线性代数/拉普拉斯展开/解答

解答

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问题 1

求余子式。

T={\begin{pmatrix}1&0&2\\-1&1&3\\0&2&-1\end{pmatrix}}

$T_{2,3}$
$T_{3,2}$
$T_{1,3}$

解答

$(-1)^{2+3}{\begin{vmatrix}1&0\\0&2\end{vmatrix}}=-2$
$(-1)^{3+2}{\begin{vmatrix}1&2\\-1&3\end{vmatrix}}=-5$
$(-1)^{4}{\begin{vmatrix}-1&1\\0&2\end{vmatrix}}=-3$

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问题 2

通过展开求行列式

{\begin{vmatrix}3&0&1\\1&2&2\\-1&3&0\end{vmatrix}}

在第一行展开
在第二行展开
在第三列展开。

解答

$3\cdot (+1){\begin{vmatrix}2&2\\3&0\end{vmatrix}}+0\cdot (-1){\begin{vmatrix}1&2\\-1&0\end{vmatrix}}+1\cdot (+1){\begin{vmatrix}1&2\\-1&3\end{vmatrix}}=-13$
$1\cdot (-1){\begin{vmatrix}0&1\\3&0\end{vmatrix}}+2\cdot (+1){\begin{vmatrix}3&1\\-1&0\end{vmatrix}}+2\cdot (-1){\begin{vmatrix}3&0\\-1&3\end{vmatrix}}=-13$
$1\cdot (+1){\begin{vmatrix}1&2\\-1&3\end{vmatrix}}+2\cdot (-1){\begin{vmatrix}3&0\\-1&3\end{vmatrix}}+0\cdot (+1){\begin{vmatrix}3&0\\1&2\end{vmatrix}}=-13$

问题 3

求例 1.6中矩阵的伴随矩阵。

解答

${\text{adj}}\,(T)={\begin{pmatrix}T_{1,1}&T_{2,1}&T_{3,1}\\T_{1,2}&T_{2,2}&T_{3,2}\\T_{1,3}&T_{2,3}&T_{3,3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+{\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}2&3\\8&9\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}2&3\\5&6\end{vmatrix}}\\-{\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}1&3\\7&9\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}1&3\\4&6\end{vmatrix}}\\+{\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}1&2\\7&8\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}1&2\\4&5\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3&6&-3\\6&-12&6\\-3&6&-3\end{pmatrix}}$

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问题 4

求每个矩阵的伴随矩阵。

${\begin{pmatrix}2&1&4\\-1&0&2\\1&0&1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}3&-1\\2&4\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&1\\5&0\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&4&3\\-1&0&3\\1&8&9\end{pmatrix}}$

解答

${\begin{pmatrix}T_{1,1}&T_{2,1}&T_{3,1}\\T_{1,2}&T_{2,2}&T_{3,2}\\T_{1,3}&T_{2,3}&T_{3,3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\begin{vmatrix}0&2\\0&1\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}1&4\\0&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}1&4\\0&2\end{vmatrix}}\\-{\begin{vmatrix}-1&2\\1&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}2&4\\1&1\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}2&4\\-1&2\end{vmatrix}}\\{\begin{vmatrix}-1&0\\1&0\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}2&1\\1&0\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}2&1\\-1&0\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1&2\\3&-2&-8\\0&1&1\end{pmatrix}}$
次要项是 $1\!\times \!1$ : ${\begin{pmatrix}T_{1,1}&T_{2,1}\\T_{1,2}&T_{2,2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\begin{vmatrix}4\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}-1\end{vmatrix}}\\-{\begin{vmatrix}2\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}3\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&1\\-2&3\end{pmatrix}}$ .
${\begin{pmatrix}0&-1\\-5&1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}T_{1,1}&T_{2,1}&T_{3,1}\\T_{1,2}&T_{2,2}&T_{3,2}\\T_{1,3}&T_{2,3}&T_{3,3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\begin{vmatrix}0&3\\8&9\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}4&3\\8&9\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}4&3\\0&3\end{vmatrix}}\\-{\begin{vmatrix}-1&3\\1&9\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}1&3\\1&9\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}1&3\\-1&3\end{vmatrix}}\\{\begin{vmatrix}-1&0\\1&8\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}1&4\\1&8\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}1&4\\-1&0\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-24&-12&12\\12&6&-6\\-8&-4&4\end{pmatrix}}$

