线性代数/字符串

线性代数
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本小节为可选内容，需要使用可选的直接和子节中的材料。

先前的小节表明，随着 $j$ 增加， ${\mathcal {R}}(t^{j})$ 的维数下降，而 ${\mathcal {N}}(t^{j})$ 的维数上升，以这种方式，秩和零度分割了 $V$ 的维数。我们可以说更多吗？这两个是否分割了基底 - $V={\mathcal {R}}(t^{j})\oplus {\mathcal {N}}(t^{j})$ 吗？

对于最小幂 $j=0$ 答案是肯定的，因为 $V={\mathcal {R}}(t^{0})\oplus {\mathcal {N}}(t^{0})=V\oplus \{{\vec {0}}\}$ 。答案在另一个极端也是肯定的。

引理 2.1

其中 $t:V\to V$ 是线性变换，该空间是直接和 $V={\mathcal {R}}_{\infty }(t)\oplus {\mathcal {N}}_{\infty }(t)$ 。也就是说，两者都是 $\dim(V)=\dim({\mathcal {R}}_{\infty }(t))+\dim({\mathcal {N}}_{\infty }(t))$ 和 ${\mathcal {R}}_{\infty }(t)\cap {\mathcal {N}}_{\infty }(t)=\{{\vec {0}}\,\}$ 。

证明

我们将验证第二句话，它等同于第一句话。第一个子句，即 $n$ 是 $t^{n}$ 域的维度等于 $t^{n}$ 的秩加上 $t^{n}$ 的零度，对任何变换都成立，因此我们只需要验证第二个子句。

假设 ${\vec {v}}\in {\mathcal {R}}_{\infty }(t)\cap {\mathcal {N}}_{\infty }(t)={\mathcal {R}}(t^{n})\cap {\mathcal {N}}(t^{n})$ ，以证明 ${\vec {v}}$ 是 ${\vec {0}}$ 。因为 ${\vec {v}}$ 在零空间中， $t^{n}({\vec {v}})={\vec {0}}$ 。另一方面，因为 ${\mathcal {R}}(t^{n})={\mathcal {R}}(t^{n+1})$ ，映射 $t:{\mathcal {R}}_{\infty }(t)\to {\mathcal {R}}_{\infty }(t)$ 是一个维数保持同态，因此是一对一的。一对一映射的复合是一对一的，因此 $t^{n}:{\mathcal {R}}_{\infty }(t)\to {\mathcal {R}}_{\infty }(t)$ 是一对一的。但现在——因为只有 ${\vec {0}}$ 被一对一的线性映射映射到 ${\vec {0}}$ —— $t^{n}({\vec {v}})={\vec {0}}$ 意味着 ${\vec {v}}={\vec {0}}$ 。

注 2.2

从技术上讲，我们应该区分映射 $t:V\to V$ 和映射 $t:{\mathcal {R}}_{\infty }(t)\to {\mathcal {R}}_{\infty }(t)$ ，因为它们的定义域或值域可能不同。第二个映射被称为 $t$ 到 ${\mathcal {R}}(t^{k})$ 的限制^[1]。我们将在后面使用该证明中关于限制映射的一个结论，即它是非奇异的。

与 $j=0$ 和 $j=n$ 的情况不同，对于中间幂，空间 $V$ 可能不是 ${\mathcal {R}}(t^{j})$ 和 ${\mathcal {N}}(t^{j})$ 的直和。以下示例表明，这两个空间可能会有一个非平凡的交集。

示例 2.3

考虑由标准基元素上的以下操作定义的 $\mathbb {C} ^{2}$ 的变换。

{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}{\stackrel {n}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}{\stackrel {n}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\qquad N={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(n)={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}

向量

{\vec {e}}_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}

既属于值域也属于零空间。另一种描述该映射作用的方式是使用字符串。

{\begin{array}{ccccc}{\vec {e}}_{1}&\mapsto &{\vec {e}}_{2}&\mapsto &{\vec {0}}\end{array}}

