线性代数/拉普拉斯展开

示例 1.1

在这个排列展开中

${\begin{array}{rl}{\begin{vmatrix}t_{1,1}&t_{1,2}&t_{1,3}\\t_{2,1}&t_{2,2}&t_{2,3}\\t_{3,1}&t_{3,2}&t_{3,3}\end{vmatrix}}&={\begin{aligned}&t_{1,1}t_{2,2}t_{3,3}{\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}}+t_{1,1}t_{2,3}t_{3,2}{\begin{vmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{vmatrix}}\\&\quad +t_{1,2}t_{2,1}t_{3,3}{\begin{vmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{vmatrix}}+t_{1,2}t_{2,3}t_{3,1}{\begin{vmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{vmatrix}}\\&\quad +t_{1,3}t_{2,1}t_{3,2}{\begin{vmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{vmatrix}}+t_{1,3}t_{2,2}t_{3,1}{\begin{vmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{vmatrix}}\end{aligned}}\end{array}}$

例如，我们可以从第一行中分解出各个元素

${\begin{array}{rl}&=t_{1,1}\cdot \left[t_{2,2}t_{3,3}{\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}}+t_{2,3}t_{3,2}{\begin{vmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{vmatrix}}\,\right]\\&\quad +t_{1,2}\cdot \left[t_{2,1}t_{3,3}{\begin{vmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{vmatrix}}+t_{2,3}t_{3,1}{\begin{vmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{vmatrix}}\,\right]\\&\quad +t_{1,3}\cdot \left[t_{2,1}t_{3,2}{\begin{vmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{vmatrix}}+t_{2,2}t_{3,1}{\begin{vmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{vmatrix}}\,\right]\end{array}}$

然后交换排列矩阵中的行以得到这个。

${\begin{array}{rl}&=t_{1,1}\cdot \left[t_{2,2}t_{3,3}{\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}}+t_{2,3}t_{3,2}{\begin{vmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{vmatrix}}\,\right]\\&\quad -t_{1,2}\cdot \left[t_{2,1}t_{3,3}{\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}}+t_{2,3}t_{3,1}{\begin{vmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{vmatrix}}\,\right]\\&\quad +t_{1,3}\cdot \left[t_{2,1}t_{3,2}{\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}}+t_{2,2}t_{3,1}{\begin{vmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{vmatrix}}\,\right]\end{array}}$

交换的目的是（第二行中的每个排列矩阵进行一次交换，第三行中的每个进行两次交换），使三行简化为三项。

$=t_{1,1}\cdot {\begin{vmatrix}t_{2,2}&t_{2,3}\\t_{3,2}&t_{3,3}\end{vmatrix}}-t_{1,2}\cdot {\begin{vmatrix}t_{2,1}&t_{2,3}\\t_{3,1}&t_{3,3}\end{vmatrix}}+t_{1,3}\cdot {\begin{vmatrix}t_{2,1}&t_{2,2}\\t_{3,1}&t_{3,2}\end{vmatrix}}$

定理 1.5 中给出的公式将此示例推广为一个**递归**——行列式表示为行列式的组合。由于此处行列式是用更小尺寸的矩阵的行列式来表示的，因此此公式并非循环的。

定义 1.2

对于任何 $n\!\times \!n$ 矩阵 $T$，通过删除 $T$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 列而形成的 $(n-1)\!\times \!(n-1)$ 矩阵是 $T$ 的 $i,j$ **子式**。 $T$ 的 $i,j$ **余子式** $T_{i,j}$ 是 $(-1)^{i+j}$ 乘以 $T$ 的 $i,j$ 子式的行列式。

示例 1.3

来自 示例 1.1 的矩阵的 $1,2$ 余子式是第二个 $2\!\times \!2$ 行列式的负值。

$T_{1,2}=-1\cdot {\begin{vmatrix}t_{2,1}&t_{2,3}\\t_{3,1}&t_{3,3}\end{vmatrix}}$

示例 1.4

其中

$T={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}$

这些是 $1,2$ 和 $2,2$ 的余因子。

$T_{1,2}=(-1)^{1+2}\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}=6\qquad T_{2,2}=(-1)^{2+2}\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\7&9\end{vmatrix}}=-12$

定理 1.5（拉普拉斯展开行列式）

其中 $T$ 是一个 $n\!\times \!n$ 矩阵，行列式可以通过在第 $i$ 行或第 $j$ 列展开余因子来找到。

${\begin{array}{rl}\left|T\right|&=t_{i,1}\cdot T_{i,1}+t_{i,2}\cdot T_{i,2}+\cdots +t_{i,n}\cdot T_{i,n}\\&=t_{1,j}\cdot T_{1,j}+t_{2,j}\cdot T_{2,j}+\cdots +t_{n,j}\cdot T_{n,j}\end{array}}$

证明

问题 15.

