我们已经将第一部分关于解集的结果翻译成几何术语,以便深入了解这些解集的外观。但我们必须注意不要被我们自己的术语所误导;将
的子集形式标记为
和
作为“直线”和“平面”并不能使它们像我们以前经验中的直线和平面一样。相反,我们必须确保这些名称适合这些集合。虽然我们无法证明这些集合满足我们的直觉——我们无法证明关于直觉的任何东西——在本节中,我们将观察到从
和
熟悉的结论,当推广到任意
时,支持直线是直的,平面是平坦的这一观点。具体来说,我们将看到如何在它们生成的“平面”中进行欧几里得几何,方法是给出两个
向量之间角度的定义。
- 定义 2.1
向量
的长度 为此。

我们可以使用该定义来推导出两个向量之间角度的公式。为了得到一个要做什么的模型,考虑
中的两个向量。
将它们置于规范位置,并在它们确定的平面上,考虑由
、
和
形成的三角形。
应用余弦定理,
,其中
是向量之间的夹角。展开两边

并简化。

在更高维度中,没有图片足以说明,但我们可以通过分析进行同样的论证。首先,分子形式很明显——它来自平方
、
等等的中间项。
- 定义 2.3
两个
个分量的实向量之间的 **点积**(或 **内积**,或 **标量积**)是其分量之间的线性组合。

请注意,两个向量的点积是一个实数,而不是一个向量,并且来自
的向量与来自
的向量的点积仅在
等于
时才定义。还需要注意点积与长度之间的关系:将向量与其自身点积得到其长度的平方
.
- 备注 2.4
该定义中的措辞允许其中一个或两个向量都是行向量而不是列向量。一些书籍要求第一个向量是行向量,第二个向量是列向量。我们不会那么严格。
仍然使用字母推理,但以图片为指导,我们使用下一个定理来论证由
,
和
形成的三角形位于
中由
和
生成的平面子集中。
- 定理 2.5(三角形不等式)
对于任何
,

当且仅当其中一个向量是另一个向量的非负标量倍数时,等式成立。
这个不等式是“两点之间直线最短”这一熟悉说法来源。
- 证明
(我们将使用一些尚未验证的点积代数性质,例如
以及
。参见问题 8。)所需不等式成立当且仅当其平方成立。

反过来,当且仅当将两边都乘以非负数
和
后得到的等式成立。

并重写为

是正确的。但将它分解为

表明这个结果是肯定正确的,因为它只是说明了向量
的长度的平方不为负数。
关于等式,它成立当且仅当
是
。检查
当且仅当一个向量是另一个向量的非负实数倍,很容易。
这个结果支持直觉,即即使在高维空间中,直线也是直的,平面也是平的。对于线性表面上的任意两点,连接它们的线段都包含在该表面中(这很容易从定义中检查出来)。但如果表面有弯曲,那么就会有捷径(这里以灰色显示,而从
到
的线段包含在表面中是实心的)。
因为三角不等式指出,在任何
中,两个端点之间最短的捷径就是连接它们的线段,线性表面没有这样的弯曲。
回到角测量的定义。三角不等式证明的核心是“
” 行。乍一看,读者可能会想知道是否有一些向量对以这种方式满足不等式:当
是一个很大的数,其绝对值大于右边的值,它是一个负的很大的数。下面的结果表明,不存在这样的向量对。
- 推论 2.6(柯西-施瓦茨不等式)
对于任何
,

当且仅当一个向量是另一个向量的标量倍时,等式成立。
- 证明
三角不等式的证明表明
,所以如果
为正或零,则我们完成了。如果
为负,则也成立。

等式条件见问题 9。
柯西-施瓦茨不等式确保我们下一个定义是有意义的,因为分数的绝对值小于或等于 1。
- 定义 2.7
两个非零向量
之间的夹角为

(零向量与任何其他向量之间的夹角定义为直角)。
因此,来自
的向量正交(或垂直)当且仅当它们的点积为零。
- 示例 2.8
这些向量是正交的。
|
|
箭头显示远离规范位置,但向量仍然是正交的。
- 示例 2.9
本节开头给出的
角公式是定义的特例。在这两个之间
夹角为

大约为
。请注意,这些向量不垂直。尽管
-平面似乎垂直于
-平面,但实际上,这两个平面只是在弱意义上才是这样,即每个平面中都有与另一个平面中所有向量都正交的向量。每个平面中并非所有向量都与另一个平面中所有向量正交。
- 建议所有读者完成此练习。
- 建议所有读者完成此练习。
- 建议所有读者完成此练习。
- 问题 4
求
的值,使得这两个向量垂直。

- 问题 5
描述在
中与该向量正交的向量的集合。

- 建议所有读者完成此练习。
- 问题 6
- 求
中单位正方形的对角线与其中一条轴的夹角。 - 求
中单位立方体的对角线与其中一条轴的夹角。 - 求
中单位立方体的对角线与其中一条轴的夹角。 - 当
趋于
时,
中单位立方体的对角线与其中一条轴的夹角的极限是多少?
- 建议所有读者完成此练习。
- 问题 8
描述点积的代数性质。
- 向量的点积对加法是否右分配律:
? - 向量的点积对加法是否左分配律(对加法)?
- 向量的点积是否满足交换律?
- 向量的点积是否满足结合律?
- 向量点积与标量乘法如何交互?
与往常一样,任何断言必须以证明或例子为依据。
- 建议所有读者完成此练习。
- 问题 11
除了零向量,还有其他长度为零的向量吗?(如果“是”,请给出例子。如果“否”,请证明。)
- 建议所有读者完成此练习。
- 建议所有读者完成此练习。
- 问题 15
长度为 1 的向量
被称为单位向量。证明两个单位向量的点积的绝对值小于或等于 1。 "小于" 可能吗?"等于" 可能吗?
- 问题 16
证明 
- 问题 18
是否
?如果成立,它将推广三角不等式。
- 问题 19
柯西-施瓦茨不等式中两边之间的比率是多少?
- 问题 21
描述
中两个向量之间的角度。
- 问题 22
给出一个简单的充要条件来确定两个向量之间的角度是锐角、直角还是钝角。
- 建议所有读者完成此练习。
- 问题 25
证明如果一个向量垂直于另外两个向量中的每一个,那么它就垂直于它们生成的平面上的每个向量。(备注。它们可以生成一个退化的平面——一条线或一个点——但该陈述仍然成立。)
- 问题 26
证明,其中
是非零向量,向量

平分它们之间的角度。在
中说明。
- 建议所有读者完成此练习。
- 建议所有读者完成此练习。
- 问题 31
首先证明拉格朗日恒等式,然后验证柯西-施瓦茨不等式

然后注意到最后一项是正的。(回忆一下意思

和

的
符号。)此结果比柯西-施瓦茨不等式有所改进,因为它给出了两边差值的公式。在
中解释该差值。
解决方案
- O'Hanian, Hans (1985), Physics, vol. 1, W. W. Norton
- Ivanoff, V. F. (proposer); Esty, T. C. (solver) (1933), "Problem 3529", American Mathematical Monthly, 39 (2): 118
- Pólya, G. (1954), Mathematics and Plausible Reasoning: Volume II Patterns of Plausible Inference, Princeton University Press