量定义上与所有其他向量正交，所以我们可以接受这种情况，认为它生成了一个正交集（尽管当然无法归一化），或者我们可以修改 Gram-Schmidt 过程，将所有零向量丢弃。如果从问题中去掉“线性无关”这一短语，我们要担心的第二件事是集合可能是无限的。当然，有限维空间 $\mathbb {R} ^{n}$ 的任何子空间也必须是有限维的，所以只有有限个成员是线性无关的，但是，一个逐个检查无限集合中向量的“过程”至少需要在这个问题中进一步说明。 $\mathbb {R} ^{n}$ 的线性无关子集自动变为有限的——实际上，大小为 $n$ 或更小——因此，"线性无关" 这一短语避免了这些问题。

本练习推荐所有读者完成。

问题 6

如果我们对已经正交的基进行 Gram-Schmidt 过程，会发生什么？

答案

该过程不会改变基。

问题 7

设 $\left\langle {\vec {\kappa }}_{1},\dots ,{\vec {\kappa }}_{k}\right\rangle$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的一组相互正交的向量。

1. 证明对于空间中的任何向量 ${\vec {v}}$，向量 ${\vec {v}}-({\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({{\vec {v}}\,})+\dots +{\mbox{proj}}_{[{\vec {v}}_{k}]}({{\vec {v}}\,}))$ 与 ${\vec {\kappa }}_{1}$，...，${\vec {\kappa }}_{k}$ 中的每一个都正交。
2. 通过使用 ${\vec {e}}_{1}$ 作为 ${\vec {\kappa }}_{1}$，使用 ${\vec {e}}_{2}$ 作为 ${\vec {\kappa }}_{2}$，并将 ${\vec {v}}$ 的分量设为 $1$，$2$ 和 $3$，在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中说明前面的项目。
3. 证明${\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({{\vec {v}}\,})+\dots +{\mbox{proj}}_{[{\vec {v}}_{k}]}({{\vec {v}}\,})$ 是 ${\vec {\kappa }}$ 集的生成空间中距离 ${\vec {v}}$ 最近的向量。提示：在先前部分的图示中，添加向量 $d_{1}{\vec {\kappa }}_{1}+d_{2}{\vec {\kappa }}_{2}$ 并对所得三角形应用勾股定理。

答案

1. 论证与 定理 2.7 证明中的 $i=3$ 情况类似。点积

   ${\vec {\kappa }}_{i}\cdot \left({\vec {v}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({{\vec {v}}\,})-\dots -{\mbox{proj}}_{[{\vec {v}}_{k}]}({{\vec {v}}\,})\right)$

   可以写成以下形式的项之和 $-{\vec {\kappa }}_{i}\cdot {\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{j}]}({{\vec {v}}\,})$ 其中 $j\neq i$，以及项 ${\vec {\kappa }}_{i}\cdot ({\vec {v}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{i}]}({{\vec {v}}\,}))$。第一类项等于零，因为 ${\vec {\kappa }}$ 是相互正交的。另一项为零，因为此投影是正交的（即投影定义使其为零：${\vec {\kappa }}_{i}\cdot ({\vec {v}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{i}]}({{\vec {v}}\,}))={\vec {\kappa }}_{i}\cdot {\vec {v}}-{\vec {\kappa }}_{i}\cdot \left(({\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{i})/({\vec {\kappa }}_{i}\cdot {\vec {\kappa }}_{i})\right)\cdot {\vec {\kappa }}_{i}$，最终所有约简后，结果为零）。
2. 向量 ${\vec {v}}$ 以黑色显示，向量 ${\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({{\vec {v}}\,})+{\mbox{proj}}_{[{\vec {v}}_{2}]}({{\vec {v}}\,})=1\cdot {\vec {e}}_{1}+2\cdot {\vec {e}}_{2}$ 以灰色显示。

   

