线性代数/约当标准型/解答

解答

问题 1

对示例 2.3进行检验。

解答

我们需要检查

{\begin{pmatrix}3&0\\1&3\end{pmatrix}}=N+3I=PTP^{-1}={\begin{pmatrix}1/2&1/2\\-1/4&1/4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&-1\\1&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\1&2\end{pmatrix}}

这个计算很简单。

问题 2

每个矩阵都是约当形式。写出其特征多项式和最小多项式。

${\begin{pmatrix}3&0\\1&3\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&0\\0&0&-1/2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}3&1&0\\0&3&1\\0&0&3\\\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}3&1&0&0\\0&3&1&0\\0&0&3&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}4&1&0&0\\0&4&0&0\\0&0&-4&1\\0&0&0&-4\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}5&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}5&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}5&0&0&0\\0&2&1&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}}$

解答

特征多项式为 $c(x)=(x-3)^{2}$ ，最小多项式与其相同。
特征多项式为 $c(x)=(x+1)^{2}$ 。最小多项式为 $m(x)=x+1$ 。
特征多项式为 $c(x)=(x+(1/2))(x-2)^{2}$ ，最小多项式与其相同。
特征多项式为 $c(x)=(x-3)^{3}$ 。最小多项式与其相同。
特征多项式为 $c(x)=(x-3)^{4}$ 。最小多项式为 $m(x)=(x-3)^{3}$ 。
特征多项式为 $c(x)=(x+4)^{2}(x-4)^{2}$ ，最小多项式与其相同。
特征多项式为 $c(x)=(x-2)(x-3)(x-5)$ ，最小多项式与其相同。
特征多项式为 $c(x)=(x-2)^{2}(x-3)(x-5)$ ，最小多项式为 $m(x)=(x-2)(x-3)(x-5)$ 。
特征多项式为 $c(x)=(x-2)^{2}(x-3)(x-5)$ ，最小多项式与其相同。

建议所有读者尝试这道练习。

问题 3

根据给定数据求解 Jordan 标准型。

矩阵 $T$ 是一个 $5\!\times \!5$ 矩阵，只有一个特征值为 $3$ 。其幂的零度为： $T-3I$ 的零度为 2， $(T-3I)^{2}$ 的零度为 3， $(T-3I)^{3}$ 的零度为 4， $(T-3I)^{4}$ 的零度为 5。
矩阵 $S$ 是一个 $5\!\times \!5$ 矩阵，有两个特征值。对于特征值 $2$ ，其零度为： $S-2I$ 的零度为 2， $(S-2I)^{2}$ 的零度为 4。对于特征值 $-1$ ，其零度为： $S+1I$ 的零度为 1。

解答

变换 $t-3$ 是幂零的（也就是说， ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-3)$ 是整个空间），它在字符串基上通过两个字符串作用， ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {0}}$ 和 ${\vec {\beta }}_{5}\mapsto {\vec {0}}$ 。因此， $t-3$ 可以用这种规范形式表示。
$N_{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$
因此， $T$ 与这个规范形式矩阵相似。
$J_{3}=N_{3}+3I={\begin{pmatrix}3&0&0&0&0\\1&3&0&0&0\\0&1&3&0&0\\0&0&1&3&0\\0&0&0&0&3\end{pmatrix}}$
变换 $s+1$ 在子空间 ${\mathcal {N}}_{\infty }(s+1)$ 上是幂零的，它对字符串基的作用为 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {0}}$ 。变换 $s-2$ 在子空间 ${\mathcal {N}}_{\infty }(s-2)$ 上是幂零的，它对字符串基的作用为 ${\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {0}}$ 和 ${\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {\beta }}_{5}\mapsto {\vec {0}}$ 。因此，Jordan 形式为：
${\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\0&2&0&0&0\\0&1&2&0&0\\0&0&0&2&0\\0&0&0&1&2\end{pmatrix}}$
（注意，块的排列顺序是按最小特征值优先。）

问题 4

找出每个例子的基变换矩阵。

解答

对于每个示例，由于可能存在多个基的选择，因此也可能有多个答案。当然，用来检查答案是否满足 $PTP^{-1}$ 为 Jordan 形式的计算是判定答案正确与否的标准。