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问题 5

使用定理 1.9 求解上一个问题中每个矩阵的逆矩阵。

解答

$(1/3)\cdot {\begin{pmatrix}0&-1&2\\3&-2&-8\\0&1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1/3&2/3\\1&-2/3&-8/3\\0&1/3&1/3\end{pmatrix}}$
$(1/14)\cdot {\begin{pmatrix}4&1\\-2&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2/7&1/14\\-1/7&3/14\end{pmatrix}}$
$(1/-5)\cdot {\begin{pmatrix}0&-1\\-5&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1/5\\1&-1/5\end{pmatrix}}$
该矩阵的行列式为零，因此没有逆矩阵。

问题 6

求该矩阵的伴随矩阵。

{\begin{pmatrix}2&1&0&0\\1&2&1&0\\0&1&2&1\\0&0&1&2\end{pmatrix}}

解答

${\begin{pmatrix}T_{1,1}&T_{2,1}&T_{3,1}&T_{4,1}\\T_{1,2}&T_{2,2}&T_{3,2}&T_{4,2}\\T_{1,3}&T_{2,3}&T_{3,3}&T_{4,3}\\T_{1,4}&T_{2,4}&T_{3,4}&T_{4,4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&-3&2&-1\\-3&6&-4&2\\2&-4&6&-3\\-1&2&-3&4\end{pmatrix}}$

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问题 7

展开第一行，推导出 $2\!\times \!2$ 矩阵行列式的公式。

解答

行列式

{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}

按第一行展开得到 $a\cdot (+1)\left|d\right|+b\cdot (-1)\left|c\right|=ad-bc$ （注意两个 $1\!\times \!1$ 子式）。

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问题 8

展开第一行，推导出 $3\!\times \!3$ 矩阵行列式的公式。

解答

矩阵

{\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}

的行列式是

a\cdot {\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b\cdot {\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c\cdot {\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)

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问题 9

给出 $2\!\times \!2$ 矩阵伴随矩阵的公式。
利用它推导出逆矩阵的公式。

解答

${\begin{pmatrix}T_{1,1}&T_{2,1}\\T_{1,2}&T_{2,2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\begin{vmatrix}t_{2,2}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}t_{1,2}\end{vmatrix}}\\-{\begin{vmatrix}t_{2,1}\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}t_{1,1}\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}t_{2,2}&-t_{1,2}\\-t_{2,1}&t_{1,1}\end{pmatrix}}$
$(1/t_{1,1}t_{2,2}-t_{1,2}t_{2,1})\cdot {\begin{pmatrix}t_{2,2}&-t_{1,2}\\-t_{2,1}&t_{1,1}\end{pmatrix}}$

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问题 10

我们能否通过沿对角线展开来计算行列式？

解答

不能。这里有一个行列式，其值

{\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}}=1

不等于沿对角线展开的结果。

1\cdot (+1){\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}}+1\cdot (+1){\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}}+1\cdot (+1){\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}}=3

问题 11

给出对角矩阵的伴随矩阵公式。

解答

考虑这个对角矩阵。

D={\begin{pmatrix}d_{1}&0&0&\ldots \\0&d_{2}&0&\\0&0&d_{3}\\&&&\ddots \\&&&&d_{n}\end{pmatrix}}

如果 $i\neq j$ ，那么 $i,j$ 子式是一个 $(n-1)\!\times \!(n-1)$ 矩阵，只有 $n-2$ 个非零元素，因为 $d_{i}$ 和 $d_{j}$ 都被删除了。因此，子式的至少一行或一列全为零，所以余因子 $D_{i,j}$ 为零。如果 $i=j$ ，那么子式是一个对角矩阵，其元素为 $d_{1}$ ，…， $d_{i-1}$ ， $d_{i+1}$ ，…， $d_{n}$ 。其行列式显然为 $(-1)^{i+j}=(-1)^{2i}=1$ 乘以这些元素的乘积。

{\text{adj}}\,(D)={\begin{pmatrix}d_{2}\cdots d_{n}&0&&0\\0&d_{1}d_{3}\cdots d_{n}&&0\\&&\ddots \\&&&d_{1}\cdots d_{n-1}\end{pmatrix}}

顺便说一句，定理 1.9 提供了一个更简洁的方法来推导出这个结论。

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问题 12

证明伴随矩阵的转置等于转置矩阵的伴随矩阵。

解答

只需注意到，如果 $S={{T}^{\rm {trans}}}$ ，则余因子 $S_{j,i}$ 等于余因子 $T_{i,j}$ ，因为 $(-1)^{j+i}=(-1)^{i+j}$ ，并且因为子式是彼此的转置（并且转置矩阵的行列式等于矩阵的行列式）。

问题 13

证明或反驳： ${\text{adj}}\,({\text{adj}}\,(T))=T$ .