示例 2.4

一个映射 ${\hat {n}}:\mathbb {C} ^{4}\to \mathbb {C} ^{4}$ ，其在 ${\mathcal {E}}_{4}$ 上的作用由以下字符串给出：

{\begin{array}{ccccccccc}{\vec {e}}_{1}&\mapsto &{\vec {e}}_{2}&\mapsto &{\vec {e}}_{3}&\mapsto &{\vec {e}}_{4}&\mapsto &{\vec {0}}\end{array}}

具有 ${\mathcal {R}}({\hat {n}})\cap {\mathcal {N}}({\hat {n}})$ 等于 $[\{{\vec {e}}_{4}\}]$ 的线性空间，具有 ${\mathcal {R}}({\hat {n}}^{2})\cap {\mathcal {N}}({\hat {n}}^{2})=[\{{\vec {e}}_{3},{\vec {e}}_{4}\}]$ ，并具有 ${\mathcal {R}}({\hat {n}}^{3})\cap {\mathcal {N}}({\hat {n}}^{3})=[\{{\vec {e}}_{4}\}]$ 。矩阵表示除了某些次对角线上的 1 之外，其他位置都为零。

{\hat {N}}={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{4},{\mathcal {E}}_{4}}({\hat {n}})={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}

示例 2.5

变换可以作用于多个字符串。变换 $t$ 作用于基 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{5}\rangle$ ，通过

{\begin{array}{ccccccc}{\vec {\beta }}_{1}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{2}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{3}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{4}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{5}&\mapsto &{\vec {0}}\end{array}}

由一个矩阵表示，该矩阵除了副对角线上的1以外全是0

{\rm {Rep}}_{B,B}(t)=\left({\begin{array}{ccc|cc}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\end{array}}\right)

（这些线只是为了直观地组织块）。

在这三个例子中，所有向量最终都会被变换为零。

定义 2.6

一个幂零变换是指其某个幂为零映射的变换。一个幂零矩阵是指其某个幂为零矩阵的矩阵。在这两种情况下，最小的幂称为幂零指数。

示例 2.7

在示例 2.3中，幂零指数为 2。在示例 2.4中，幂零指数为 4。在示例 2.5中，幂零指数为 3。

示例 2.8

微分映射 $d/dx:{\mathcal {P}}_{2}\to {\mathcal {P}}_{2}$ 是一个幂零指数为 3 的幂零变换，因为任何二次多项式的三阶导数都为零。该映射的作用由字符串 $x^{2}\mapsto 2x\mapsto 2\mapsto 0$ 描述，取基 $B=\langle x^{2},2x,2\rangle$ ，将得到以下表示。

{\rm {Rep}}_{B,B}(d/dx)={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}

并非所有幂零矩阵都除了副对角线上的1以外全是0。

示例 2.9

以示例 2.4中的矩阵 ${\hat {N}}$ 为例，以及以下四维向量基

D=\langle {\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\2\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\rangle

基变换操作会产生关于 $D,D$ 的表示。

{\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&2&1&0\\1&1&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&2&1&0\\1&1&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}^{-1}\!\!={\begin{pmatrix}-1&0&1&0\\-3&-2&5&0\\-2&-1&3&0\\2&1&-2&0\end{pmatrix}}

新矩阵是幂零的；它的四次方是零矩阵，因为

(P{\hat {N}}P^{-1})^{4}=P{\hat {N}}P^{-1}\cdot P{\hat {N}}P^{-1}\cdot P{\hat {N}}P^{-1}\cdot P{\hat {N}}P^{-1}=P{\hat {N}}^{4}P^{-1}

并且 ${\hat {N}}^{4}$ 是零矩阵。

本节的目标是定理 2.13，它表明先前的例子是典型的，因为每个幂零矩阵都与一个除了对角线下的块为 1 之外的所有元素都是零的矩阵相似。

定义 2.10

令 $t$ 是 $V$ 上的幂零变换。由 ${\vec {v}}\in V$ **生成的 $t$ -字符串** 是一个序列 $\langle {\vec {v}},t({\vec {v}}),\ldots ,t^{k-1}({\vec {v}})\rangle$ 。这个序列的 **长度** 是 $k$ 。** $t$ -字符串基** 是一个由 $t$ -字符串连接而成的基。