这里是箭头图。
从左下角移动到左上角的矩阵是这个。
$P^{-1}={\bigl (}{\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{3},B}({\mbox{id}}){\bigr )}^{-1}={\rm {Rep}}_{B,{\mathcal {E}}_{3}}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}1&-2&0\\1&0&1\\-2&0&0\end{pmatrix}}$
矩阵 $P$ 用于从右上角移动到右下角，是 $P^{-1}$ 的逆矩阵。
我们想要这个矩阵及其逆矩阵。
$P^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&3\\0&1&4\\0&-2&0\end{pmatrix}}$
这些广义零空间的基的串联将作为整个空间的基。
$B_{-1}=\langle {\begin{pmatrix}-1\\0\\0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\\-1\\0\\1\end{pmatrix}}\rangle \qquad B_{3}=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\-2\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\\2\\0\end{pmatrix}}\rangle$
基变换矩阵是这个矩阵及其逆矩阵。
$P^{-1}={\begin{pmatrix}-1&-1&1&0&-1\\0&0&1&0&-1\\0&-1&-1&0&1\\1&0&0&-2&2\\0&1&0&2&0\\\end{pmatrix}}$

建议所有读者尝试这道练习。

问题 5

求每个矩阵的 Jordan 标准型和 Jordan 基。

${\begin{pmatrix}-10&4\\-25&10\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}5&-4\\9&-7\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}4&0&0\\2&1&3\\5&0&4\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}5&4&3\\-1&0&-3\\1&-2&1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}9&7&3\\-9&-7&-4\\4&4&4\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2&2&-1\\-1&-1&1\\-1&-2&2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}7&1&2&2\\1&4&-1&-1\\-2&1&5&-1\\1&1&2&8\end{pmatrix}}$

解答

一般的步骤是将特征多项式 $c(x)=(x-\lambda _{1})^{p_{1}}(x-\lambda _{2})^{p_{2}}\cdots$ 因式分解以获得特征值 $\lambda _{1}$ ， $\lambda _{2}$ 等。然后，对于每个 $\lambda _{i}$ ，我们找到变换 $t-\lambda _{i}$ 在 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{i})$ 上的限制作用的字符串基，通过计算矩阵 $T-\lambda _{i}I$ 的幂并找到相关的零空间，直到这些零空间稳定下来（不再改变），此时我们得到了广义零空间。这些零空间的维数（零度）告诉我们 $t-\lambda _{i}$ 对广义零空间的字符串基的作用，因此我们可以写出具有 $N_{\lambda _{i}}$ 的次对角线一的模式。从这个矩阵中，与 $\lambda _{i}$ 相关的约旦块 $J_{\lambda _{i}}$ 是直接的 $J_{\lambda _{i}}=N_{\lambda _{i}}+\lambda _{i}I$ 。最后，在我们对每个特征值都完成了这些操作后，我们将它们组合成规范形式。

该矩阵的特征多项式是 $c(x)=(-10-x)(10-x)+100=x^{2}$ ，所以它只有一个特征值 $\lambda =0$ 。
${\begin{array}{r|ccc}{\textit {power}}p&(T+0\cdot I)^{p}&{\mathcal {N}}((t-0)^{p})&{\textit {nullity}}\\\hline 1&{\begin{pmatrix}-10&4\\-25&10\end{pmatrix}}&\{{\begin{pmatrix}2y/5\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y\in \mathbb {C} \}&1\\2&{\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}&\mathbb {C} ^{2}&2\end{array}}$

(因此，此变换是幂零的： ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-0)$ 是整个空间）。从零度我们知道 $t$ 对字符串基的行动是 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {0}}$ 。这是 $t-0$ 在 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-0)=\mathbb {C} ^{2}$ 上的标准形式矩阵。

$N_{0}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$

这是矩阵的约当形式。

$J_{0}=N_{0}+0\cdot I={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$

注意，如果矩阵是幂零的，则它的标准形式等于它的约当形式。
我们可以使用上一节的技术找到这样的字符串基。

$B=\langle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-10\\-25\end{pmatrix}}\rangle$

