线性代数/约旦标准型

线性代数
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本小节从幂零矩阵的标准型到所有矩阵的标准型。

我们已经证明，如果一个映射是幂零的，那么它的所有特征值都是零。我们现在可以证明反之。

引理 2.1

唯一特征值为零的线性变换是幂零的。

证明

如果变换 $t$ 在一个 $n$ 维空间中，并且只有一个特征值为零，那么它的特征多项式是 $x^{n}$ 。凯莱-哈密顿定理说，一个映射满足其特征多项式，因此 $t^{n}$ 是零映射。因此 $t$ 是幂零的。

我们对幂零矩阵有一个标准型，也就是说，对于每个只有一个特征值为零的矩阵：每个这样的矩阵都类似于一个除了子对角线上的块之外全为零的矩阵。（为了使这种表示唯一，我们可以固定块的排列顺序，例如，从最长的到最短的。）接下来，我们将此扩展到所有单特征值矩阵。

观察到，如果 $t$ 的唯一特征值为 $\lambda$ ，那么 $t-\lambda$ 的唯一特征值为 $0$ ，因为 $t({\vec {v}})=\lambda {\vec {v}}$ 当且仅当 $(t-\lambda )\,({\vec {v}})=0\cdot {\vec {v}}$ 。扩展幂零矩阵结果的自然方法是将 $t-\lambda$ 表示为标准形式 $N$ ，并尝试使用它来获得 $t$ 的简单表示 $T$ 。下一个结果表明这个尝试是有效的。

引理 2.2

如果矩阵 $T-\lambda I$ 和 $N$ 相似，那么 $T$ 和 $N+\lambda I$ 也是相似的，通过相同的基变换矩阵。

证明

因为 $N=P(T-\lambda I)P^{-1}=PTP^{-1}-P(\lambda I)P^{-1}$ ，我们有 $N=PTP^{-1}-PP^{-1}(\lambda I)$ ，因为对角矩阵 $\lambda I$ 与任何东西交换，所以 $N=PTP^{-1}-\lambda I$ 。因此 $N+\lambda I=PTP^{-1}$ ，如要求。

示例 2.3

的特征多项式

T={\begin{pmatrix}2&-1\\1&4\end{pmatrix}}

是 $(x-3)^{2}$ ，所以 $T$ 只有一个特征值 $3$ 。因此对于

T-3I={\begin{pmatrix}-1&-1\\1&1\end{pmatrix}}

唯一的特征值是 $0$ ，并且 $T-3I$ 是幂零的。零空间很容易找到；为了简化计算，我们取 $T$ 来表示变换 $t:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} ^{2}$ 关于标准基（在本章的剩余部分中我们将保持此约定）。

{\mathcal {N}}(t-3)=\{{\begin{pmatrix}-y\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y\in \mathbb {C} \}\qquad {\mathcal {N}}((t-3)^{2})=\mathbb {C} ^{2}

这些零空间的维度表明，一个关联映射 $t-3$ 对字符串基的运算为 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {0}}$ 。因此，对于 $t-3$ 的规范形式，在字符串基选择的情况下为

{\rm {Rep}}_{B,B}(t-3)=N={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\qquad B=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}}\rangle

以及根据引理 2.2， $T$ 与该矩阵相似。

{\rm {Rep}}_{t}(B,B)=N+3I={\begin{pmatrix}3&0\\1&3\end{pmatrix}}

我们可以进行相似性计算。回顾幂零部分中如何找到改变基矩阵 $P$ 和 $P^{-1}$ 来表达 $N$ 为 $P(T-3I)P^{-1}$ 。相似性图

说明要从左下角移动到左上角，我们需要乘以

P^{-1}={\bigl (}{\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},B}({\mbox{id}}){\bigr )}^{-1}={\rm {Rep}}_{B,{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}1&-2\\1&2\end{pmatrix}}

要从右上角移动到右下角，我们需要乘以该矩阵。

P={\begin{pmatrix}1&-2\\1&2\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1/2&1/2\\-1/4&1/4\end{pmatrix}}

因此，相似性由以下公式表示：

{\begin{pmatrix}3&0\\1&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1/2&1/2\\-1/4&1/4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&-1\\1&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\1&2\end{pmatrix}}

这很容易验证。

例 2.4

该矩阵的特征多项式为 $(x-4)^{4}$

T={\begin{pmatrix}4&1&0&-1\\0&3&0&1\\0&0&4&0\\1&0&0&5\end{pmatrix}}

因此，它只有一个特征值为 $4$ 。 $t-4$ 的零度为： $t-4$ 的零空间维数为 2， $(t-4)^{2}$ 的零空间维数为 3， $(t-4)^{3}$ 的零空间维数为 4。因此， $t-4$ 对字符串基底的作用为 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {0}}$ 和 ${\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {0}}$ 。这为 $t-4$ 给出了规范形式 $N$ ，进而为 $t$ 给出了形式。