例子 2.11

在示例 2.5 中， $t$ -字符串 $\langle {\vec {\beta }}_{1},{\vec {\beta }}_{2},{\vec {\beta }}_{3}\rangle$ 和 $\langle {\vec {\beta }}_{4},{\vec {\beta }}_{5}\rangle$ ，长度分别为 3 和 2，可以连接起来构成 $t$ 域的基底。

引理 2.12

如果一个空间具有 $t$ -字符串基底，那么其中最长的字符串长度等于 $t$ 的幂零指数。

证明

假设不是。这些字符串不能再长了；如果索引是 $k$ 那么 $t^{k}$ 将任何向量（包括那些开始字符串的向量）都发送到 ${\vec {0}}$ 。所以假设相反，存在一个变换 $t$ 的索引 $k$ 在某个空间上，使得该空间有一个 $t$ -字符串基，其中所有字符串的长度都小于 $k$ 。因为 $t$ 的索引是 $k$ ，存在一个向量 ${\vec {v}}$ 使得 $t^{k-1}({\vec {v}})\neq {\vec {0}}$ 。将 ${\vec {v}}$ 表示为基元素的线性组合，并应用 $t^{k-1}$ 。我们假设 $t^{k-1}$ 将每个基元素发送到 ${\vec {0}}$ ，但它没有将 ${\vec {v}}$ 发送到 ${\vec {0}}$ 。这是不可能的。

我们将证明每个幂零映射都有一个相关的字符串基。然后我们的目标定理，即每个幂零矩阵都类似于一个除了对角线下方块为 1 之外全是零的矩阵，是直接的，如示例 2.5 中所示。

寻找一个反例，一个没有相关字符串基且不连贯的幂零映射，将为证明提供思路。考虑映射 $t:\mathbb {C} ^{5}\to \mathbb {C} ^{5}$ ，它具有以下操作。

${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{5},{\mathcal {E}}_{5}}(t)={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}$

即使忽略零向量，这三个字符串仍然不是不相交的，但这并不意味着无法找到一个 $t$ -字符串基。它只意味着 ${\mathcal {E}}_{5}$ 不适合作为字符串基。

为了找到一个合适的基，我们首先找到它的字符串数量和长度。由于 $t$ 的幂零指数为二，引理 2.12 表明，基中至少有一个字符串的长度为二。因此，该映射必须以以下两种方式之一作用于字符串基。

{\begin{array}{ccccc}{\vec {\beta }}_{1}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{2}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{3}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{4}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{5}&\mapsto &{\vec {0}}\end{array}}

{\begin{array}{ccccc}{\vec {\beta }}_{1}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{2}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{3}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{4}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{5}&\mapsto &{\vec {0}}\end{array}}

现在，关键点来了。具有左式作用的变换的零空间维度为三，因为有三个基向量被映射到零。具有右式作用的变换的零空间维度为四。使用上面的矩阵表示，计算 $t$ 的零空间

{\mathcal {N}}(t)=\{{\begin{pmatrix}x\\-x\\z\\0\\r\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,z,r\in \mathbb {C} \}

表明它是一个三维空间，这意味着我们需要左式作用。

为了生成一个字符串基，首先从 ${\vec {\beta }}_{2}$ 和 ${\vec {\beta }}_{4}$ 中选择，从 ${\mathcal {R}}(t)\cap {\mathcal {N}}(t)$ 。

{\vec {\beta }}_{2}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}\qquad {\vec {\beta }}_{4}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}

(其他选择也是可能的，只需要确保 $\{{\vec {\beta }}_{2},{\vec {\beta }}_{4}\}$ 线性无关)。对于 ${\vec {\beta }}_{5}$ ，从 ${\mathcal {N}}(t)$ 选择一个不在 $\{{\vec {\beta }}_{2},{\vec {\beta }}_{4}\}$ 的生成空间中的向量。

{\vec {\beta }}_{5}={\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}

最后，取 ${\vec {\beta }}_{1}$ 和 ${\vec {\beta }}_{3}$ 使得 $t({\vec {\beta }}_{1})={\vec {\beta }}_{2}$ 且 $t({\vec {\beta }}_{3})={\vec {\beta }}_{4}$ .