第一个基向量被选取使得它位于 $t^{2}$ 的零空间中，但不在 $t$ 的零空间中。第二个基向量是在 $t$ 作用下第一个基向量的像。
这个矩阵的特征多项式是 $c(x)=(x+1)^{2}$ ，所以它是一个单特征值矩阵。（也就是说， $t+1$ 的广义零空间是整个空间。）我们有
${\mathcal {N}}(t+1)=\{{\begin{pmatrix}2y/3\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y\in \mathbb {C} \}\qquad {\mathcal {N}}((t+1)^{2})=\mathbb {C} ^{2}$
因此， $t+1$ 对关联字符串基的的作用是 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {0}}$ 。因此，
$N_{-1}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$
T 的 Jordan 形式是
$J_{-1}=N_{-1}+-1\cdot I={\begin{pmatrix}-1&0\\1&-1\end{pmatrix}}$
从上面的零空间中选择向量可以得到这个字符串基（还有很多其他选择）。
$B=\langle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}6\\9\end{pmatrix}}\rangle$
特征多项式 $c(x)=(1-x)(4-x)^{2}=-1\cdot (x-1)(x-4)^{2}$ 有两个根，它们是特征值 $\lambda _{1}=1$ 和 $\lambda _{2}=4$ 。我们分别处理这两个特征值。对于 $\lambda _{1}$ ，计算 $T-1I$ 的幂得到
${\mathcal {N}}(t-1)=\{{\begin{pmatrix}0\\y\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y\in \mathbb {C} \}$
并且 $(t-1)^{2}$ 的零空间是相同的。因此，这组是广义零空间 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-1)$ 。零度表明 $t-1$ 在广义零空间上的限制作用在字符串基上的形式是 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {0}}$ 。对 $\lambda _{2}=4$ 进行类似的计算会得到这些零空间。
${\mathcal {N}}(t-4)=\{{\begin{pmatrix}0\\z\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,z\in \mathbb {C} \}\qquad {\mathcal {N}}((t-4)^{2})=\{{\begin{pmatrix}y-z\\y\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y,z\in \mathbb {C} \}$
( $(t-4)^{3}$ 的零空间是相同的，因为必须如此，因为与 $\lambda _{2}=4$ 相关的项的幂为 2，因此 $t-2$ 对广义零空间 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-2)$ 的限制是幂零的，其指数最多为 2 - 最多需要两次应用 $t-2$ 才能使零空间稳定下来。）空度上升的方式告诉我们， $t-4$ 对 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-4)$ 的关联字符串基的的作用是 ${\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {0}}$ 。将两个特征值的的信息放在一起得到变换 $t$ 的 Jordan 形式。
${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&1&4\end{pmatrix}}$
我们可以取零空间的元素得到一个合适的基。
$B=B_{1}\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!B_{4}=\langle {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\5\\5\end{pmatrix}}\rangle$
特征多项式是 $c(x)=(-2-x)(4-x)^{2}=-1\cdot (x+2)(x-4)^{2}$ 。对于特征值 $\lambda _{-2}$ ，计算 $T+2I$ 的幂得到如下结果。
${\mathcal {N}}(t+2)=\{{\begin{pmatrix}z\\z\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,z\in \mathbb {C} \}$
$(t+2)^{2}$ 的零空间相同，因此这是广义零空间 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t+2)$ 。因此， $t+2$ 限制在 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t+2)$ 上的相关字符串基的运算为 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {0}}$ 。对于 $\lambda _{2}=4$ ，计算 $T-4I$ 的幂，得到
