线性代数/长度和角度测量/解答

解答

建议所有读者练习这道题。

问题 1

求每个向量的长度。

1. ${\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$
5. ${\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\0\end{pmatrix}}$

解答

1. ${\sqrt {3^{2}+1^{2}}}={\sqrt {10}}$
2. ${\sqrt {5}}$
3. ${\sqrt {18}}$
4. $0$
5. ${\sqrt {3}}$

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问题 2

求每对向量之间的夹角，如果定义的话。

1. ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\4\\1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\\-1\end{pmatrix}}$

解答

1. $\arccos(9/{\sqrt {85}})\approx 0.22{\text{ radians}}$
2. $\arccos(8/{\sqrt {85}})\approx 0.52{\text{ radians}}$
3. 未定义。

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问题 3

在日德兰海战前的演习中，英国战列巡洋舰 *狮* 号的移动路线如下（以海里计）：$1.2$ 海里向北，$6.1$ 海里$38$ 度东偏南，$4.0$ 海里$89$ 度东偏北，以及$6.5$ 海里$31$ 度东偏北。求出起始位置和结束位置之间的距离（O'Hanian 1985）。

解答

我们将每个位移表示为向量（四舍五入到小数点后一位，因为这与问题的陈述精度一致），然后相加求出总位移（忽略地球曲率）。

${\begin{pmatrix}0.0\\1.2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}3.8\\-4.8\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}4.0\\0.1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}3.3\\5.6\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}11.1\\2.1\end{pmatrix}}$

距离为${\sqrt {11.1^{2}+2.1^{2}}}\approx 11.3$。

问题 4

求解 $k$ 的值，使得这两个向量垂直。

${\begin{pmatrix}k\\1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}$

解答

解方程 $(k)(4)+(1)(3)=0$ 可得 $k=-3/4$。

问题 5

描述 $\mathbb {R} ^{3}$ 中与该向量正交的向量集合。

${\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}}$

解答

集合

$\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,1x+3y-1z=0\}$

也可以用参数的方式描述。

$\{{\begin{pmatrix}-3\\1\\0\end{pmatrix}}y+{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}z\,{\big |}\,y,z\in \mathbb {R} \}$

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问题 6

1. 求 $\mathbb {R} ^{2}$ 中单位正方形的对角线与其中一条轴之间的夹角。
2. 求 $\mathbb {R} ^{3}$ 中单位立方体对角线与其中一条轴之间的夹角。
3. 求 $\mathbb {R} ^{n}$ 中单位立方体对角线与其中一条轴之间的夹角。
4. 当 $n$ 趋于 $\infty$ 时，$\mathbb {R} ^{n}$ 中单位立方体对角线与其中一条轴之间的夹角的极限是多少？

解答

1. 我们可以使用 $x$ 轴。

   $\arccos({\frac {(1)(1)+(0)(1)}{{\sqrt {1}}{\sqrt {2}}}})\approx 0.79{\text{radians}}$

2. 再次使用 $x$ 轴。

   $\arccos({\frac {(1)(1)+(0)(1)+(0)(1)}{{\sqrt {1}}{\sqrt {3}}}})\approx 0.96{\text{radians}}$

3. $x$ 轴之前有效，现在仍然有效。

   $\arccos({\frac {(1)(1)+\cdots +(0)(1)}{{\sqrt {1}}{\sqrt {n}}}})=\arccos({\frac {1}{\sqrt {n}}})$

4. 根据上一条中的公式，$\lim _{n\to \infty }\arccos(1/{\sqrt {n}})=\pi /2{\text{ radians}}$.