N+4I={\begin{pmatrix}4&0&0&0\\1&4&0&0\\0&1&4&0\\0&0&0&4\end{pmatrix}}

除了对角线上的某些数字 $\lambda$ 和次对角线上的块状 1 之外，其余元素都为 0 的数组称为 **约旦块**。我们已经证明，约旦块矩阵是单一特征值矩阵相似类别的规范代表。

示例 2.5

只有 $1/2$ 为特征值的 $3\!\times \!3$ 矩阵分为三个相似类。这三个类别具有以下规范代表。

{\begin{pmatrix}1/2&0&0\\0&1/2&0\\0&0&1/2\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1/2&0&0\\1&1/2&0\\0&0&1/2\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1/2&0&0\\1&1/2&0\\0&1&1/2\end{pmatrix}}

特别是，这个矩阵

{\begin{pmatrix}1/2&0&0\\0&1/2&0\\0&1&1/2\end{pmatrix}}

属于由中间一个代表的相似类，因为我们采用了从最长块到最短块对次对角线上的块状 1 进行排序的约定。

现在，我们将通过扩展这项工作来涵盖具有多个特征值的映射和矩阵，来完成本章的程序。对于一般的映射和矩阵，最佳可能性是，如果我们能够将它们分解为涉及第一个特征值 $\lambda _{1}$ （我们使用其约旦块表示）的部分、包含 $\lambda _{2}$ 的部分，等等。

实际上，这种理想情况确实会发生。对于任何变换 $t:V\to V$ ，我们将空间 $V$ 分解成两个直接和：一个部分是 $t-\lambda _{1}$ 是幂零的，另一个部分是 $t-\lambda _{2}$ 是幂零的，等等。更准确地说，我们将分三步得出本节的主要定理，第三步表明 $V={\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{\ell })$ ，其中 $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{\ell }$ 是 $t$ 的特征值。

假设 $t:V\to V$ 是一个线性变换。注意， $t$ 到子空间 $M$ 的限制^[1] 不一定是 $M$ 上的线性变换，因为可能存在一个 ${\vec {m}}\in M$ 使得 $t({\vec {m}})\not \in M$ 。为了确保变换对空间的“部分”的限制是该部分上的变换，我们需要下一个条件。

定义 2.6

设 $t:V\to V$ 为一个变换。一个子空间 $M$ 被称为 ** $t$ 不变**，如果只要 ${\vec {m}}\in M$ ，那么 $t({\vec {m}})\in M$ （简短地说： $t(M)\subseteq M$ ）。

两个例子是广义零空间 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t)$ 和广义值域 ${\mathcal {R}}_{\infty }(t)$ 对于任何变换 $t$ 都是不变的。对于广义零空间，如果 ${\vec {v}}\in {\mathcal {N}}_{\infty }(t)$ 那么 $t^{n}({\vec {v}})={\vec {0}}$ 其中 $n$ 是基础空间的维度，所以 $t({\vec {v}})\in {\mathcal {N}}_{\infty }(t)$ 因为 $t^{n}(\,t({\vec {v}})\,)$ 也是零。对于广义值域，如果 ${\vec {v}}\in {\mathcal {R}}_{\infty }(t)$ 那么 ${\vec {v}}=t^{n}({\vec {w}})$ 对于某个 ${\vec {w}}$ ，然后 $t({\vec {v}})=t^{n+1}({\vec {w}})=t^{n}(\,t({\vec {w}})\,)$ 表明 $t({\vec {v}})$ 也是 ${\mathcal {R}}_{\infty }(t)$ 的成员。

因此，空间 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{i})$ 和 ${\mathcal {R}}_{\infty }(t-\lambda _{i})$ 是 $t-\lambda _{i}$ 不变的。观察到 $t-\lambda _{i}$ 在 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{i})$ 上是幂零的，因为如果 ${\vec {v}}$ 具有 $t-\lambda _{i}$ 的某个幂将其映射为零——也就是说，如果它在广义零空间中——那么 $t-\lambda _{i}$ 的某个幂将其映射为零。广义零空间 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{i})$ 是空间的一部分，其中 $t-\lambda _{i}$ 的作用很容易理解。

