线性代数/Jordan 标准型

本节使用三个可选小节中的材料：直和、行列式存在以及行列式的其他公式。

关于线性映射的章节表明，每个$h:V\to W$可以由关于某些基$B\subset V$和$D\subset W$的部分单位矩阵表示。本章重新讨论了线性变换$t:V\to V$这种特殊情况下的问题。当然，一般结果仍然适用，但由于陪域和域相等，我们自然会问两个基是否也相等。也就是说，我们想要一个规范形式来表示变换为${\rm {Rep}}_{B,B}(t)$.

在简短的回顾部分之后，我们首先注意到块部分单位形式矩阵并不总是可以在$B,B$情况下获得。因此，我们考虑了自然的推广，即对角矩阵，并证明了如果它的特征值是不同的，那么映射或矩阵可以被对角化。但我们也给出了一个不能对角化的矩阵的例子，并在本节之前的一节中开发了该例子。我们证明了线性映射是幂零的——如果我们对映射或矩阵取越来越高的幂，那么我们最终会得到零映射或矩阵——当且仅当存在一个它通过不交字符串作用的基。这导致了幂零矩阵的规范形式。

现在，本节总结了本章。我们将证明我们研究的两种情况是详尽的，因为对于任何线性变换，都存在一个基，使得矩阵表示${\rm {Rep}}_{B,B}(t)$是对角矩阵和其规范形式中的幂零矩阵的总和。