解答

这是错误的；这里有一个例子。

T={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}\qquad {\text{adj}}\,(T)={\begin{pmatrix}-3&6&-3\\6&-12&6\\-3&6&-3\end{pmatrix}}\qquad {\text{adj}}\,({\text{adj}}\,(T))={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}

问题 14

如果方阵的每个 $i,j$ 元素在对角线以上为零，即当 $i>j$ 时，则该方阵为 **上三角**。

上三角矩阵的伴随矩阵必须是上三角吗？下三角吗？
证明如果存在逆矩阵，则上三角矩阵的逆矩阵是上三角矩阵。

解答

一个例子
$M={\begin{pmatrix}1&2&3\\0&4&5\\0&0&6\end{pmatrix}}$
表明了正确答案。
${\text{adj}}\,(M)={\begin{pmatrix}M_{1,1}&M_{2,1}&M_{3,1}\\M_{1,2}&M_{2,2}&M_{3,2}\\M_{1,3}&M_{2,3}&M_{3,3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\begin{vmatrix}4&5\\0&6\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}2&3\\0&6\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}2&3\\4&5\end{vmatrix}}\\-{\begin{vmatrix}0&5\\0&6\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}1&3\\0&6\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}1&3\\0&5\end{vmatrix}}\\{\begin{vmatrix}0&4\\0&0\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}1&2\\0&0\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}1&2\\0&4\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}24&-12&-2\\0&6&-5\\0&0&4\end{pmatrix}}$
结果确实是上三角矩阵。检查这一点很详细，但并不难。伴随矩阵上三角中的元素是 $M_{a,b}$ ，其中 $a>b$ 。我们需要验证余因子 $M_{a,b}$ 如果 $a>b$ 为零。对于 $a>b$ ， $M$ 的第 $a$ 行和第 $b$ 列是，
${\begin{pmatrix}m_{1,1}&\ldots &m_{1,b}&&\\m_{2,1}&\ldots &m_{2,b}&&\\\vdots &&\vdots &&\\m_{a,1}&\ldots &m_{a,b}&\ldots &m_{a,n}\\&&\vdots &&\\&&m_{n,b}&&\end{pmatrix}}$
when deleted, leave an upper triangular minor, because entry $i,j$ of the minor is either entry $i,j$ of $M$ (this happens if $a>i$ and $b>j$ ; in this case $i<j$ implies that the entry is zero) or it is entry $i,j+1$ of $M$ (this happens if $i<a$ and $j>b$ ; in this case, $i<j$ implies that $i<j+1$ , which implies that the entry is zero), or it is entry $i+1,j+1$ of $M$ (this last case happens when $i>a$ and $j>b$ ; obviously here $i<j$ implies that $i+1<j+1$ and so the entry is zero). Thus the determinant of the minor is the product down the diagonal. Observe that the $a-1,a$ entry of $M$ is the $a-1,a-1$ entry of the minor (it doesn't get deleted because the relation $a>b$ is strict). But this entry is zero because $M$ is upper triangular and $a-1<a$ . Therefore the cofactor is zero, and the adjoint is upper triangular. (The lower triangular case is similar.)
这直接来自先前部分，根据推论 1.11。

问题 15

这个问题需要可选的行列式存在小节中的内容。使用排列展开证明定理 1.5。

解答

我们将证明每个行列式都可以沿着第 $i$ 行展开。对第 $j$ 列的论证类似。

排列展开中的每一项都包含且仅包含来自每一行的一个元素。正如示例 1.1 中所示，将每一行 $i$ 的元素提取出来，得到 $\left|T\right|=t_{i,1}\cdot {\hat {T}}_{i,1}+\dots +t_{i,n}\cdot {\hat {T}}_{i,n}$ ，其中每个 ${\hat {T}}_{i,j}$ 是不包含第 $i$ 行任何元素的项的总和。我们将证明 ${\hat {T}}_{i,j}$ 是 $i,j$ 余因子。