下一个结果是我们的三步中的第一步。它表明 $t-\lambda _{j}$ 保留 $t-\lambda _{i}$ 的部分不变。

引理 2.7

一个子空间是 $t$ 不变当且仅当它对于任何标量 $\lambda$ 是 $t-\lambda$ 不变的。特别地，当 $\lambda _{i}$ 是线性变换 $t$ 的特征值时，对于任何其他特征值 $\lambda _{j}$ ，空间 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{i})$ 和 ${\mathcal {R}}_{\infty }(t-\lambda _{i})$ 是 $t-\lambda _{j}$ 不变的。

证明

对于第一个句子，我们分别检查“当且仅当”的两个含义。其中一个是简单的：如果子空间是 $t-\lambda$ 不变的，对于任何 $\lambda$ ，那么取 $\lambda =0$ 表明它是 $t$ 不变的。对于另一个含义，假设子空间是 $t$ 不变的，因此如果 ${\vec {m}}\in M$ 那么 $t({\vec {m}})\in M$ ，并且令 $\lambda$ 是任何一个标量。子空间 $M$ 在线性组合下是封闭的，因此如果 $t({\vec {m}})\in M$ 那么 $t({\vec {m}})-\lambda {\vec {m}}\in M$ 。因此，如果 ${\vec {m}}\in M$ 那么 $(t-\lambda )\,({\vec {m}})\in M$ ，如要求。

第二个句子直接从第一个句子得出。因为这两个空间是 $t-\lambda _{i}$ 不变的，因此它们是 $t$ 不变的。从这一点出发，再次应用第一个句子，我们可以得出结论，它们也是 $t-\lambda _{j}$ 不变的。

The second step of the three that we will take to prove this section's major result makes use of an additional property of ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{i})$ and ${\mathcal {R}}_{\infty }(t-\lambda _{i})$ , that they are complementary. Recall that if a space is the direct sum of two others $V={\mathcal {N}}\oplus {\mathcal {R}}$ then any vector ${\vec {v}}$ in the space breaks into two parts ${\vec {v}}={\vec {n}}+{\vec {r}}$ where ${\vec {n}}\in {\mathcal {N}}$ and ${\vec {r}}\in {\mathcal {R}}$ , and recall also that if $B_{\mathcal {N}}$ and $B_{\mathcal {R}}$ are bases for ${\mathcal {N}}$ and ${\mathcal {R}}$ then the concatenation $B_{\mathcal {N}}\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!B_{\mathcal {R}}$ is linearly independent (and so the two parts of ${\vec {v}}$ do not "overlap"). The next result says that for any subspaces ${\mathcal {N}}$ and ${\mathcal {R}}$ that are complementary as well as $t$ invariant, the action of $t$ on ${\vec {v}}$ breaks into the "non-overlapping" actions of $t$ on ${\vec {n}}$ and on ${\vec {r}}$ .

引理 2.8

设 $t:V\to V$ 是一个变换，设 ${\mathcal {N}}$ 和 ${\mathcal {R}}$ 是 $t$ 不变的 $V$ 的互补子空间。那么 $t$ 可以用一个矩阵来表示，这个矩阵由方阵块 $T_{1}$ 和 $T_{2}$ 组成。

\left({\begin{array}{c|c}T_{1}&Z_{2}\\\hline Z_{1}&T_{2}\end{array}}\right){\begin{array}{ll}\}\dim({\mathcal {N}}){\text{-many rows}}\\\}\dim({\mathcal {R}}){\text{-many rows}}\end{array}}

其中 $Z_{1}$ 和 $Z_{2}$ 是零矩阵块。

证明

由于这两个子空间是互补的， ${\mathcal {N}}$ 的一个基和 ${\mathcal {R}}$ 的一个基的拼接构成 $V$ 的一个基 $B=\langle {\vec {\nu }}_{1},\dots ,{\vec {\nu }}_{p},{\vec {\mu }}_{1},\ldots ,{\vec {\mu }}_{q}\rangle$ 。我们将证明矩阵

{\rm {Rep}}_{B,B}(t)=\left({\begin{array}{c|c|c}\vdots &&\vdots \\{\rm {Rep}}_{B}(t({\vec {\nu }}_{1}))&\cdots &{\rm {Rep}}_{B}(t({\vec {\mu }}_{q}))\\\vdots &&\vdots \\\end{array}}\right)

具有所需的格式。

任何向量 ${\vec {v}}\in V$ 都在 ${\mathcal {N}}$ 中，当且仅当其最后一个 $q$ 个分量在用 $B$ 表示时为零。由于 ${\mathcal {N}}$ 是 $t$ 不变的，所以每一个向量 ${\rm {Rep}}_{B}(t({\vec {\nu }}_{1}))$ ，…， ${\rm {Rep}}_{B}(t({\vec {\nu }}_{p}))$ 都有这种形式。因此， ${\rm {Rep}}_{B,B}(t)$ 的左下角都是零。