   向量 ${\vec {v}}-({\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({{\vec {v}}\,})+{\mbox{proj}}_{[{\vec {v}}_{2}]}({{\vec {v}}\,}))$ 位于连接黑色向量和灰色向量的虚线上，即它与 $xy$ 平面正交。

3. 此图是按照提示得到的。

   

   虚线三角形在灰色向量 $1\cdot {\vec {e}}_{1}+2\cdot {\vec {e}}_{2}$ 与垂直虚线 ${\vec {v}}-(1\cdot {\vec {e}}_{1}+2\cdot {\vec {e}}_{2})$ 相交处形成直角；这就是本问题第一项中证明的内容。然后根据勾股定理，斜边（即从 ${\vec {v}}$ 到任何其他向量的线段）比垂直虚线长。

   更正式地说，将 ${\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({{\vec {v}}\,})+\dots +{\mbox{proj}}_{[{\vec {v}}_{k}]}({{\vec {v}}\,})$ 写成 $c_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}+\dots +c_{k}\cdot {\vec {\kappa }}_{k}$，考虑张成空间 $d_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}+\dots +d_{k}\cdot {\vec {\kappa }}_{k}$ 中的任何其他向量。请注意

   ${\vec {v}}-(d_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}+\dots +d_{k}\cdot {\vec {\kappa }}_{k})$

   $={\bigl (}{\vec {v}}-(c_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}+\dots +c_{k}\cdot {\vec {\kappa }}_{k}){\bigr )}+{\bigl (}(c_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}+\dots +c_{k}\cdot {\vec {\kappa }}_{k})-(d_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}+\dots +d_{k}\cdot {\vec {\kappa }}_{k}){\bigr )}$

   并且

   ${\bigl (}{\vec {v}}-(c_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}+\dots +c_{k}\cdot {\vec {\kappa }}_{k}){\bigr )}\cdot {\bigl (}(c_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}+\dots +c_{k}\cdot {\vec {\kappa }}_{k})-(d_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}+\dots +d_{k}\cdot {\vec {\kappa }}_{k}){\bigr )}=0$

   (因为第一项表明 ${\vec {v}}-(c_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}+\dots +c_{k}\cdot {\vec {\kappa }}_{k})$ 与每个 ${\vec {\kappa }}$ 垂直，因此它与 ${\vec {\kappa }}$ 的线性组合垂直。现在应用勾股定理（即三角不等式）。

问题 8

找到一个在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中与这两个向量都正交的向量。

${\begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}}$

答案

一种解决方法是找到第三个向量，使得这三个向量一起构成 $\mathbb {R} ^{3}$ 的基底，例如：

${\vec {\beta }}_{3}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

（第二个向量不依赖于第三个向量，因为它有非零的第二个分量，第一个向量也不依赖于第二个和第三个向量，因为它有非零的第三个分量），然后应用格拉姆-施密特正交化过程。

${\begin{array}{rl}{\vec {\kappa }}_{1}&={\begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}}\\{\vec {\kappa }}_{2}&={\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}}-{\frac {{\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}}\\&\quad ={\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}}-{\frac {12}{27}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}14/9\\-2/9\\4/9\end{pmatrix}}\\{\vec {\kappa }}_{3}&={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}})-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{2}]}({\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}})\\&\quad ={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}-{\frac {{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}}-{\frac {{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}14/9\\-2/9\\4/9\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}14/9\\-2/9\\4/9\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}14/9\\-2/9\\4/9\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}14/9\\-2/9\\4/9\end{pmatrix}}\\&\quad ={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}-{\frac {1}{27}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}}-{\frac {7}{12}}\cdot {\begin{pmatrix}14/9\\-2/9\\4/9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1/18\\-1/18\\-4/18\end{pmatrix}}\end{array}}$

结果 ${\vec {\kappa }}_{3}$ 与 ${\vec {\kappa }}_{1}$ 和 ${\vec {\kappa }}_{2}$ 都是正交的。因此，它与集合 $\{{\vec {\kappa }}_{1},{\vec {\kappa }}_{2}\}$ 中的每个向量都正交，包括问题中给出的两个向量。