问题 7

是否存在任何向量与其自身垂直？

解答

显然，$u_{1}u_{1}+\cdots +u_{n}u_{n}$ 等于零当且仅当每个 $u_{i}$ 等于零。所以只有 ${\vec {0}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 与自身垂直。

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问题 8

描述点积的代数性质。

1. 它是否对加法右分配律：$({\vec {u}}+{\vec {v}})\cdot {\vec {w}}={\vec {u}}\cdot {\vec {w}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {w}}$ ?
2. 它是否对加法左分配律？
3. 它是否可交换？
4. 是否满足结合律？
5. 它如何与标量乘法交互？

与往常一样，任何断言都必须用证明或例子来支持。

解答

假设 ${\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 的分量为 $u_{1},\ldots ,u_{n},v_{1},\ldots ,w_{n}$。

1. 点积对加法右分配律。

   ${\begin{array}{rl}({\vec {u}}+{\vec {v}})\cdot {\vec {w}}&=[{\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}]\cdot {\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}u_{1}+v_{1}\\\vdots \\u_{n}+v_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}\\&=(u_{1}+v_{1})w_{1}+\cdots +(u_{n}+v_{n})w_{n}\\&=(u_{1}w_{1}+\cdots +u_{n}w_{n})+(v_{1}w_{1}+\cdots +v_{n}w_{n})\\&={\vec {u}}\cdot {\vec {w}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {w}}\end{array}}$

2. 点积也满足左分配律：${\vec {w}}\cdot ({\vec {u}}+{\vec {v}})={\vec {w}}\cdot {\vec {u}}+{\vec {w}}\cdot {\vec {v}}$。证明与前一个类似。
3. 点积满足交换律。

   ${\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=u_{1}v_{1}+\cdots +u_{n}v_{n}=v_{1}u_{1}+\cdots +v_{n}u_{n}={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}$

4. 由于 ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}$ 是一个标量，而不是一个向量，表达式 $({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}$ 没有意义；标量和向量之间的点积没有定义。
5. 这是一个模糊的问题，所以有很多答案。一些是 (1) $k({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})=(k{\vec {u}})\cdot {\vec {v}}$ 和 $k({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})={\vec {u}}\cdot (k{\vec {v}})$，(2) $k({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})\neq (k{\vec {u}})\cdot (k{\vec {v}})$（一般情况下；很容易找到一个例子），以及 (3) $|k{\vec {v}}\,|=|k||{\vec {v}}\,|$（范数和点积之间的关系是范数的平方等于向量与其自身的点积）。

问题 9

验证 推论 2.6，柯西-施瓦茨不等式中的等式条件。

1. 证明如果 ${\vec {u}}$ 是 ${\vec {v}}$ 的负数倍，那么 ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}$ 和 ${\vec {v}}\cdot {\vec {u}}$ 都小于或等于零。
2. 证明 $|{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}|=|{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|$ 当且仅当其中一个向量是另一个向量的标量倍数。

解答

1. 验证$(k{\vec {x}})\cdot {\vec {y}}=k({\vec {x}}\cdot {\vec {y}})={\vec {x}}\cdot (k{\vec {y}})$ 对于$k\in \mathbb {R}$ 且 ${\vec {x}},{\vec {y}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 很容易。现在，对于 $k\in \mathbb {R}$ 且 ${\vec {v}},{\vec {w}}\in \mathbb {R} ^{n}$，如果 ${\vec {u}}=k{\vec {v}}$ 那么 ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=(k{\vec {v}})\cdot {\vec {v}}=k({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})$，它是一个非负实数的 $k$ 倍。 ${\vec {v}}=k{\vec {u}}$ 的情况类似（实际上，将本段中的 $k$ 视为上面 $k$ 的倒数，可以得出我们只需要关注 $k=0$ 的情况）。
2. 我们首先考虑 ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\geq 0$ 的情况。根据三角不等式，我们知道 ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=|{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|$ 当且仅当一个向量是另一个向量的非负标量倍数。但这正是我们需要的，因为本练习的第一部分表明，在两个向量的点积为正的情况下，两个语句“一个向量是另一个向量的标量倍数”和“一个向量是另一个向量的非负标量倍数”是等价的。最后，我们考虑 ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}<0$ 的情况。因为 $0<|{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}|=-({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})=(-{\vec {u}})\cdot {\vec {v}}$ 且 $|{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|=|-{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|$，我们有 $0<(-{\vec {u}})\cdot {\vec {v}}=|-{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|$。现在，前一段适用于给出两个向量之一 $-{\vec {u}}$ 和 ${\vec {v}}$ 是另一个向量的标量倍数。但这等价于断言两个向量之一 ${\vec {u}}$ 和 ${\vec {v}}$ 是另一个向量的标量倍数，如预期的那样。