右上角的论证类似。

要看到 $t$ 已分解为其对各部分的作用，请观察 $t$ 对子空间 ${\mathcal {N}}$ 和 ${\mathcal {R}}$ 的限制是如何表示的，它们分别由矩阵 $T_{1}$ 和 $T_{2}$ 表示，这些矩阵相对于明显的基底。因此，对于不变且互补的子空间，我们可以将检查线性变换的问题拆分为两个低维子问题。以下结果说明了这种分解成块。

引理 2.9

如果 $T$ 是一个具有方阵子矩阵 $T_{1}$ 和 $T_{2}$ 的矩阵

T=\left({\begin{array}{c|c}T_{1}&Z_{2}\\\hline Z_{1}&T_{2}\end{array}}\right)

其中 $Z$ 是零块，那么 $\left|T\right|=\left|T_{1}\right|\cdot \left|T_{2}\right|$ 。

证明

假设 $T$ 是 $n\!\times \!n$ ， $T_{1}$ 是 $p\!\times \!p$ ， $T_{2}$ 是 $q\!\times \!q$ 。在行列式的排列公式中

\left|T\right|=\sum _{{\text{permutations }}\phi }t_{1,\phi (1)}t_{2,\phi (2)}\cdots t_{n,\phi (n)}\operatorname {sgn}(\phi )

每一项都来自对列号 $1,\dots ,n$ 的重新排序，得到一个新的顺序 $\phi (1),\dots ,\phi (n)$ 。右上角的块 $Z_{2}$ 全部为零，因此，如果一个 $\phi$ 在其前 $p$ 个列号 $\phi (1),\dots ,\phi (p)$ 中至少包含一个 $p+1,\dots ,n$ ，那么由 $\phi$ 产生的项为零，例如，如果 $\phi (1)=n$ ，那么 $t_{1,\phi (1)}t_{2,\phi (2)}\dots t_{n,\phi (n)}=0\cdot t_{2,\phi (2)}\dots t_{n,\phi (n)}=0$ .

因此，上面的公式简化为对所有具有两个部分的排列的求和：任何重要的 $\phi$ 是一个 $\phi _{1}$ 和一个 $\phi _{2}$ 的复合，其中 $\phi _{1}$ 只重新排列 $1,\dots ,p$ ，而 $\phi _{2}$ 只重新排列 $p+1,\dots ,p+q$ 。现在，分配律（以及复合符号等于符号的乘积这一事实）表明，这

\left|T_{1}\right|\cdot \left|T_{2}\right|={\bigg (}\sum _{\begin{array}{c}\\[-19pt]\scriptstyle {\text{perms }}\phi _{1}\\[-5pt]\scriptstyle {\text{of }}1,\dots ,p\end{array}}\!\!\!t_{1,\phi _{1}(1)}\cdots t_{p,\phi _{1}(p)}\operatorname {sgn}(\phi _{1}){\bigg )}

\cdot {\bigg (}\sum _{\begin{array}{c}\\[-19pt]\scriptstyle {\text{perms }}\phi _{2}\\[-5pt]\scriptstyle {\text{of }}p+1,\dots ,p+q\end{array}}\!\!\!t_{p+1,\phi _{2}(p+1)}\cdots t_{p+q,\phi _{2}(p+q)}\operatorname {sgn}(\phi _{2}){\bigg )}

等于 $\left|T\right|=\sum _{{\text{significant }}\phi }t_{1,\phi (1)}t_{2,\phi (2)}\cdots t_{n,\phi (n)}\operatorname {sgn}(\phi )$ .

示例 2.10

{\begin{vmatrix}2&0&0&0\\1&2&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&3\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}2&0\\1&2\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}3&0\\0&3\end{vmatrix}}=36

从引理 2.9 我们得出结论：如果两个子空间是互补的，并且 $t$ 不变，则 $t$ 是非奇异的当且仅当它对这两个子空间的限制是非奇异的。

现在，对于我们承诺的第三步，也是最后一步，我们将得出主要结论。

引理 2.11

如果一个线性变换 $t:V\to V$ 的特征多项式是 $(x-\lambda _{1})^{p_{1}}\dots (x-\lambda _{\ell })^{p_{\ell }}$ ，那么 (1) $V={\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{\ell })$ 以及 (2) $\dim({\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{i}))=p_{i}$ .