${\mathcal {N}}(t-4)=\{{\begin{pmatrix}z\\-z\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,z\in \mathbb {C} \}\qquad {\mathcal {N}}((t-4)^{2})=\{{\begin{pmatrix}x\\-z\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,z\in \mathbb {C} \}$
因此， $t-4$ 在 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-4)$ 上的字符串基上的运算为 ${\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {0}}$ 。因此，Jordan 形式为
${\begin{pmatrix}-2&0&0\\0&4&0\\0&1&4\end{pmatrix}}$
以及一个合适的基是这个。
$B=B_{-2}\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!B_{4}=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}}\rangle$
这个矩阵的特征多项式是 $c(x)=(2-x)^{3}=-1\cdot (x-2)^{3}$ 。这个矩阵只有一个特征值， $\lambda =2$ 。通过找到 $T-2I$ 的幂，我们有
${\mathcal {N}}(t-2)=\{{\begin{pmatrix}-y\\y\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y\in \mathbb {C} \}\qquad {\mathcal {N}}((t-2)^{2})=\{{\begin{pmatrix}-y-(1/2)z\\y\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y,z\in \mathbb {C} \}\qquad {\mathcal {N}}((t-2)^{3})=\mathbb {C} ^{3}$
因此 $t-2$ 对相关字符串基的作用是 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {0}}$ 。约旦标准形是这个
${\begin{pmatrix}2&0&0\\1&2&0\\0&1&2\end{pmatrix}}$
以及基的一种选择是这个。
$B=\langle {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}7\\-9\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}}\rangle$
特征多项式 $c(x)=(1-x)^{3}=-(x-1)^{3}$ 只有一个根，因此矩阵只有一个特征值 $\lambda =1$ 。求 $T-1I$ 的幂并计算零空间
${\mathcal {N}}(t-1)=\{{\begin{pmatrix}-2y+z\\y\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y,z\in \mathbb {C} \}\qquad {\mathcal {N}}((t-1)^{2})=\mathbb {C} ^{3}$
表明幂零映射 $t-1$ 对字符串基的作用为 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {0}}$ 和 ${\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {0}}$ 。因此，Jordan 形式为
$J={\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
以及相应的基（与 $t-1$ 相关的字符串基）如下。
$B=\langle {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\-2\\-2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\rangle$
特征多项式对于手工计算来说有点大，但还是可以处理的 $c(x)=x^{4}-24x^{3}+216x^{2}-864x+1296=(x-6)^{4}$ 。这是一个单特征值映射，因此变换 $t-6$ 是幂零的。零空间为
${\mathcal {N}}(t-6)=\{{\begin{pmatrix}-z-w\\-z-w\\z\\w\end{pmatrix}}\,{\big |}\,z,w\in \mathbb {C} \}\quad {\mathcal {N}}((t-6)^{2})=\{{\begin{pmatrix}x\\-z-w\\z\\w\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,z,w\in \mathbb {C} \}\quad {\mathcal {N}}((t-6)^{3})=\mathbb {C} ^{4}$
零化度表明 $t-6$ 对字符串基的运算为 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {0}}$ 和 ${\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {0}}$ 。若尔当形式为
${\begin{pmatrix}6&0&0&0\\1&6&0&0\\0&1&6&0\\0&0&0&6\\\end{pmatrix}}$
找到合适的字符串基是例行公事。
$B=\langle {\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\3\\-6\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\\0\end{pmatrix}}\rangle$