问题 10

假设${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}={\vec {u}}\cdot {\vec {w}}$ 且${\vec {u}}\neq {\vec {0}}$。必须${\vec {v}}={\vec {w}}$ 吗？

解答

不。这些给出一个例子。

${\vec {u}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\quad {\vec {v}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\quad {\vec {w}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$

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问题 11

除了零向量之外，还有其他向量长度为零吗？（如果是“是”，请给出例子。如果是“否”，请证明。）

解答

我们证明一个向量长度为零当且仅当它的所有分量都为零。

令${\vec {u}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 的分量为$u_{1},\ldots ,u_{n}$。回想一下，任何实数的平方都大于或等于零，当且仅当该实数为零时等式成立。因此$|{\vec {u}}\,|^{2}={u_{1}}^{2}+\cdots +{u_{n}}^{2}$ 是大于或等于零的数字之和，因此它本身也大于或等于零，当且仅当每个$u_{i}$ 为零时等式成立。因此$|{\vec {u}}\,|=0$ 当且仅当${\vec {u}}$ 的所有分量都为零。

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问题 12

在$\mathbb {R} ^{2}$ 中，求连接$(x_{1},y_{1})$ 与$(x_{2},y_{2})$ 的线段的中点。推广到$\mathbb {R} ^{n}$。

解答

我们可以很容易地验证

${\bigl (}{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}{\bigr )}$

位于连接两点的直线上，并且与两点等距。推广是显而易见的。

问题 13

证明如果${\vec {v}}\neq {\vec {0}}$，那么${\vec {v}}/|{\vec {v}}\,|$的长度为 1。如果${\vec {v}}={\vec {0}}$ 会怎样？

解答

假设${\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 的分量是 $v_{1},\ldots ,v_{n}$。如果 ${\vec {v}}\neq {\vec {0}}$，那么我们有这个。

${\sqrt {\left({\frac {v_{1}}{\sqrt {{v_{1}}^{2}+\cdots +{v_{n}}^{2}}}}\right)^{2}+\dots +\left({\frac {v_{n}}{\sqrt {{v_{1}}^{2}+\cdots +{v_{n}}^{2}}}}\right)^{2}}}$

${\begin{aligned}&={\sqrt {\left({\frac {{v_{1}}^{2}}{{v_{1}}^{2}+\cdots +{v_{n}}^{2}}}\right)+\dots +\left({\frac {{v_{n}}^{2}}{{v_{1}}^{2}+\cdots +{v_{n}}^{2}}}\right)}}\\&=1\end{aligned}}$

如果${\vec {v}}={\vec {0}}$，那么${\vec {v}}/|{\vec {v}}\,|$ 没有定义。

问题 14

证明如果$r\geq 0$，则$r{\vec {v}}$ 的长度是$r$ 倍于${\vec {v}}$。如果$r<0$ 会怎样？

解答

对于第一个问题，假设${\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 且$r\geq 0$，求平方根并分解。

$|r{\vec {v}}\,|={\sqrt {(rv_{1})^{2}+\cdots +(rv_{n})^{2}}}={\sqrt {r^{2}({v_{1}}^{2}+\cdots +{v_{n}}^{2}}}=r|{\vec {v}}\,|$

对于第二个问题，结果仍然是$r$ 倍的长度，但方向相反，因为$r{\vec {v}}+(-r){\vec {v}}={\vec {0}}$。

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问题 15

长度为一的向量${\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 被称为 **单位** 向量。证明两个单位向量的点积的绝对值小于等于一。 “小于”情况可能出现吗？ “等于”情况可能出现吗？

解答

假设${\vec {u}},{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 的长度都为$1$。应用柯西-施瓦兹不等式：$|{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}|\leq |{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|=1$.

为了看到 “小于” 可以发生，在$\mathbb {R} ^{2}$ 中取

${\vec {u}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\qquad {\vec {v}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

并注意到${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=0$。对于 “等于”，注意到${\vec {u}}\cdot {\vec {u}}=1$.