示例 1.6

我们可以计算行列式

$\left|T\right|={\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}}$

通过沿第一行展开，就像在 示例 1.1 中一样。

$\left|T\right|=1\cdot (+1){\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}}+2\cdot (-1){\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+3\cdot (+1){\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}}=-3+12-9=0$

或者，我们可以沿第二列展开。

$\left|T\right|=2\cdot (-1){\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+5\cdot (+1){\begin{vmatrix}1&3\\7&9\end{vmatrix}}+8\cdot (-1){\begin{vmatrix}1&3\\4&6\end{vmatrix}}=12-60+48=0$

示例 1.7

一行或一列中有很多零表明可以使用拉普拉斯展开。

${\begin{vmatrix}1&5&0\\2&1&1\\3&-1&0\end{vmatrix}}=0\cdot (+1){\begin{vmatrix}2&1\\3&-1\end{vmatrix}}+1\cdot (-1){\begin{vmatrix}1&5\\3&-1\end{vmatrix}}+0\cdot (+1){\begin{vmatrix}1&5\\2&1\end{vmatrix}}=16$

我们最后利用这个结果推导出矩阵逆的新公式。根据定理 1.5，一个$n\!\times \!n$ 矩阵$T$ 的行列式可以通过取一行中每个元素与其对应的代数余子式的线性组合来计算。

$t_{i,1}\cdot T_{i,1}+t_{i,2}\cdot T_{i,2}+\dots +t_{i,n}\cdot T_{i,n}=\left|T\right|\qquad (*)$

回想一下，具有两行相同的矩阵的行列式为零。因此，对于任何矩阵$T$，用“错误”行的元素（即行$k$，且$k\neq i$）来对代数余子式进行加权，会得到零

$t_{i,1}\cdot T_{k,1}+t_{i,2}\cdot T_{k,2}+\dots +t_{i,n}\cdot T_{k,n}=0\qquad (**)$

因为这表示的是对一个矩阵（其第$i$ 行等于第$k$ 行）的第 $k$ 行的拉普拉斯展开。这个等式总结了 ($*$) 和 ($**$）。

$\left({\begin{array}{cccc}t_{1,1}&t_{1,2}&\ldots &t_{1,n}\\t_{2,1}&t_{2,2}&\ldots &t_{2,n}\\&\vdots \\t_{n,1}&t_{n,2}&\ldots &t_{n,n}\end{array}}\right){\begin{pmatrix}T_{1,1}&T_{2,1}&\ldots &T_{n,1}\\T_{1,2}&T_{2,2}&\ldots &T_{n,2}\\&\vdots &&\\T_{1,n}&T_{2,n}&\ldots &T_{n,n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}|T|&0&\ldots &0\\0&|T|&\ldots &0\\&\vdots &&\\0&0&\ldots &|T|\end{pmatrix}}$

请注意，伴随矩阵下标的顺序与其他矩阵下标的顺序相反；例如，在伴随矩阵的第一行中，下标依次为 $1,1$ 然后 $2,1$，等等。

定义 1.8

方阵 $T$ 的 **伴随矩阵** 为

${\text{adj}}\,(T)={\begin{pmatrix}T_{1,1}&T_{2,1}&\ldots &T_{n,1}\\T_{1,2}&T_{2,2}&\ldots &T_{n,2}\\&\vdots &&\\T_{1,n}&T_{2,n}&\ldots &T_{n,n}\end{pmatrix}}$

其中 $T_{j,i}$ 是 $j,i$ 伴随子式。

定理 1.9

对于方阵 $T$，有 $T\cdot {\text{adj}}\,(T)={\text{adj}}\,(T)\cdot T=\left|T\right|\cdot I$.

证明

方程 ($*$) 和 ($**$).

例 1.10

如果

$T={\begin{pmatrix}1&0&4\\2&1&-1\\1&0&1\end{pmatrix}}$

那么伴随矩阵 ${\text{adj}}\,(T)$ 是

${\begin{pmatrix}T_{1,1}&T_{2,1}&T_{3,1}\\T_{1,2}&T_{2,2}&T_{3,2}\\T_{1,3}&T_{2,3}&T_{3,3}\end{pmatrix}}\!\!=\!\!{\begin{pmatrix}{\begin{vmatrix}1&-1\\0&1\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}0&4\\0&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}0&4\\1&-1\end{vmatrix}}\\-{\begin{vmatrix}2&-1\\1&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}1&4\\1&1\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}1&4\\2&-1\end{vmatrix}}\\{\begin{vmatrix}2&1\\1&0\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}1&0\\1&0\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}1&0\\2&1\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}\!\!=\!{\begin{pmatrix}1&0&-4\\-3&-3&9\\-1&0&1\end{pmatrix}}$

并与 $T$ 相乘得到对角矩阵 $\left|T\right|\cdot I$.