本练习推荐所有读者完成。

问题 9

正交基的一个优点是它们简化了寻找向量相对于该基的表示。

1. 对于这个向量和这个 $\mathbb {R} ^{2}$ 的非正交基

   ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}\qquad B=\left\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\right\rangle$

   首先将向量表示为基向量。然后将向量投影到每个基向量 $[{{\vec {\beta }}_{1}}]$ 和 $[{{\vec {\beta }}_{2}}]$ 的生成空间上。
2. 使用这个 $\mathbb {R} ^{2}$ 的正交基

   $K=\left\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\right\rangle$

   将相同的向量 ${\vec {v}}$ 表示为基向量。然后将向量投影到每个基向量的生成空间上。注意，表示中的系数和投影中的系数是相同的。
3. 设 $K=\left\langle {\vec {\kappa }}_{1},\ldots ,{\vec {\kappa }}_{k}\right\rangle$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 的某个子空间的正交基。证明对于子空间中的任何 ${\vec {v}}$，表示 ${\rm {Rep}}_{K}({\vec {v}}\,)$ 的第 $i$ 个分量是来自 ${\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{i}]}({{\vec {v}}\,})$ 的标量系数 $({\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{i})/({\vec {\kappa }}_{i}\cdot {\vec {\kappa }}_{i})$。
4. 证明 ${\vec {v}}={\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({{\vec {v}}\,})+\dots +{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{k}]}({{\vec {v}}\,})$。

答案

1. 表示可以通过观察得出。

   ${\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}=3\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+(-1)\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\qquad {\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}}\,)={\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}_{B}$

   两个投影也很容易得出。

   ${\mbox{proj}}_{[{\vec {\beta }}_{1}]}({\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}})={\frac {{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\frac {5}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\qquad {\mbox{proj}}_{[{\vec {\beta }}_{2}]}({\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}})={\frac {{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\frac {2}{1}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$

2. 如上所述，可以用肉眼来表示

   ${\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}=(5/2)\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+(-1/2)\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$

   两个投影就很容易了。

   ${\mbox{proj}}_{[{\vec {\beta }}_{1}]}({\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}})={\frac {{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\frac {5}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\qquad {\mbox{proj}}_{[{\vec {\beta }}_{2}]}({\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}})={\frac {{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}={\frac {-1}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$

   注意$5/2$ 和 $-1/2$ 的重复。
3. 用基底表示 ${\vec {v}}$

   ${\rm {Rep}}_{K}({\vec {v}}\,)={\begin{pmatrix}r_{1}\\\vdots \\r_{k}\end{pmatrix}}$

   所以 ${\vec {v}}=r_{1}{\vec {\kappa }}_{1}+\dots +r_{k}{\vec {\kappa }}_{k}$。为了确定 $r_{i}$，对等式两边与${\vec {\kappa }}_{i}$ 进行点积。

   ${\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{i}=\left(r_{1}{\vec {\kappa }}_{1}+\dots +r_{k}{\vec {\kappa }}_{k}\right)\cdot {\vec {\kappa }}_{i}=r_{1}\cdot 0+\dots +r_{i}\cdot ({\vec {\kappa }}_{i}\cdot {\vec {\kappa }}_{i})+\dots +r_{k}\cdot 0$

   解出 $r_{i}$ 将得到所需的系数。
4. 这是上一条的复述。

问题 10

贝塞尔不等式。考虑以下正交集

$B_{1}=\{{\vec {e}}_{1}\}\quad B_{2}=\{{\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2}\}\quad B_{3}=\{{\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3}\}\quad B_{4}=\{{\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3},{\vec {e}}_{4}\}$

以及向量 ${\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{4}$，其分量为 $4$，$3$，$2$ 和 $1$。