问题 16

证明$|{\vec {u}}+{\vec {v}}\,|^{2}+|{\vec {u}}-{\vec {v}}\,|^{2}=2|{\vec {u}}\,|^{2}+2|{\vec {v}}\,|^{2}.$

解答

写出

${\vec {u}}={\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}\qquad {\vec {v}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}$

然后这个计算过程就成立了。

${\begin{array}{rl}|{\vec {u}}+{\vec {v}}\,|^{2}+|{\vec {u}}-{\vec {v}}\,|^{2}&=(u_{1}+v_{1})^{2}+\cdots +(u_{n}+v_{n})^{2}\\&\quad +(u_{1}-v_{1})^{2}+\cdots +(u_{n}-v_{n})^{2}\\&={u_{1}}^{2}+2u_{1}v_{1}+{v_{1}}^{2}+\cdots +{u_{n}}^{2}+2u_{n}v_{n}+{v_{n}}^{2}\\&\quad +{u_{1}}^{2}-2u_{1}v_{1}+{v_{1}}^{2}+\cdots +{u_{n}}^{2}-2u_{n}v_{n}+{v_{n}}^{2}\\&=2({u_{1}}^{2}+\cdots +{u_{n}}^{2})+2({v_{1}}^{2}+\cdots +{v_{n}}^{2})\\&=2|{\vec {u}}\,|^{2}+2|{\vec {v}}\,|^{2}\end{array}}$

问题 17

证明如果对于任意 ${\vec {y}}$ 都有 ${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=0$，那么 ${\vec {x}}={\vec {0}}$.

解答

我们将通过证明逆否命题来证明：如果 ${\vec {x}}\neq {\vec {0}}$，那么存在一个 ${\vec {y}}$ 使得 ${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}\neq 0$.

假设 ${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$。如果 ${\vec {x}}\neq {\vec {0}}$，那么它有一个非零分量，假设是第 $i$ 个分量 $x_{i}$。但向量 ${\vec {y}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 除了第 $i$ 个分量为 1，其他分量均为 0，则有 ${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=x_{i}$。（一个更简洁的证明只需要考虑 ${\vec {x}}\cdot {\vec {x}}$。）

问题 18

是否 $|{\vec {u}}_{1}+\cdots +{\vec {u}}_{n}|\leq |{\vec {u}}_{1}|+\cdots +|{\vec {u}}_{n}|$？如果为真，那么它将推广三角不等式。

解答

是的；我们可以通过归纳法证明这一点。

假设这些向量在某个 $\mathbb {R} ^{k}$ 中。显然，该陈述适用于一个向量。三角不等式就是将该陈述应用于两个向量。为了进行归纳步骤，假设该陈述对 $n$ 个或更少的向量成立。那么

$|{\vec {u}}_{1}+\cdots +{\vec {u}}_{n}+{\vec {u}}_{n+1}|\leq |{\vec {u}}_{1}+\cdots +{\vec {u}}_{n}|+|{\vec {u}}_{n+1}|$

接着是两个向量的三角不等式。现在，归纳假设应用于右侧的第一个加数，得到它小于或等于$|{\vec {u}}_{1}|+\cdots +|{\vec {u}}_{n}|+|{\vec {u}}_{n+1}|$.

问题 19

柯西-施瓦茨不等式中两边之比是多少？

解答

根据定义

${\frac {{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}}{|{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|}}=\cos \theta$

其中$\theta$ 是向量之间的夹角。因此，该比率为$|\cos \theta |$.