建议所有读者尝试这道练习。

问题 6

找出特征多项式为 $(x-1)^{2}(x+2)^{2}$ 的所有可能的若尔当形式。

解答

存在两个特征值， $\lambda _{1}=-2$ 和 $\lambda _{2}=1$ 。 $t+2$ 对 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t+2)$ 的限制可能对相关字符串基具有以下两种运算之一。

{\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {0}}\qquad {\begin{array}{l}{\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {0}}\end{array}}

对 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-1)$ 的限制 $t-1$ ，可能对关联的字符串基有以下两种操作。

{\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {0}}\qquad {\begin{array}{l}{\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {0}}\end{array}}

综合起来，共有四种可能的 Jordan 标准型：前两种操作，第二种和第一种，第一种和第二种，以及最后两种操作。

{\begin{pmatrix}-2&0&0&0\\1&-2&0&0\\0&0&1&0\\0&0&1&1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-2&0&0&0\\0&-2&0&0\\0&0&1&0\\0&0&1&1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-2&0&0&0\\1&-2&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-2&0&0&0\\0&-2&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}

问题 7

找到特征多项式为 $(x-1)^{3}(x+2)$ 的变换的所有可能的 Jordan 标准型。

解答

限制 $t+2$ 到 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t+2)$ 只能有 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {0}}$ 的动作。限制 $t-1$ 到 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-1)$ 在相关字符串基础上可能具有以下三种动作中的任何一种。

{\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {0}}\qquad {\begin{array}{l}{\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {0}}\end{array}}\qquad {\begin{array}{l}{\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {0}}\end{array}}

综上所述，共有三种可能的约旦形式，一种是由 $t-1$ 的第一个动作（以及 $t+2$ 的唯一动作）产生的，另一种是由第二个动作产生的，最后一种是由第三个动作产生的。

{\begin{pmatrix}-2&0&0&0\\0&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-2&0&0&0\\0&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-2&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}

建议所有读者尝试这道练习。

问题 8

求出特征多项式为 $(x-2)^{3}(x+1)$ ，最小多项式为 $(x-2)^{2}(x+1)$ 的变换的所有可能的Jordan标准型。

解答

对于 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t+1)$ 的字符串基， $t+1$ 的作用必须是 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {0}}$ 。由于最小多项式中 $x-2$ 的幂， $t-2$ 的字符串基的长度为2，因此 $t-2$ 作用于 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-2)$ 必须是以下形式。

{\begin{array}{l}{\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {0}}\end{array}}

因此，只有一个可能的Jordan标准型。

{\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&1&2&0\\0&0&0&2\end{pmatrix}}

问题 9

求出特征多项式为 $(x-2)^{4}(x+1)$ ，最小多项式为 $(x-2)^{2}(x+1)$ 的变换的所有可能的Jordan标准型。

解答

存在两种可能的 Jordan 标准型。对于 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t+1)$ 的字符串基， $t+1$ 的作用必须是 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {0}}$ 。对于 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-2)$ 的字符串基， $t-2$ 有两种可能的动作，这与这个特征多项式和最小多项式是可能的。

{\begin{array}{l}{\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {\beta }}_{5}\mapsto {\vec {0}}\end{array}}\qquad {\begin{array}{l}{\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{5}\mapsto {\vec {0}}\end{array}}

由此产生的 Jordan 标准型矩阵如下。

{\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\0&2&0&0&0\\0&1&2&0&0\\0&0&0&2&0\\0&0&0&1&2\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\0&2&0&0&0\\0&1&2&0&0\\0&0&0&2&0\\0&0&0&0&2\end{pmatrix}}

建议所有读者尝试这道练习。

问题 10: 对这些进行对角化。

${\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

解答

特征多项式为 $c(x)=x(x-1)$ 。对于 $\lambda _{1}=0$ ，我们有
${\mathcal {N}}(t-0)=\{{\begin{pmatrix}-y\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y\in \mathbb {C} \}$
(当然， $t^{2}$ 的零空间是一样的)。对于 $\lambda _{2}=1$ ，
${\mathcal {N}}(t-1)=\{{\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x\in \mathbb {C} \}$
(以及 $(t-1)^{2}$ 的零空间是一样的)。我们可以取这个基
$B=\langle {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\rangle$
来获得对角化。
${\begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}$
特征多项式是 $c(x)=x^{2}-1=(x+1)(x-1)$ 。对于 $\lambda _{1}=-1$ ，
${\mathcal {N}}(t+1)=\{{\begin{pmatrix}-y\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y\in \mathbb {C} \}$
并且 $(t+1)^{2}$ 的零空间是相同的。对于 $\lambda _{2}=1$
${\mathcal {N}}(t-1)=\{{\begin{pmatrix}y\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y\in \mathbb {C} \}$
并且 $(t-1)^{2}$ 的零空间是相同的。我们可以采用这个基
$B=\langle {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\rangle$
来得到一个对角化。
${\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