{\vec {\beta }}_{1}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\qquad {\vec {\beta }}_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}

现在，关于 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{5}\rangle$ ， $t$ 的矩阵如预期一样。

{\rm {Rep}}_{B,B}(t)=\left({\begin{array}{cc|cc|c}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\\hline 0&0&0&0&0\end{array}}\right)

定理 2.13

任何幂零变换 $t$ 都与一个 $t$ 字符串基相关联。虽然基不唯一，但字符串的数量和长度由 $t$ 决定。

这说明了证明。基向量被分为 $1$ 类， $2$ 类和 $3$ 类。它们也用正方形或圆形表示，根据它们是否在零空间中。

证明

修复向量空间 $V$ ；我们将通过归纳法论证 $t:V\to V$ 的幂零指数。如果该指数是 $1$ ，则 $t$ 是零映射，任何基都是一个字符串基 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {0}}$ ，...， ${\vec {\beta }}_{n}\mapsto {\vec {0}}$ 。对于归纳步骤，假设定理适用于任何幂零指数在 $1$ 和 $k-1$ 之间的变换，并考虑指数为 $k$ 的情况。

首先观察到，对值域 $t:{\mathcal {R}}(t)\to {\mathcal {R}}(t)$ 的限制也是幂零的，指数为 $k-1$ 。将归纳假设应用于 ${\mathcal {R}}(t)$ ，其中字符串的数量和长度由 $t$ 决定。

B=\langle {\vec {\beta }}_{1},t({\vec {\beta }}_{1}),\dots ,t^{h_{1}}({\vec {\beta }}_{1})\rangle \!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!\langle {\vec {\beta }}_{2},\ldots ,t^{h_{2}}({\vec {\beta }}_{2})\rangle \!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!\cdots \!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!\langle {\vec {\beta }}_{i},\ldots ,t^{h_{i}}({\vec {\beta }}_{i})\rangle

(在插图中，这些是类型为 $1$ 的基向量，因此有 $i$ 个这种基向量表示的字符串。）

其次，请注意，在每个字符串中取最后一个非零向量将得到一个关于 ${\mathcal {R}}(t)\cap {\mathcal {N}}(t)$ 的基 $C=\langle t^{h_{1}}({\vec {\beta }}_{1}),\dots ,t^{h_{i}}({\vec {\beta }}_{i})\rangle$ 。 (这些用 $1$ 在方框中表示。) 因为， ${\mathcal {R}}(t)$ 中的元素被映射到零，当且仅当它是那些被映射到零的基向量的线性组合。将 $C$ 扩展为 ${\mathcal {N}}(t)$ 的一个基。

{\hat {C}}=C\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!\langle {\vec {\xi }}_{1},\dots ,{\vec {\xi }}_{p}\rangle

( ${\vec {\xi }}$ 是 $2$ 类向量，使得 ${\hat {C}}$ 是所有平方数的集合。）尽管 ${\vec {\xi }}$ 可以有多种选择，但它们的个数 $p$ 由映射 $t$ 决定，因为它等于 ${\mathcal {N}}(t)$ 的维数减去 ${\mathcal {R}}(t)\cap {\mathcal {N}}(t)$ 的维数。

最后， $B\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!{\hat {C}}$ 是 ${\mathcal {R}}(t)+{\mathcal {N}}(t)$ 的一个基，因为值域空间中的任何元素与零空间中的任何元素的和，都可以用 $B$ 中的元素来表示值域部分，用 ${\hat {C}}$ 中的元素来表示零空间部分。请注意