问题 20

为什么零向量被定义为垂直于每个向量？

解答

这样“向量正交当且仅当它们的点积为零”这一说法就不会有任何例外。

问题 21

描述$\mathbb {R} ^{1}$ 中两个向量之间的夹角。

解答

找到$(a)$ 和$(b)$ 之间的夹角（对于$a,b\neq 0$)，使用

$\arccos({\frac {ab}{{\sqrt {a^{2}}}{\sqrt {b^{2}}}}}).$

如果 $a$ 或 $b$ 为零，则该角度为 $\pi /2$ 弧度。否则，如果 $a$ 和 $b$ 符号相反，则该角度为 $\pi$ 弧度，否则该角度为零弧度。

问题 22

给出判定两个向量之间夹角为锐角、直角或钝角的简单充要条件。

解答

向量 ${\vec {u}}$ 和 ${\vec {v}}$ 之间的夹角为锐角，当且仅当 ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}>0$；为直角，当且仅当 ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=0$；为钝角，当且仅当 ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}<0$。这是因为，在夹角公式中，分母始终是非负的。

建议所有读者练习这道题。

问题 23

将勾股定理的逆定理推广到 $\mathbb {R} ^{n}$，即如果 ${\vec {u}}$ 和 ${\vec {v}}$ 垂直，则 $|{\vec {u}}+{\vec {v}}\,|^{2}=|{\vec {u}}\,|^{2}+|{\vec {v}}\,|^{2}$.

解答

假设 ${\vec {u}},{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$。如果 ${\vec {u}}$ 和 ${\vec {v}}$ 垂直，则

$|{\vec {u}}+{\vec {v}}\,|^{2}=({\vec {u}}+{\vec {v}})\cdot ({\vec {u}}+{\vec {v}})={\vec {u}}\cdot {\vec {u}}+2\,{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}={\vec {u}}\cdot {\vec {u}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}=|{\vec {u}}\,|^{2}+|{\vec {v}}\,|^{2}$

(第三个等式成立是因为 ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=0$).

问题 24

证明当且仅当 ${\vec {u}}+{\vec {v}}$ 和 ${\vec {u}}-{\vec {v}}$ 垂直时，$|{\vec {u}}\,|=|{\vec {v}}\,|$。在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中给出一个例子。

解答

当 ${\vec {u}},{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 时，向量 ${\vec {u}}+{\vec {v}}$ 和 ${\vec {u}}-{\vec {v}}$ 垂直，当且仅当 $0=({\vec {u}}+{\vec {v}})\cdot ({\vec {u}}-{\vec {v}})={\vec {u}}\cdot {\vec {u}}-{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}$，这表明它们垂直，当且仅当 ${\vec {u}}\cdot {\vec {u}}={\vec {v}}\cdot {\vec {v}}$。这成立，当且仅当 $|{\vec {u}}\,|=|{\vec {v}}\,|$。

问题 25

证明如果一个向量垂直于另外两个向量中的每一个，那么它垂直于这两个向量生成的平面上每一个向量。（注：它们可能生成一个退化的平面——一条线或一个点——但该陈述仍然成立。）

解答

假设 ${\vec {u}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 垂直于 ${\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 和 ${\vec {w}}\in \mathbb {R} ^{n}$。那么，对于任何 $k,m\in \mathbb {R}$，我们有以下。

${\vec {u}}\cdot (k{\vec {v}}+m{\vec {w}})=k({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})+m({\vec {u}}\cdot {\vec {w}})=k(0)+m(0)=0$

问题 26

证明，当${\vec {u}},{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 是非零向量时，向量

${\frac {\vec {u}}{|{\vec {u}}\,|}}+{\frac {\vec {v}}{|{\vec {v}}\,|}}$

平分它们之间的夹角。在$\mathbb {R} ^{2}$ 中说明。

解答

我们将展示更一般的东西：如果$|{\vec {z}}_{1}|=|{\vec {z}}_{2}|$ 对于${\vec {z}}_{1},{\vec {z}}_{2}\in \mathbb {R} ^{n}$，那么${\vec {z}}_{1}+{\vec {z}}_{2}$ 平分${\vec {z}}_{1}$ 和 ${\vec {z}}_{2}$ 之间的夹角

(我们忽略${\vec {z}}_{1}$ 和${\vec {z}}_{2}$ 为零向量的情况)。

当${\vec {z}}_{1}+{\vec {z}}_{2}={\vec {0}}$ 的情况很简单。对于其他情况，根据角的定义，如果我们证明了这一点，我们就完成了。