建议所有读者尝试这道练习。

问题 11

找到在 ${\mathcal {P}}_{3}$ 上表示微分运算符的约旦矩阵。

解答

变换 $d/dx:{\mathcal {P}}_{3}\to {\mathcal {P}}_{3}$ 是幂零的。它对 $B=\langle x^{3},3x^{2},6x,6\rangle$ 的作用是 $x^{3}\mapsto 3x^{2}\mapsto 6x\mapsto 6\mapsto 0$ 。它的约旦形式是它作为幂零矩阵的规范形式。

J={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}

建议所有读者尝试这道练习。

问题 12

判断这两个矩阵是否相似。

{\begin{pmatrix}1&-1\\4&-3\\\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}-1&0\\1&-1\\\end{pmatrix}}

解答

是的。每个矩阵的特征多项式都是 $(x+1)^{2}$ 。计算 $T_{1}+1\cdot I$ 和 $T_{2}+1\cdot I$ 的幂得到这两个矩阵。

{\mathcal {N}}(t_{1}+1)=\{{\begin{pmatrix}y/2\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y\in \mathbb {C} \}\qquad {\mathcal {N}}(t_{2}+1)=\{{\begin{pmatrix}0\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y\in \mathbb {C} \}

(当然，对于每个矩阵，其平方矩阵的零空间都是整个空间)。零度增加的方式表明每个矩阵都与以下 Jordan 形式矩阵相似

{\begin{pmatrix}-1&0\\1&-1\\\end{pmatrix}}

因此它们彼此相似。

问题 13

求以下矩阵的 Jordan 形式。

{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

并给出其 Jordan 基。

解答

其特征多项式为 $c(x)=x^{2}+1$ ，其复根为 $x^{2}+1=(x+i)(x-i)$ 。由于根是不同的，所以该矩阵可对角化，其 Jordan 形式就是那个对角矩阵。

{\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}}

为了找到相关的基，我们计算零空间。

{\mathcal {N}}(t+i)=\{{\begin{pmatrix}-iy\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y\in \mathbb {C} \}\qquad {\mathcal {N}}(t-i)=\{{\begin{pmatrix}iy\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y\in \mathbb {C} \}

例如：

T+i\cdot I={\begin{pmatrix}i&-1\\1&i\end{pmatrix}}

因此，通过求解这个线性系统，我们可以得到 $t+i$ 的零空间的描述。

{\begin{array}{*{2}{rc}r}ix&-&y&=&0\\x&+&iy&=&0\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{i\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{2}{rc}r}ix&-&y&=&0\\&&0&=&0\end{array}}

（为了改变关系 $ix=y$ ，使主变量 $x$ 用自由变量 $y$ 表示，我们可以将两边乘以 $-i$ 。）

因此，一个这样的基是这个。

B=\langle {\begin{pmatrix}-i\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}i\\1\end{pmatrix}}\rangle

问题 14

对于 $3\!\times \!3$ 矩阵，其唯一特征值为 $-3$ 和 $4$ ，有多少个相似类？

解答

我们可以通过计算可能的规范代表（即可能的约旦标准形矩阵）来计算可能的类数。特征多项式必须是 $c_{1}(x)=(x+3)^{2}(x-4)$ 或 $c_{2}(x)=(x+3)(x-4)^{2}$ 。在 $c_{1}$ 情况下， $t+3$ 对 $t+3$ 的字符串基有两种可能的动作。

{\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {0}}\qquad {\begin{array}{l}{\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {0}}\end{array}}

有两个相关的约旦标准形矩阵。

{\begin{pmatrix}-3&0&0\\1&-3&0\\0&0&4\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}-3&0&0\\0&-3&0\\0&0&4\end{pmatrix}}

类似地，还有两个约旦形式矩阵可能来自 $c_{2}$ .

{\begin{pmatrix}-3&0&0\\0&4&0\\0&1&4\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}-3&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{pmatrix}}

因此，总共有四种可能的约旦形式。

建议所有读者尝试这道练习。

问题 15

证明矩阵可对角化当且仅当其最小多项式只有线性因子。

解答

约旦形式是唯一的。对角矩阵是约旦形式。因此可对角化矩阵的约旦形式就是其对角化。如果最小多项式包含大于一的幂次因子，那么约旦形式会有次对角线 $1$ ，因此不是对角矩阵。

问题 16

给出一个线性变换的例子，该变换作用于向量空间，但没有非平凡的不变子空间。

解答

一个例子是 $\mathbb {C}$ 上的变换，将 $x$ 映射到 $-x$ .