1. 求 ${\vec {v}}$ 在 $B_{1}$ 中向量的生成空间上的投影的系数 $c_{1}$。验证 $|{\vec {v}}\,|^{2}\geq |c_{1}|^{2}$。
2. 找出向量 ${\vec {v}}$ 在 $B_{2}$ 中的两个向量的跨度上的投影的系数 $c_{1}$ 和 $c_{2}$。检查是否 $|{\vec {v}}\,|^{2}\geq |c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}$.
3. 找出与 $B_{3}$ 中的向量相关的 $c_{1}$，$c_{2}$，和 $c_{3}$，以及与 $B_{4}$ 中的向量相关的 $c_{1}$，$c_{2}$，$c_{3}$，和 $c_{4}$。检查是否 $|{\vec {v}}\,|^{2}\geq |c_{1}|^{2}+\dots +|c_{3}|^{2}$ 以及 $|{\vec {v}}\,|^{2}\geq |c_{1}|^{2}+\dots +|c_{4}|^{2}$.

证明一般情况下成立：当 $\{{\vec {\kappa }}_{1},\ldots ,{\vec {\kappa }}_{k}\}$ 是一个正交规范集，而 $c_{i}$ 是向量 ${\vec {v}}$ 在该空间上的投影的系数，那么 $|{\vec {v}}\,|^{2}\geq |c_{1}|^{2}+\dots +|c_{k}|^{2}$。提示. 可以观察不等式 $0\leq |{\vec {v}}-(c_{1}{\vec {\kappa }}_{1}+\dots +c_{k}{\vec {\kappa }}_{k})|^{2}$ 并展开 $c$。

答案

首先，$|{\vec {v}}\,|^{2}=4^{2}+3^{2}+2^{2}+1^{2}=50$。

1. $c_{1}=4$
2. $c_{1}=4$，$c_{2}=3$
3. $c_{1}=4$，$c_{2}=3$，$c_{3}=2$，$c_{4}=1$

为了证明，我们只进行$k=2$ 的情况，因为完全一般的情况比较复杂，但并没有更多启发性。我们遵循提示（回想一下，对于任何向量${\vec {w}}$，我们有$|{\vec {w}}\,|^{2}={\vec {w}}\cdot {\vec {w}}$）。

${\begin{array}{rl}0&\leq \left({\vec {v}}-{\bigl (}{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}{{\vec {\kappa }}_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}+{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}{{\vec {\kappa }}_{2}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}{\bigr )}\right)\cdot \left({\vec {v}}-{\bigl (}{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}{{\vec {\kappa }}_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}+{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}{{\vec {\kappa }}_{2}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}{\bigr )}\right)\\&={\begin{aligned}&{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-2\cdot {\vec {v}}\cdot \left({\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}{{\vec {\kappa }}_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}+{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}{{\vec {\kappa }}_{2}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}\right)\\&+\left({\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}{{\vec {\kappa }}_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}+{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}{{\vec {\kappa }}_{2}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}\right)\cdot \left({\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}{{\vec {\kappa }}_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}+{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}{{\vec {\kappa }}_{2}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}\right)\end{aligned}}\\&={\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-2\cdot \left({\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}{{\vec {\kappa }}_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}}\cdot ({\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{1})+{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}{{\vec {\kappa }}_{2}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}}\cdot ({\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{2})\right)+\left(({\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}{{\vec {\kappa }}_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}})^{2}\cdot ({\vec {\kappa }}_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1})+({\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}{{\vec {\kappa }}_{2}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}})^{2}\cdot ({\vec {\kappa }}_{2}\cdot {\vec {\kappa }}_{2})\right)\end{array}}$

（第三行第三部分的两个混合项为零，因为${\vec {\kappa }}_{1}$ 和${\vec {\kappa }}_{2}$ 互相正交。）现在，通过收集类似项，并认识到${\vec {\kappa }}_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}=1$ 和${\vec {\kappa }}_{2}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}=1$，因为这些向量被认为是正交集的成员。