证明

因为 $\dim(V)$ 是特征多项式的次数 $p_{1}+\cdots +p_{\ell }$ ，为了证明命题 (1) 我们只需要证明命题 (2) 成立，以及当 $i\neq j$ 时， ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{i})\cap {\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{j})$ 是平凡的。

对于后者，根据引理 2.7， ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{i})$ 和 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{j})$ 都是 $t$ 不变的。请注意， $t$ 不变子空间的交集是 $t$ 不变的，因此 $t$ 对 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{i})\cap {\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{j})$ 的限制是线性变换。但是， $t-\lambda _{i}$ 和 $t-\lambda _{j}$ 在此子空间上是幂零的，因此如果 $t$ 在交集上存在任何特征值，则它的“唯一”特征值既是 $\lambda _{i}$ 又是 $\lambda _{j}$ 。这不可能，因此该限制没有特征值： ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{i})\cap {\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{j})$ 是平凡的（引理 V.II.3.10 表明，没有特征值的唯一变换是在平凡空间上）。

要证明语句 (2)，固定索引 $i$ 。将 $V$ 分解为 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{i})\oplus {\mathcal {R}}_{\infty }(t-\lambda _{i})$

并应用引理 2.8。

T=\left({\begin{array}{c|c}T_{1}&Z_{2}\\\hline Z_{1}&T_{2}\end{array}}\right){\begin{array}{ll}\}\dim(\,{\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{i})\,){\text{-many rows}}\\\}\dim(\,{\mathcal {R}}_{\infty }(t-\lambda _{i})\,){\text{-many rows}}\end{array}}

根据引理 2.9， $\left|T-xI\right|=\left|T_{1}-xI\right|\cdot \left|T_{2}-xI\right|$ 。根据算术基本定理的唯一性，块的行列式与特征多项式具有相同的因子 $\left|T_{1}-xI\right|=(x-\lambda _{1})^{q_{1}}\dots (x-\lambda _{\ell })^{q_{\ell }}$ 和 $\left|T_{2}-xI\right|=(x-\lambda _{1})^{r_{1}}\dots (x-\lambda _{\ell })^{r_{\ell }}$ ，并且这些因子的幂之和是特征多项式中该因子的幂： $q_{1}+r_{1}=p_{1}$ ，...， $q_{\ell }+r_{\ell }=p_{\ell }$ 。如果我们能证明 $q_{i}=p_{i}$ 以及对所有 $j\neq i$ ， $q_{j}=0$ ，那么多项式 $\left|T_{1}-xI\right|$ （等于广义零空间的维数）的度数将满足要求。

为此，首先，由于 $t-\lambda _{i}$ 到 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{i})$ 上的限制是幂零的， $t$ 在该空间上的唯一特征值为 $\lambda _{i}$ 。因此， $t$ 在 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{i})$ 上的特征方程是 $\left|T_{1}-xI\right|=(x-\lambda _{i})^{q_{i}}$ 。因此，对于所有 $j\neq i$ ， $q_{j}=0$ 。

现在考虑 $t$ 到 ${\mathcal {R}}_{\infty }(t-\lambda _{i})$ 的限制。根据 Note V.III.2.2，映射 $t-\lambda _{i}$ 在 ${\mathcal {R}}_{\infty }(t-\lambda _{i})$ 上是非奇异的，因此 $\lambda _{i}$ 不是 $t$ 在该子空间上的特征值。因此， $x-\lambda _{i}$ 不是 $\left|T_{2}-xI\right|$ 的因子，因此 $q_{i}=p_{i}$ 。

我们的主要结果只是将这些步骤转化为矩阵术语。

定理 2.12

任何方阵都类似于一个Jordan 形式的矩阵。

{\begin{pmatrix}J_{\lambda _{1}}&&{\textit {--zeroes--}}\\&J_{\lambda _{2}}\\&&\ddots \\&&&J_{\lambda _{\ell -1}}\\&&{\textit {--zeroes--}}&&J_{\lambda _{\ell }}\end{pmatrix}}

其中每个 $J_{\lambda }$ 是与特征值 $\lambda$ 相关的约旦块（即除了对角线上的 $\lambda$ 和一些次对角线元素之外，其他元素均为零）。

证明

给定一个 $n\!\times \!n$ 矩阵 $T$ ，考虑其关于标准基的线性映射 $t:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}$ 。使用前一个引理，写出 $\mathbb {C} ^{n}={\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{\ell })$ ，其中 $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{\ell }$ 是 $t$ 的特征值。因为每个 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{i})$ 是 $t$ 不变的，引理 2.8 和前一个引理表明， $t$ 由一个矩阵表示，该矩阵除对角线上的方块外，其他位置都为零。为了将这些块变成约旦块，选择每个 $B_{\lambda _{i}}$ 作为 $t-\lambda _{i}$ 在 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{i})$ 上的操作的循环基。