{\begin{array}{rl}\dim {\big (}{\mathcal {R}}(t)+{\mathcal {N}}(t){\big )}&=\dim({\mathcal {R}}(t))+\dim({\mathcal {N}}(t))-\dim({\mathcal {R}}(t)\cap {\mathcal {N}}(t))\\&=\mathop {\mbox{rank}} (t)+{\text{nullity}}\,(t)-i\\&=\dim(V)-i\end{array}}

因此， $B\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!{\hat {C}}$ 可以通过添加 $i$ 个向量扩展为 $V$ 的所有基。具体来说，请记住，每个 ${\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i}$ 都在 ${\mathcal {R}}(t)$ 中，并用向量 ${\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{i}$ 扩展 $B\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!{\hat {C}}$ ，使得 $t({\vec {v}}_{1})={\vec {\beta }}_{1},\dots ,t({\vec {v}}_{i})={\vec {\beta }}_{i}$ 。（在图示中，这些是 $3$ 。）此扩展保持线性无关性的检查在问题 13 中。

推论 2.14

每个幂零矩阵都类似于一个矩阵，该矩阵除了对角线下方的一块块之外都是零。也就是说，每个幂零映射都由某个基相对于该矩阵表示。

这种形式是唯一的，因为如果一个幂零矩阵类似于两个这样的矩阵，那么这两个矩阵只是它们的块排序不同。因此，如果我们对块进行排序，例如从最长到最短，那么这是一个幂零矩阵相似性类的典型形式。

示例 2.15

矩阵

M={\begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\end{pmatrix}}

的幂零指数为 2，如以下计算所示。

{\begin{array}{c|cc}p&M^{p}&{\mathcal {N}}(M^{p})\\\hline 1&M={\begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\end{pmatrix}}&\{{\begin{pmatrix}x\\x\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x\in \mathbb {C} \}\\2&M^{2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}&\mathbb {C} ^{2}\end{array}}

计算还描述了如何表示为 $M$ 的映射 $m$ 必须作用于任何字符串基。在一个映射应用中，零空间的维度为一，因此基的向量被映射到零。在第二次应用中，零空间的维度为二，因此另一个基向量被映射到零。因此，映射的作用是 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {0}}$ ，矩阵的规范形式为：

{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}

我们可以展示这样的一个 $m$ -字符串基和证明矩阵相似性的基变换矩阵。对于基，取 $M$ 来表示 $m$ 相对于标准基，选择一个 ${\vec {\beta }}_{2}\in {\mathcal {N}}(m)$ ，并选择一个 ${\vec {\beta }}_{1}$ ，使得 $m({\vec {\beta }}_{1})={\vec {\beta }}_{2}$ 。

{\vec {\beta }}_{2}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\qquad {\vec {\beta }}_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}

(如果我们将 $M$ 视为相对于某些非标准基的代表，那么这个选择步骤就会变得更混乱。) 回想一下相似性图。

规范形式等于 ${\rm {Rep}}_{B,B}(m)=PMP^{-1}$ ，其中

P^{-1}={\rm {Rep}}_{B,{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}\qquad P=(P^{-1})^{-1}={\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}}

矩阵计算的验证是例行公事。

{\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}

例 2.16

矩阵

{\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\-1&1&1&-1&1\\0&1&0&0&0\\1&0&-1&1&-1\end{pmatrix}}

是幂零的。这些计算表明零空间在增长。

{\begin{array}{c|cc}p&N^{p}&{\mathcal {N}}(N^{p})\\\hline 1&{\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\-1&1&1&-1&1\\0&1&0&0&0\\1&0&-1&1&-1\end{pmatrix}}&\{{\begin{pmatrix}0\\0\\u-v\\u\\v\end{pmatrix}}\,{\big |}\,u,v\in \mathbb {C} \}\\2&{\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}&\{{\begin{pmatrix}0\\y\\z\\u\\v\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y,z,u,v\in \mathbb {C} \}\\3&{\textit {--zeromatrix--}}&\mathbb {C} ^{5}\end{array}}