问题 11

证明或反驳：$\mathbb {R} ^{n}$ 中的每个向量都在某个正交基中。

答案

这是正确的，除了零向量。$\mathbb {R} ^{n}$ 中除了零向量之外的每个向量都在一个基中，而这个基可以正交化。

问题 12

证明一个$n\!\times \!n$ 矩阵的列向量构成一个正交集当且仅当该矩阵的逆矩阵是其转置矩阵。构造一个这样的矩阵。

答案

$3\!\times \!3$ 的情况提供了思路。集合

$\{{\begin{pmatrix}a\\d\\g\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b\\e\\h\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}c\\f\\i\end{pmatrix}}\}$

是正交集当且仅当以下九个条件全部成立

${\begin{array}{ccc}{\begin{pmatrix}a&d&g\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}a\\d\\g\end{pmatrix}}=1&{\begin{pmatrix}a&d&g\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b\\e\\h\end{pmatrix}}=0&{\begin{pmatrix}a&d&g\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}c\\f\\i\end{pmatrix}}=0\\{\begin{pmatrix}b&e&h\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}a\\d\\g\end{pmatrix}}=0&{\begin{pmatrix}b&e&h\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b\\e\\h\end{pmatrix}}=1&{\begin{pmatrix}b&e&h\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}c\\f\\i\end{pmatrix}}=0\\{\begin{pmatrix}c&f&i\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}a\\d\\g\end{pmatrix}}=0&{\begin{pmatrix}c&f&i\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b\\e\\h\end{pmatrix}}=0&{\begin{pmatrix}c&f&i\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}c\\f\\i\end{pmatrix}}=1\end{array}}$

(左下角三个条件是多余的，但仍然正确)。反过来，这些条件成立当且仅当

${\begin{pmatrix}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

如要求的那样。

这是一个例子，这个矩阵的逆矩阵是它的转置矩阵。

${\begin{pmatrix}1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}&0\\-1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

问题 13

证明 定理 2.2 是否没有考虑向量集合为空的可能性（即 $k=0$）？

答案

如果集合为空，则左侧的求和是空向量集合的线性组合，根据定义，它加起来等于零向量。在第二句话中，不存在这样的 $i$，因此“如果...那么...”的蕴涵是真值空语句。

问题 14

定理 2.7 描述了从任何基底 $B=\left\langle {\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{k}\right\rangle$ 到正交基底 $K=\left\langle {\vec {\kappa }}_{1},\ldots ,{\vec {\kappa }}_{k}\right\rangle$ 的变化。考虑基底变化矩阵 ${\rm {Rep}}_{B,K}({\mbox{id}})$。

1. 证明矩阵 ${\rm {Rep}}_{K,B}({\mbox{id}})$，它在与定理相反的方向上进行基底变化，具有上三角形形状——主对角线以下的所有元素都为零。
2. 证明上三角矩阵的逆矩阵也是上三角矩阵（如果矩阵是可逆的）。这表明矩阵 ${\rm {Rep}}_{B,K}({\mbox{id}})$，它在定理中描述的方向上进行基底变化，是上三角矩阵。

答案

1. 证明 定理 2.7 的归纳证明的一部分验证了 ${\vec {\kappa }}_{i}$ 在 $\left\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i}\right\rangle$ 的线性空间中。(证明中的 $i=3$ 情况说明了这一点)。因此，在基底变化矩阵 ${\rm {Rep}}_{K,B}({\mbox{id}})$ 中，第 $i$ 列 ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {\kappa }}_{i})$ 的第 $i+1$ 到 $k$ 的元素都是零。
2. 一种理解方法是回顾我们用来求逆矩阵的计算过程。我们写出矩阵，在它旁边写出单位矩阵，然后进行高斯-约旦消元。如果矩阵一开始是上三角矩阵，那么高斯-约旦消元只涉及约旦部分，这些步骤对单位矩阵进行操作后，将得到一个上三角逆矩阵。