约旦标准型是方阵相似类别的典范形式，前提是我们通过将约旦块从最小特征值排列到最大特征值，然后将每个约旦块内的次对角线 $1$ 块从最长到最短排列来使其唯一。

示例 2.13

该矩阵具有特征多项式 $(x-2)^{2}(x-6)$ 。

T={\begin{pmatrix}2&0&1\\0&6&2\\0&0&2\end{pmatrix}}

我们将分别处理特征值 $2$ 和 $6$ 。

计算 $T-2I$ 的幂、零空间和零度是常规操作。(回顾示例 2.3 中关于采用 $T$ 表示变换的约定，此处 $t:\mathbb {C} ^{3}\to \mathbb {C} ^{3}$ ，相对于标准基)。

${\begin{array}{r|ccc}{\textit {power}}p&(T-2I)^{p}&{\mathcal {N}}((t-2)^{p})&{\textit {nullity}}\\\hline 1&{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&4&2\\0&0&0\end{pmatrix}}&\{{\begin{pmatrix}x\\0\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x\in \mathbb {C} \}&1\\2&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&16&8\\0&0&0\end{pmatrix}}&\{{\begin{pmatrix}x\\-z/2\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,z\in \mathbb {C} \}&2\\3&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&64&32\\0&0&0\end{pmatrix}}&{\textit {--same--}}&{\textit {---}}\end{array}}$

因此广义零空间 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-2)$ 的维度为二。我们已经注意到 $t-2$ 在此子空间上的限制是幂零的。从零度的增长方式，我们知道 $t-2$ 对字符串基 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {0}}$ 的作用。因此，限制可以表示为规范形式

N_{2}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}={\rm {Rep}}_{B,B}(t-2)\qquad B_{2}=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-2\\0\\0\end{pmatrix}}\rangle

其中，基底的选择有很多种。因此，将 $t$ 限制到 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-2)$ 的作用可以用此矩阵表示。

J_{2}=N_{2}+2I={\rm {Rep}}_{B_{2},B_{2}}(t)={\begin{pmatrix}2&0\\1&2\end{pmatrix}}

第二个特征值的计算比较简单。因为特征多项式中 $x-6$ 的幂为 1，将 $t-6$ 限制到 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-6)$ 必须是指数为 1 的幂零矩阵。它对弦基的作用必须是 ${\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {0}}$ ，由于它是零映射，它的标准型 $N_{6}$ 是 $1\!\times \!1$ 零矩阵。因此， $t$ 在 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-6)$ 上的作用的标准型 $J_{6}$ 是 $1\!\times \!1$ 矩阵，其唯一元素为 $6$ 。对于基底，我们可以使用广义零空间中的任何非零向量。

B_{6}=\langle {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\rangle

将这两者放在一起，我们得到 $T$ 的 Jordan 形式为

{\rm {Rep}}_{B,B}(t)={\begin{pmatrix}2&0&0\\1&2&0\\0&0&6\end{pmatrix}}

其中 $B$ 是 $B_{2}$ 和 $B_{6}$ 的拼接。

示例 2.14

将上面的例子与下面的例子对比。

T={\begin{pmatrix}2&2&1\\0&6&2\\0&0&2\end{pmatrix}}

它具有相同的特征多项式 $(x-2)^{2}(x-6)$ .

虽然特征多项式相同，

${\begin{array}{r|ccc}{\textit {power}}p&(T-2I)^{p}&{\mathcal {N}}((t-2)^{p})&{\textit {nullity}}\\\hline 1&{\begin{pmatrix}0&2&1\\0&4&2\\0&0&0\end{pmatrix}}&\{{\begin{pmatrix}x\\-z/2\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,z\in \mathbb {C} \}&2\\2&{\begin{pmatrix}0&8&4\\0&16&8\\0&0&0\end{pmatrix}}&{\textit {--same--}}&{\textit {---}}\end{array}}$

这里 $t-2$ 的作用仅需一次应用即可稳定—— $t-2$ 对 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-2)$ 的限制是指数为一的幂零矩阵。（所以与之前例子的对比是，虽然特征多项式告诉我们要查看 $t-2$ 在其广义零空间上的作用，但特征多项式并不能完全描述其作用，我们必须进行一些计算才能发现，在这个例子中，最小多项式是 $(x-2)(x-6)$ 。） $t-2$ 对广义零空间的限制在弦基上作用为 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {0}}$ 和 ${\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {0}}$ ，我们得到与特征值 $2$ 相关的这个 Jordan 块。

J_{2}={\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}

对于另一个特征值，先前示例中第二个特征值的论点再次适用。的限制 $t-6$ 到 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-6)$ 是指数为 1 的幂零矩阵（它不能小于 1，并且由于 $x-6$ 是特征多项式的因式，其幂为 1，因此它也不能大于 1）。因此 $t-6$ 的规范形式 $N_{6}$ 是 $1\!\times \!1$ 零矩阵，相关的约旦块 $J_{6}$ 是 $1\!\times \!1$ 矩阵，其元素为 $6$ .