该表格表明，任何字符串基都必须满足：经过一次映射后，零空间的维度为 2，因此两个基向量直接映射到零；经过第二次映射后，零空间的维度为 4，因此另外两个基向量在第二次迭代中映射到零；经过三次映射后，零空间的维度为 5，因此最后一个基向量在三次跳跃中映射到零。

{\begin{array}{ccccccc}{\vec {\beta }}_{1}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{2}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{3}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{4}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{5}&\mapsto &{\vec {0}}\end{array}}

为了构建这样的基，首先从 ${\mathcal {N}}(n)$ 中选择两个独立的向量

{\vec {\beta }}_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\\0\end{pmatrix}}\quad {\vec {\beta }}_{5}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\\1\end{pmatrix}}

然后添加 ${\vec {\beta }}_{2},{\vec {\beta }}_{4}\in {\mathcal {N}}(n^{2})$ ，使得 $n({\vec {\beta }}_{2})={\vec {\beta }}_{3}$ 以及 $n({\vec {\beta }}_{4})={\vec {\beta }}_{5}$

{\vec {\beta }}_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\vec {\beta }}_{4}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}

并最后添加 ${\vec {\beta }}_{1}\in {\mathcal {N}}(n^{3})=\mathbb {C} ^{5}$ ) 使得 $n({\vec {\beta }}_{1})={\vec {\beta }}_{2}$ .

{\vec {\beta }}_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}

练习

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问题 1

以下 **左移** 算子的幂零指数是多少？它作用于实数三元组空间。

(x,y,z)\mapsto (0,x,y)

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问题 2

对于每个字符串基，给出其幂零指数，并给出幂零映射每次迭代后的值域和零空间的维数。

${\begin{array}{ccccccc}{\vec {\beta }}_{1}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{2}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{3}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{4}&\mapsto &{\vec {0}}\end{array}}$
${\begin{array}{ccccccc}{\vec {\beta }}_{1}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{2}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{3}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{4}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{5}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{6}&\mapsto &{\vec {0}}\end{array}}$
${\begin{array}{ccccccccc}{\vec {\beta }}_{1}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{2}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{3}&\mapsto &{\vec {0}}\end{array}}$

也给出矩阵的典型形式。

问题 3

确定这些矩阵中哪些是幂零矩阵。

${\begin{pmatrix}-2&4\\-1&2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}-3&2&1\\-3&2&1\\-3&2&1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&1&4\\3&0&-1\\5&2&7\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}45&-22&-19\\33&-16&-14\\69&-34&-29\end{pmatrix}}$

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问题 4

求这个矩阵的典型形式。

{\begin{pmatrix}0&1&1&0&1\\0&0&1&1&1\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}

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问题 5

考虑来自例 2.16 的矩阵。

利用映射在字符串基上的作用给出其典型形式。
求出将矩阵转换为典型形式的基变换矩阵。
利用上一条中的答案来检查第一条中的答案。

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问题 6

这些矩阵中的每一个都是幂零矩阵。

${\begin{pmatrix}1/2&-1/2\\1/2&-1/2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-1&1\\0&-1&1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}-1&1&-1\\1&0&1\\1&-1&1\end{pmatrix}}$

将每个矩阵化为标准形。

问题 7

描述左乘或右乘一个处于幂零矩阵标准形的矩阵的效果。

问题 8

幂零性是否在相似变换下保持不变？也就是说，与幂零矩阵相似的矩阵是否也必须是幂零矩阵？如果是，是否具有相同的指数？

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问题 9

证明幂零矩阵的唯一特征值为零。

问题 10

二维空间上是否存在指数为三的幂零变换？

问题 11

在定理 2.13的证明中，为什么基底情况不是幂零指数为零？

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问题 12

设 $t:V\to V$ 是一个线性变换，并假设 ${\vec {v}}\in V$ 使得 $t^{k}({\vec {v}})={\vec {0}}$ ，但 $t^{k-1}({\vec {v}})\neq {\vec {0}}$ 。考虑 $t$ -串 $\langle {\vec {v}},t({\vec {v}}),\dots ,t^{k-1}({\vec {v}})\rangle$ 。