问题 15

完成证明 定理 2.7 中的归纳证明。

答案

对于归纳步骤，我们假设对于所有 $j$ 在 $[1..i]$ 中，这三个条件对每个 ${\vec {\kappa }}_{j}$ 都是成立的：(i) 每个 ${\vec {\kappa }}_{j}$ 都是非零的，(ii) 每个 ${\vec {\kappa }}_{j}$ 都是向量 ${\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{j}$ 的线性组合，以及 (iii) 每个 ${\vec {\kappa }}_{j}$ 都与它之前的 ${\vec {\kappa }}_{m}$ 正交（即 $m<j$）。在这些归纳假设下，考虑 ${\vec {\kappa }}_{i+1}$.

${\begin{array}{rl}{\vec {\kappa }}_{i+1}&={\vec {\beta }}_{i+1}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({\beta _{i+1}})-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{2}]}({\beta _{i+1}})-\dots -{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{i}]}({\beta _{i+1}})\\&={\vec {\beta }}_{i+1}-{\frac {\beta _{i+1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}{{\vec {\kappa }}_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}-{\frac {\beta _{i+1}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}{{\vec {\kappa }}_{2}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}-\dots -{\frac {\beta _{i+1}\cdot {\vec {\kappa }}_{i}}{{\vec {\kappa }}_{i}\cdot {\vec {\kappa }}_{i}}}\cdot {\vec {\kappa }}_{i}\end{array}}$

根据归纳假设 (ii)，我们可以将每个 ${\vec {\kappa }}_{j}$ 展开成 ${\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{j}$ 的线性组合。

$={\vec {\beta }}_{i+1}-{\frac {{\vec {\beta }}_{i+1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}{{\vec {\kappa }}_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}}\cdot {\vec {\beta }}_{1}$

$-{\frac {{\vec {\beta }}_{i+1}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}{{\vec {\kappa }}_{2}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}}\cdot \left({\text{linear combination of }}{\vec {\beta }}_{1},{\vec {\beta }}_{2}\right)-\dots -{\frac {{\vec {\beta }}_{i+1}\cdot {\vec {\kappa }}_{i}}{{\vec {\kappa }}_{i}\cdot {\vec {\kappa }}_{i}}}\cdot \left({\text{linear combination of }}{\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i}\right)$

The fractions are scalars so this is a linear combination of linear combinations of ${\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i+1}$. It is therefore just a linear combination of ${\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i+1}$. Now, (i) it cannot sum to the zero vector because the equation would then describe a nontrivial linear relationship among the ${\vec {\beta }}$'s that are given as members of a basis (the relationship is nontrivial because the coefficient of ${\vec {\beta }}_{i+1}$ is $1$). Also, (ii) the equation gives ${\vec {\kappa }}_{i+1}$ as a combination of ${\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i+1}$. Finally, for (iii), consider ${\vec {\kappa }}_{j}\cdot {\vec {\kappa }}_{i+1}$; as in the $i=3$ case, the dot product of ${\vec {\kappa }}_{j}$ with ${\vec {\kappa }}_{i+1}={\vec {\beta }}_{i+1}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({{\vec {\beta }}_{i+1}})-\dots -{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{i}]}({{\vec {\beta }}_{i+1}})$ can be rewritten to give two kinds of terms, ${\vec {\kappa }}_{j}\cdot \left({\vec {\beta }}_{i+1}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{j}]}({{\vec {\beta }}_{i+1}})\right)$ (which is zero because the projection is orthogonal) and ${\vec {\kappa }}_{j}\cdot {\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{m}]}({{\vec {\beta }}_{i+1}})$ with $m\neq j$ and $m<i+1$ (which is zero because by the hypothesis (iii) the vectors ${\vec {\kappa }}_{j}$ and ${\vec {\kappa }}_{m}$ are orthogonal).