问题 17

证明一个子空间是 $t-\lambda _{1}$ 不变的当且仅当它也是 $t-\lambda _{2}$ 不变的。

解答

应用引理 2.7 两次；子空间是 $t-\lambda _{1}$ 不变的当且仅当它是 $t$ 不变的，这又等价于它是 $t-\lambda _{2}$ 不变的。

问题 18

证明或反驳：两个 $n\!\times \!n$ 矩阵相似当且仅当它们具有相同的特征多项式和最小多项式。

解答

错误；这两个 $4\!\times \!4$ 矩阵都具有 $c(x)=(x-3)^{4}$ 和 $m(x)=(x-3)^{2}$ .

{\begin{pmatrix}3&0&0&0\\1&3&0&0\\0&0&3&0\\0&0&1&3\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}3&0&0&0\\1&3&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}}

问题 19

方阵的迹是其对角线元素的总和。

求 $2\!\times \!2$ 矩阵的特征多项式公式。
证明迹在相似变换下是不变的，因此我们可以合理地说“映射的迹”。（提示：参见上一项。）
迹在矩阵等价变换下是不变的吗？
证明映射的迹是其特征值的总和（算上重数）。
证明幂零映射的迹为零。反之是否成立？

解答

特征多项式为：
${\begin{vmatrix}a-x&b\\c&d-x\end{vmatrix}}=(a-x)(d-x)-bc=ad-(a+d)x+x^{2}-bc=x^{2}-(a+d)x+(ad-bc)$
注意，行列式作为常数项出现。
回顾特征多项式 $\left|T-xI\right|$ 在相似变换下是不变的。用排列展开公式证明迹是 $x^{n-1}$ 项系数的负数。
不，存在矩阵 $T$ 和 $S$ 是等价的 $S=PTQ$ （对于一些非奇异的 $P$ 和 $Q$ ），但它们的迹不同。一个简单的例子是：
$PTQ={\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}}$
使用 $1\!\times \!1$ 矩阵的更容易的例子是可能的。
将矩阵化为约旦标准型。根据第一项，迹不变。
第一部分很容易；使用第三项。反之不成立：此矩阵
${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$
迹为零，但不是幂零矩阵。

问题 20

为了使用定义 2.6 来检查一个子空间是否为 $t$ 不变的，我们似乎必须检查子空间中所有无穷多个向量，以查看它们是否满足该条件。证明一个子空间是 $t$ 不变的当且仅当其子基具有这样的性质：对于其所有元素， $t({\vec {\beta }})$ 位于该子空间中。

解答

假设 $B_{M}$ 是某个向量空间子空间 $M$ 的基。一个方向上的蕴涵是清楚的；如果 $M$ 是 $t$ 不变的，那么特别是，如果 ${\vec {m}}\in B_{M}$ ，那么 $t({\vec {m}})\in M$ 。对于另一个方向上的蕴涵，令 $B_{M}=\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{q}\rangle$ 并注意到 $t({\vec {m}})=t(m_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +m_{q}{\vec {\beta }}_{q})=m_{1}t({\vec {\beta }}_{1})+\dots +m_{q}t({\vec {\beta }}_{q})$ 位于 $M$ 中，因为任何子空间在对线性组合封闭。

建议所有读者尝试这道练习。

问题 21

在交集、并集、补集和子空间的和运算下， $t$ 不变性是否保持？

解答

是的， $t$ 不变子空间的交集是 $t$ 不变的。假设 $M$ 和 $N$ 是 $t$ 不变的。如果 ${\vec {v}}\in M\cap N$ 那么 $t({\vec {v}})\in M$ 由于 $M$ 的不变性，而 $t({\vec {v}})\in N$ 由于 $N$ 的不变性。