${\frac {{\vec {z}}_{1}\cdot ({\vec {z}}_{1}+{\vec {z}}_{2})}{|{\vec {z}}_{1}|\,|{\vec {z}}_{1}+{\vec {z}}_{2}|}}={\frac {{\vec {z}}_{2}\cdot ({\vec {z}}_{1}+{\vec {z}}_{2})}{|{\vec {z}}_{2}|\,|{\vec {z}}_{1}+{\vec {z}}_{2}|}}$

但将每个表达式内的项展开后得到

${\frac {{\vec {z}}_{1}\cdot {\vec {z}}_{1}+{\vec {z}}_{1}\cdot {\vec {z}}_{2}}{|{\vec {z}}_{1}|\,|{\vec {z}}_{1}+{\vec {z}}_{2}|}}\qquad {\frac {{\vec {z}}_{2}\cdot {\vec {z}}_{1}+{\vec {z}}_{2}\cdot {\vec {z}}_{2}}{|{\vec {z}}_{2}|\,|{\vec {z}}_{1}+{\vec {z}}_{2}|}}$

以及 ${\vec {z}}_{1}\cdot {\vec {z}}_{1}=|{\vec {z}}_{1}|^{2}=|{\vec {z}}_{2}|^{2}={\vec {z}}_{2}\cdot {\vec {z}}_{2}$，因此这两个表达式相等。

问题 27

验证角度定义的维度是否正确：(1) 如果 $k>0$，则 $k{\vec {u}}$ 和 ${\vec {v}}$ 之间的夹角的余弦等于 ${\vec {u}}$ 和 ${\vec {v}}$ 之间的夹角的余弦，(2) 如果 $k<0$，则 $k{\vec {u}}$ 和 ${\vec {v}}$ 之间的夹角的余弦是 ${\vec {u}}$ 和 ${\vec {v}}$ 之间夹角余弦的负值。

解答

我们可以一起证明这两个命题。令 ${\vec {u}},{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$，写成

${\vec {u}}={\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}\qquad {\vec {v}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}$

并计算。

$\cos \theta ={\frac {ku_{1}v_{1}+\cdots +ku_{n}v_{n}}{{\sqrt {{(ku_{1})}^{2}+\cdots +{(ku_{n})}^{2}}}{\sqrt {{b_{1}}^{2}+\cdots +{b_{n}}^{2}}}}}={\frac {k}{|k|}}{\frac {{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}}{|{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|}}=\pm {\frac {{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}}{|{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|}}$

建议所有读者练习这道题。

习题 28

证明内积运算的线性：对于 ${\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 以及 $k,m\in \mathbb {R}$，${\vec {u}}\cdot (k{\vec {v}}+m{\vec {w}})=k({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})+m({\vec {u}}\cdot {\vec {w}})$.

解答

设

${\vec {u}}={\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}},\quad {\vec {v}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\quad {\vec {w}}={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}$

然后

${\begin{array}{rl}{\vec {u}}\cdot {\bigl (}k{\vec {v}}+m{\vec {w}}{\bigr )}&={\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\bigl (}{\begin{pmatrix}kv_{1}\\\vdots \\kv_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}mw_{1}\\\vdots \\mw_{n}\end{pmatrix}}{\bigr )}\\&={\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}kv_{1}+mw_{1}\\\vdots \\kv_{n}+mw_{n}\end{pmatrix}}\\&=u_{1}(kv_{1}+mw_{1})+\cdots +u_{n}(kv_{n}+mw_{n})\\&=ku_{1}v_{1}+mu_{1}w_{1}+\cdots +ku_{n}v_{n}+mu_{n}w_{n}\\&=(ku_{1}v_{1}+\cdots +ku_{n}v_{n})+(mu_{1}w_{1}+\cdots +mu_{n}w_{n})\\&=k({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})+m({\vec {u}}\cdot {\vec {w}})\end{array}}$

如所需。

建议所有读者练习这道题。

问题 29

两个正实数 $x,y$ 的几何平均数是 ${\sqrt {xy}}$。它类似于算术平均数 $(x+y)/2$。使用柯西-施瓦茨不等式证明任意 $x,y\in \mathbb {R}$ 的几何平均数小于或等于算术平均数。