因此， $T$ 是可对角化的。

{\rm {Rep}}_{B,B}(t)={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&6\end{pmatrix}}\qquad B=B_{2}\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!B_{6}=\langle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}}\rangle

（检查 $B$ 中的第三个向量是否在 $t-6$ 的零空间中是例行公事）。

例 2.15

用...

T={\begin{pmatrix}-1&4&0&0&0\\0&3&0&0&0\\0&-4&-1&0&0\\3&-9&-4&2&-1\\1&5&4&1&4\end{pmatrix}}

表明它的特征多项式是 $(x-3)^{3}(x+1)^{2}$ 。下表...

${\begin{array}{r|ccc}{\textit {power}}p&(T-3I)^{p}&{\mathcal {N}}((t-3)^{p})&{\textit {nullity}}\\\hline 1&{\begin{pmatrix}-4&4&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&-4&-4&0&0\\3&-9&-4&-1&-1\\1&5&4&1&1\end{pmatrix}}&\{{\begin{pmatrix}-(u+v)/2\\-(u+v)/2\\(u+v)/2\\u\\v\end{pmatrix}}\,{\big |}\,u,v\in \mathbb {C} \}&2\\2&{\begin{pmatrix}16&-16&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&16&16&0&0\\-16&32&16&0&0\\0&-16&-16&0&0\end{pmatrix}}&\{{\begin{pmatrix}-z\\-z\\z\\u\\v\end{pmatrix}}\,{\big |}\,z,u,v\in \mathbb {C} \}&3\\3&{\begin{pmatrix}-64&64&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&-64&-64&0&0\\64&-128&-64&0&0\\0&64&64&0&0\end{pmatrix}}&{\textit {--same--}}&{\textit {---}}\end{array}}$

表明 $t-3$ 在 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-3)$ 上的限制作用于字符串基，通过两个字符串 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {0}}$ 和 ${\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {0}}$ .

另一个特征值可以使用类似的计算得出

${\begin{array}{r|ccc}{\textit {power}}p&(T+1I)^{p}&{\mathcal {N}}((t+1)^{p})&{\textit {nullity}}\\\hline 1&{\begin{pmatrix}0&4&0&0&0\\0&4&0&0&0\\0&-4&0&0&0\\3&-9&-4&3&-1\\1&5&4&1&5\end{pmatrix}}&\{{\begin{pmatrix}-(u+v)\\0\\-v\\u\\v\end{pmatrix}}\,{\big |}\,u,v\in \mathbb {C} \}&2\\2&{\begin{pmatrix}0&16&0&0&0\\0&16&0&0&0\\0&-16&0&0&0\\8&-40&-16&8&-8\\8&24&16&8&24\end{pmatrix}}&{\textit {--same--}}&{\textit {---}}\end{array}}$

表明 $t+1$ 限制在其广义零空间上的作用，通过两个独立的字符串 ${\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {0}}$ 和 ${\vec {\beta }}_{5}\mapsto {\vec {0}}$ 对字符串基进行作用。

因此， $T$ 与这个约旦标准型矩阵相似。

{\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\0&-1&0&0&0\\0&0&3&0&0\\0&0&1&3&0\\0&0&0&0&3\end{pmatrix}}

最后，我们声明本节之前讨论的内容确实在某种意义上是详尽的。

推论 2.16

每个方阵都与一个对角矩阵和一个幂零矩阵的和相似。

习题

问题 1

对例 2.3 进行检查。

问题 2

每个矩阵都处于约旦标准型。说明其特征多项式及其极小多项式。

${\begin{pmatrix}3&0\\1&3\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2&0&0\\1&2&0\\0&0&-1/2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}3&0&0\\1&3&0\\0&1&3\\\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}3&0&0&0\\1&3&0&0\\0&0&3&0\\0&0&1&3\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}4&0&0&0\\1&4&0&0\\0&0&-4&0\\0&0&1&-4\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}5&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}5&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}5&0&0&0\\0&2&0&0\\0&1&2&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}}$