${\begin{pmatrix}1&0&4\\2&1&-1\\1&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&-4\\-3&-3&9\\-1&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3&0&0\\0&-3&0\\0&0&-3\end{pmatrix}}$

推论 1.11

如果 $\left|T\right|\neq 0$ 那么 $T^{-1}=(1/\left|T\right|)\cdot {\text{adj}}\,(T)$.

例 1.12

来自例 1.10的矩阵的逆矩阵是$(1/-3)\cdot {\text{adj}}\,(T)$.

$T^{-1}={\begin{pmatrix}1/-3&0/-3&-4/-3\\-3/-3&-3/-3&9/-3\\-1/-3&0/-3&1/-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1/3&0&4/3\\1&1&-3\\1/3&0&-1/3\end{pmatrix}}$

本节中的公式通常用于手工计算，有时对特殊类型的矩阵很有用。然而，它们不是用于任意矩阵计算的最佳选择，因为它们需要的算术运算比例如高斯-约旦方法多。

习题

本练习推荐所有读者完成。

问题 1

求余子式。

$T={\begin{pmatrix}1&0&2\\-1&1&3\\0&2&-1\end{pmatrix}}$

1. $T_{2,3}$
2. $T_{3,2}$
3. $T_{1,3}$

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问题 2

通过展开求行列式

${\begin{vmatrix}3&0&1\\1&2&2\\-1&3&0\end{vmatrix}}$

1. 在第一行
2. 在第二行
3. 在第三列。

问题 3

求例 1.6中矩阵的伴随矩阵。

本练习推荐所有读者完成。

问题 4

求每个矩阵的伴随矩阵。

1. ${\begin{pmatrix}2&1&4\\-1&0&2\\1&0&1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}3&-1\\2&4\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&1\\5&0\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}1&4&3\\-1&0&3\\1&8&9\end{pmatrix}}$

本练习推荐所有读者完成。

问题 5

使用定理 1.9求上一个问题中每个矩阵的逆矩阵。

问题 6

求这个矩阵的伴随矩阵。

${\begin{pmatrix}2&1&0&0\\1&2&1&0\\0&1&2&1\\0&0&1&2\end{pmatrix}}$

本练习推荐所有读者完成。

问题 7

展开第一行以推导出 $2\!\times \!2$ 矩阵行列式的公式。

本练习推荐所有读者完成。

问题 8

展开第一行以推导出 $3\!\times \!3$ 矩阵行列式的公式。

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问题 9

1. 给出 $2\!\times \!2$ 矩阵伴随矩阵的公式。
2. 用它来推导出逆矩阵的公式。

本练习推荐所有读者完成。

问题 10

我们能否通过展开对角线来计算行列式？

问题 11

给出对角矩阵的伴随矩阵的公式。

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问题 12

证明伴随矩阵的转置等于转置矩阵的伴随矩阵。

问题 13

证明或反驳：${\text{adj}}\,({\text{adj}}\,(T))=T$.

问题 14

如果一个方阵是上三角矩阵，那么它的每个 $i,j$ 元素在对角线以上的部分都是零，也就是说，当 $i>j$ 时。

1. 上三角矩阵的伴随矩阵必须是上三角矩阵吗？下三角矩阵吗？
2. 证明如果存在逆矩阵，则上三角矩阵的逆矩阵是上三角矩阵。

问题 15

这个问题需要可选的“行列式存在性”小节中的内容。 使用排列展开来证明定理 1.5。

问题 16

使用拉普拉斯展开和矩阵大小的归纳法，证明矩阵的行列式等于其转置的行列式。

? 问题 17

证明

$F_{n}={\begin{vmatrix}1&-1&1&-1&1&-1&\ldots \\1&1&0&1&0&1&\ldots \\0&1&1&0&1&0&\ldots \\0&0&1&1&0&1&\ldots \\.&.&.&.&.&.&\ldots \end{vmatrix}}$

其中 $F_{n}$ 是 $n$ 阶 $1,1,2,3,5,\dots ,x,y,x+y,\ldots \,$，即斐波那契数列的项，行列式是 $n-1$ 阶。（Walter & Tytun 1949）

解答

参考文献

• Walter, Dan (proposer); Tytun, Alex (solver) (1949), "Elementary problem 834", American Mathematical Monthly, American Mathematical Society, 56 (6): 409.