解答

对于 $x,y\in \mathbb {R} ^{+}$，设

${\vec {u}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {x}}\\{\sqrt {y}}\end{pmatrix}}\qquad {\vec {v}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {y}}\\{\sqrt {x}}\end{pmatrix}}$

因此柯西-施瓦茨不等式断言（平方后）

${\begin{array}{rl}({\sqrt {x}}{\sqrt {y}}+{\sqrt {y}}{\sqrt {x}})^{2}&\leq ({\sqrt {x}}{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}{\sqrt {y}})({\sqrt {y}}{\sqrt {y}}+{\sqrt {x}}{\sqrt {x}})\\(2{\sqrt {x}}{\sqrt {y}})^{2}&\leq (x+y)^{2}\\{\sqrt {xy}}&\leq {\frac {x+y}{2}}\end{array}}$

如预期。

? 问题 30

一艘船以速度和方向 ${\vec {v}}_{1}$ 航行；风似乎（根据桅杆上的风向标判断）沿着向量 ${\vec {a}}$ 的方向吹；当船的速度和方向从 ${\vec {v}}_{1}$ 改变为 ${\vec {v}}_{2}$ 时，风向沿着向量 ${\vec {b}}$ 的方向。

求风的向量速度（Ivanoff & Esty 1933）。

解答

引用的资料中是这样给出的答案。

风的实际速度 ${\vec {v}}$ 是船速和风速的向量和。不妨假设 ${\vec {a}}$ 和 ${\vec {b}}$ 为单位向量，可以写成

${\vec {v}}={\vec {v}}_{1}+s{\vec {a}}={\vec {v}}_{2}+t{\vec {b}}$

其中 $s$ 和 $t$ 是待定的标量。首先用 ${\vec {a}}$ 求点积，然后用 ${\vec {b}}$ 求点积，得到

${\begin{array}{rl}s-t{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}&={\vec {a}}\cdot ({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}}_{1})\\s{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}-t&={\vec {b}}\cdot ({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}}_{1})\end{array}}$

用 ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$ 乘以第二个方程，将结果从第一个方程中减去，得到

$s={\frac {[{\vec {a}}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}){\vec {b}}]\cdot ({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}}_{1})}{1-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})^{2}}}.$

将 s 代入原始的显示方程，得到

${\vec {v}}={\vec {v}}_{1}+{\frac {[{\vec {a}}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}){\vec {b}}]\cdot ({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}}_{1}){\vec {a}}}{1-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})^{2}}}.$

问题 31

首先证明拉格朗日恒等式，验证柯西-施瓦茨不等式

${\displaystyle \left(\sum _{1\leq j\leq n}a_{j}b_{j}\right)^{2}=\left(\sum _{1\leq j\leq n}a_{j}^{2}\right)\left(\sum _{1\leq j\leq n}b_{j}^{2}\right)-\sum _{1\leq k$

然后注意到最后一项是正数。（回顾一下

$\sum _{1\leq j\leq n}a_{j}b_{j}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}$

和

$\sum _{1\leq j\leq n}{a_{j}}^{2}={a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+\cdots +{a_{n}}^{2}$

的 $\Sigma$ 符号。）这个结果是对柯西-施瓦茨不等式的改进，因为它给出了两边差的公式。用 $\mathbb {R} ^{2}$ 解释这个差异。

解答

我们对 $n$ 使用数学归纳法。

在 $n=1$ 的基本情况下，等式简化为

$(a_{1}b_{1})^{2}=({a_{1}}^{2})({b_{1}}^{2})-0$

很明显成立。

对于归纳步骤，假设公式对于 $0$，...， $n$ 的情况成立。我们将证明它在 $n+1$ 的情况下也成立。从等式的右边开始

${\bigl (}\sum _{1\leq j\leq n+1}{a_{j}}^{2}{\bigr )}{\bigl (}\sum _{1\leq j\leq n+1}{b_{j}}^{2}{\bigr )}-\sum _{1\leq k<j\leq n+1}{\bigl (}a_{k}b_{j}-a_{j}b_{k}{\bigr )}^{2}$