建议所有读者完成此练习。

问题 3

根据给定数据求解 Jordan 标准型。

矩阵 $T$ 是一个 $5\!\times \!5$ 的矩阵，只有一个特征值为 $3$ 。矩阵幂的零度为： $T-3I$ 的零度为 2， $(T-3I)^{2}$ 的零度为 3， $(T-3I)^{3}$ 的零度为 4， $(T-3I)^{4}$ 的零度为 5。
矩阵 $S$ 是一个 $5\!\times \!5$ 矩阵，它有两个特征值。对于特征值 $2$ ，零度为： $S-2I$ 的零度为 2，而 $(S-2I)^{2}$ 的零度为 4。对于特征值 $-1$ ，零度为： $S+1I$ 的零度为 1。

问题 4

找到每个例子的基变换矩阵。

示例 2.13
示例 2.14
示例 2.15

建议所有读者完成此练习。

问题 5

找到每个矩阵的 Jordan 标准型和 Jordan 基。

${\begin{pmatrix}-10&4\\-25&10\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}5&-4\\9&-7\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}4&0&0\\2&1&3\\5&0&4\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}5&4&3\\-1&0&-3\\1&-2&1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}9&7&3\\-9&-7&-4\\4&4&4\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2&2&-1\\-1&-1&1\\-1&-2&2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}7&1&2&2\\1&4&-1&-1\\-2&1&5&-1\\1&1&2&8\end{pmatrix}}$

建议所有读者完成此练习。

问题 6

找到特征多项式为 $(x-1)^{2}(x+2)^{2}$ 的所有可能的 Jordan 标准型。

问题 7

找到所有具有特征多项式 $(x-1)^{3}(x+2)$ 的变换的所有可能的约当形式。

建议所有读者完成此练习。

问题 8

找到所有具有特征多项式 $(x-2)^{3}(x+1)$ 和最小多项式 $(x-2)^{2}(x+1)$ 的变换的所有可能的约当形式。

问题 9

找到所有具有特征多项式 $(x-2)^{4}(x+1)$ 和最小多项式 $(x-2)^{2}(x+1)$ 的变换的所有可能的约当形式。

建议所有读者完成此练习。

问题 10: 对这些矩阵进行对角化。

${\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

建议所有读者完成此练习。

问题 11

找到在 ${\mathcal {P}}_{3}$ 上表示微分算子的约当矩阵。

建议所有读者完成此练习。

问题 12

判断这两个矩阵是否相似。

{\begin{pmatrix}1&-1\\4&-3\\\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}-1&0\\1&-1\\\end{pmatrix}}

问题 13

找到这个矩阵的约当形式。

{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

也给出约当基。

问题 14

对于 $3\!\times \!3$ 矩阵，其唯一的特征值为 $-3$ 和 $4$ ，有多少个相似类？

建议所有读者完成此练习。

问题 15

证明一个矩阵可对角化当且仅当其最小多项式只有线性因子。

问题 16

给出一个线性变换的例子，它作用在向量空间上，没有非平凡的不变子空间。

问题 17

证明一个子空间是 $t-\lambda _{1}$ 不变的当且仅当它是 $t-\lambda _{2}$ 不变的。

问题 18

证明或反驳：两个 $n\!\times \!n$ 矩阵相似当且仅当它们具有相同的特征多项式和最小多项式。

问题 19

方阵的迹是其对角线元素的总和。

求一个 $2\!\times \!2$ 矩阵的特征多项式公式。
证明迹在相似变换下是不变的，因此我们可以合理地谈论“映射的迹”。（提示：参见上一项。）
迹在矩阵等价变换下是否不变？
证明映射的迹等于其所有特征值之和（包括重数）。
证明幂零映射的迹为零。反之是否成立？

练习 20

为了使用定义 2.6检查一个子空间是否为 $t$ 不变的，我们似乎需要检查子空间中所有无限多个向量，以查看它们是否满足条件。证明一个子空间为 $t$ 不变的当且仅当其子基具有以下性质：对于其所有元素， $t({\vec {\beta }})$ 都在该子空间中。

建议所有读者完成此练习。

练习 21

$t$ 不变性在交集下是否保持？在并集下？在补集下？在子空间的和下？

练习 22

如果一些特征值为复数，如何对 Jordan 块进行排序？也就是说，为复数提出一个合理的排序方式。

练习 23

设 ${\mathcal {P}}_{j}(\mathbb {R} )$ 是实数域上的度数为 $j$ 的多项式向量空间。证明如果 $j\leq k$ ，则 ${\mathcal {P}}_{j}(\mathbb {R} )$ 在微分算子作用下是 ${\mathcal {P}}_{k}(\mathbb {R} )$ 的一个不变子空间。在 ${\mathcal {P}}_{7}(\mathbb {R} )$ 中， ${\mathcal {P}}_{0}(\mathbb {R} )$ ，...， ${\mathcal {P}}_{6}(\mathbb {R} )$ 中的任何一个是否有不变补空间？