首先考虑 $i,j=n,n$ 的情况。

t_{n,n}\cdot {\hat {T}}_{n,n}=t_{n,n}\cdot \sum _{\phi }t_{1,\phi (1)}t_{2,\phi (2)}\dots \,t_{n-1,\phi (n-1)}\operatorname {sgn}(\phi )

其中求和是对所有满足 $\phi (n)=n$ 的 $n$ -排列 $\phi$ 进行的。为了证明 ${\hat {T}}_{i,j}$ 是 $T_{i,j}$ 的余子式，我们只需要证明如果 $\phi$ 是一个满足 $\phi (n)=n$ 的 $n$ -排列，而 $\sigma$ 是一个满足 $\sigma (1)=\phi (1)$ ，...， $\sigma (n-1)=\phi (n-1)$ 的 $n-1$ -排列，那么 $\operatorname {sgn}(\sigma )=\operatorname {sgn}(\phi )$ 。但这是正确的，因为 $\phi$ 和 $\sigma$ 具有相同数量的逆序。

回到一般 $i,j$ 的情况。交换相邻行直到 $i$ 行成为最后一行，然后交换相邻列直到 $j$ 列成为最后一列。观察到 $i,j$ 子式的行列式不受这些相邻交换的影响，因为逆序保持不变（因为子式省略了 $i$ 行和 $j$ 列）。另一方面， $\left|T\right|$ 和 ${\hat {T}}_{i,j}$ 的符号改变了 $n-i$ 加上 $n-j$ 次。因此 ${\hat {T}}_{i,j}=(-1)^{n-i+n-j}\left|T_{i,j}\right|=(-1)^{i+j}\left|T_{i,j}\right|$ .

问题 16

使用拉普拉斯展开和矩阵大小的归纳法证明矩阵的行列式等于其转置的行列式。

解答

对于 $1\!\times \!1$ 的基本情况，这是显而易见的。

对于归纳步骤，假设对于所有 $1\!\times \!1$ , ..., $(n-1)\!\times \!(n-1)$ 矩阵，矩阵的行列式等于其转置的行列式。在第 $i$ 行展开得到 $\left|T\right|=t_{i,1}T_{i,1}+\dots \,+t_{i,n}T_{i,n}$ ，在第 $i$ 列展开得到 $\left|{{T}^{\rm {trans}}}\right|=t_{1,i}({{T}^{\rm {trans}}})_{1,i}+\dots +t_{n,i}({{T}^{\rm {trans}}})_{n,i}$ 由于 $(-1)^{i+j}=(-1)^{j+i}$ ，这两个求和中的符号相同。由于 ${{T}^{\rm {trans}}}$ 的 $j,i$ 子式是 $T$ 的 $i,j$ 子式的转置，归纳假设得到 $\left|({{T}^{\rm {trans}}})_{i,j}\right|=\left|T_{i,j}\right|$ 。

？问题 17

证明

F_{n}={\begin{vmatrix}1&-1&1&-1&1&-1&\ldots \\1&1&0&1&0&1&\ldots \\0&1&1&0&1&0&\ldots \\0&0&1&1&0&1&\ldots \\.&.&.&.&.&.&\ldots \end{vmatrix}}

其中 $F_{n}$ 是 $n$ 项 $1,1,2,3,5,\dots ,x,y,x+y,\ldots \,$ ，即斐波那契数列，行列式为 $n-1$ 阶。(Walter & Tytun 1949)

解答

这是引用的文献中给出的答案。

将上面的行列式记为 $D_{n}$ ，可以看到 $D_{2}=1$ ， $D_{3}=2$ 。现在需要证明 $D_{n}=D_{n-1}+D_{n-2},\;n\geq 4$ 。在 $D_{n}$ 中，将第 $(n-3)$ 列从第 $(n-1)$ 列中减去，第 $(n-4)$ 列从第 $(n-2)$ 列中减去，…，第一列从第三列中减去，得到

F_{n}={\begin{vmatrix}1&-1&0&0&0&0&\ldots \\1&1&-1&0&0&0&\ldots \\0&1&1&-1&0&0&\ldots \\0&0&1&1&-1&0&\ldots \\.&.&.&.&.&.&\ldots \end{vmatrix}}.

通过根据第一行展开这个行列式，得到我们想要的结论。

参考资料

Walter, Dan (proposer); Tytun, Alex (solver) (1949), "Elementary problem 834", American Mathematical Monthly, American Mathematical Society, 56 (6): 409.