${\begin{aligned}&={\bigl [}(\sum _{1\leq j\leq n}{a_{j}}^{2})+{a_{n+1}}^{2}{\bigr ]}{\bigl [}(\sum _{1\leq j\leq n}{b_{j}}^{2})+{b_{n+1}}^{2}{\bigr ]}\\&\quad -{\bigl [}\sum _{1\leq k<j\leq n}{\bigl (}a_{k}b_{j}-a_{j}b_{k}{\bigr )}^{2}+\sum _{1\leq k\leq n}{\bigl (}a_{k}b_{n+1}-a_{n+1}b_{k}{\bigr )}^{2}{\bigr ]}\\&={\bigl (}\sum _{1\leq j\leq n}{a_{j}}^{2}{\bigr )}{\bigl (}\sum _{1\leq j\leq n}{b_{j}}^{2}{\bigr )}+\sum _{1\leq j\leq n}{b_{j}}^{2}{a_{n+1}}^{2}+\sum _{1\leq j\leq n}{a_{j}}^{2}{b_{n+1}}^{2}+{a_{n+1}}^{2}{b_{n+1}}^{2}\\&\qquad -{\bigl [}\sum _{1\leq k<j\leq n}{\bigl (}a_{k}b_{j}-a_{j}b_{k}{\bigr )}^{2}+\sum _{1\leq k\leq n}{\bigl (}a_{k}b_{n+1}-a_{n+1}b_{k}{\bigr )}^{2}{\bigr ]}\\&={\bigl (}\sum _{1\leq j\leq n}{a_{j}}^{2}{\bigr )}{\bigl (}\sum _{1\leq j\leq n}{b_{j}}^{2}{\bigr )}-\sum _{1\leq k<j\leq n}{\bigl (}a_{k}b_{j}-a_{j}b_{k}{\bigr )}^{2}\\&\quad +\sum _{1\leq j\leq n}{b_{j}}^{2}{a_{n+1}}^{2}+\sum _{1\leq j\leq n}{a_{j}}^{2}{b_{n+1}}^{2}+{a_{n+1}}^{2}{b_{n+1}}^{2}\\&\qquad -\sum _{1\leq k\leq n}{\bigl (}a_{k}b_{n+1}-a_{n+1}b_{k}{\bigr )}^{2}\end{aligned}}$

并应用归纳假设

${\begin{array}{rl}&={\bigl (}\sum _{1\leq j\leq n}a_{j}b_{j}{\bigr )}^{2}+\sum _{1\leq j\leq n}{b_{j}}^{2}{a_{n+1}}^{2}+\sum _{1\leq j\leq n}{a_{j}}^{2}{b_{n+1}}^{2}+{a_{n+1}}^{2}{b_{n+1}}^{2}\\&\qquad -{\bigl [}\sum _{1\leq k\leq n}{a_{k}}^{2}{b_{n+1}}^{2}-2\sum _{1\leq k\leq n}a_{k}b_{n+1}a_{n+1}b_{k}+\sum _{1\leq k\leq n}{a_{n+1}}^{2}{b_{k}}^{2}{\bigr ]}\\&={\bigl (}\sum _{1\leq j\leq n}a_{j}b_{j}{\bigr )}^{2}+2{\bigl (}\sum _{1\leq k\leq n}a_{k}b_{n+1}a_{n+1}b_{k}{\bigr )}+{a_{n+1}}^{2}{b_{n+1}}^{2}\\&={\bigl [}{\bigl (}\sum _{1\leq j\leq n}a_{j}b_{j}{\bigr )}+a_{n+1}b_{n+1}{\bigr ]}^{2}\end{array}}$

以推导出左边。

参考资料

• O'Hanian, Hans (1985), Physics, vol. 1, W. W. Norton
• Ivanoff, V. F. (proposer); Esty, T. C. (solver) (February 1933), "Problem 3529", American Mathematical Monthly, 39 (2): 118