当然，两个子空间的并集不一定是子空间（记住 $x$ 轴和 $y$ 轴是平面 $\mathbb {R} ^{2}$ 的子空间，但这两个轴的并集不能在向量加法下闭合，例如它不包含 ${\vec {e}}_{1}+{\vec {e}}_{2}$ 。）但是，不变子集的并集是一个不变子集；如果 ${\vec {v}}\in M\cup N$ ，则 ${\vec {v}}\in M$ 或 ${\vec {v}}\in N$ ，所以 $t({\vec {v}})\in M$ 或 $t({\vec {v}})\in N$ 。

不，不变子空间的补集不一定是保持不变的。考虑子空间

\{{\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x\in \mathbb {C} \}

的 $\mathbb {C} ^{2}$ 在零变换下。

是的，两个不变子空间的和是保持不变的。检查很容易。

问题 22

如果一些特征值是复数，请给出一种对约旦块进行排序的方法。也就是说，为复数建议一个合理的排序。

解答

一种这样的排序是**字典序**。首先按实部排序，然后按 $i$ 的系数排序。例如， $3+2i<4+1i$ ，但 $4+1i<4+2i$ 。

问题 23

设 ${\mathcal {P}}_{j}(\mathbb {R} )$ 是实数域上的度为 $j$ 的多项式向量空间。证明如果 $j\leq k$ 则 ${\mathcal {P}}_{j}(\mathbb {R} )$ 是 ${\mathcal {P}}_{k}(\mathbb {R} )$ 在微分算子下的不变子空间。在 ${\mathcal {P}}_{7}(\mathbb {R} )$ 中， ${\mathcal {P}}_{0}(\mathbb {R} )$ ，…， ${\mathcal {P}}_{6}(\mathbb {R} )$ 中是否有任何一个具有不变补空间？

解答

前半部分很容易——任何实多项式的导数都是一个度数更低的多项式。后半部分的答案是“没有”； ${\mathcal {P}}_{j}(\mathbb {R} )$ 的任何补空间都必须包含一个度为 $j+1$ 的多项式，而该多项式的导数在 ${\mathcal {P}}_{j}(\mathbb {R} )$ 中。

问题 24

在 ${\mathcal {P}}_{n}(\mathbb {R} )$ 中，即实数域上的度为 $n$ 的多项式向量空间，

{\mathcal {E}}=\{p(x)\in {\mathcal {P}}_{n}(\mathbb {R} )\,{\big |}\,p(-x)=p(x){\text{ for all }}x\}

以及

{\mathcal {O}}=\{p(x)\in {\mathcal {P}}_{n}(\mathbb {R} )\,{\big |}\,p(-x)=-p(x){\text{ for all }}x\}

是偶数和奇数多项式； $p(x)=x^{2}$ 是偶数，而 $p(x)=x^{3}$ 是奇数。证明它们是子空间。它们是互补的吗？它们在微分变换下是不变的吗？

解答

对于前半部分，证明每个子空间，然后观察到任何多项式都可以唯一地写成偶次项和奇次项的和（零多项式既是偶数又是奇数）。后半部分的答案是“否”： $x^{2}$ 是偶数，而 $2x$ 是奇数。

问题 25

引理 2.8指出，如果 $M$ 和 $N$ 是不变的补集，那么 $t$ 在给定的块形式中具有表示（当然，相对于相同的结束和开始基）。这个推论可以反过来吗？

解答

是的。如果 ${\rm {Rep}}_{B,B}(t)$ 具有给定的块形式，取 $B_{M}$ 为 $B$ 中的前 $j$ 个向量，其中 $J$ 是 $j\!\times \!j$ 左上角子矩阵。取 $B_{N}$ 为 $B$ 中剩余的 $k$ 个向量。令 $M$ 和 $N$ 分别为 $B_{M}$ 和 $B_{N}$ 的生成空间。显然， $M$ 和 $N$ 是互补的。为了看到 $M$ 是不变的（ $N$ 的作用方式相同），以 $B$ 为基表示任何 ${\vec {m}}\in M$ ，注意最后 $k$ 个分量为零，并乘以给定的块矩阵。结果的最后 $k$ 个分量为零，因此该结果再次在 $M$ 中。