线性代数/长度和角度测量

我们已经将第一部分关于解集的结果翻译成几何术语，以便深入了解这些解集的外观。但我们必须注意不要被我们自己的术语所误导；将 $\mathbb {R} ^{k}$ 的子集形式标记为 $\{{\vec {p}}+t{\vec {v}}\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}$ 和 $\{{\vec {p}}+t{\vec {v}}+s{\vec {w}}\,{\big |}\,t,s\in \mathbb {R} \}$ 作为“直线”和“平面”并不能使它们像我们以前经验中的直线和平面一样。相反，我们必须确保这些名称适合这些集合。虽然我们无法证明这些集合满足我们的直觉——我们无法证明关于直觉的任何东西——在本节中，我们将观察到从 $\mathbb {R} ^{2}$ 和 $\mathbb {R} ^{3}$ 熟悉的结论，当推广到任意 $\mathbb {R} ^{k}$ 时，支持直线是直的，平面是平坦的这一观点。具体来说，我们将看到如何在它们生成的“平面”中进行欧几里得几何，方法是给出两个 $\mathbb {R} ^{n}$ 向量之间角度的定义。

定义 2.1

向量 ${\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 的长度 为此。

$|{\vec {v}}\,|={\sqrt {v_{1}^{2}+\cdots +v_{n}^{2}}}$

备注 2.2

这是勾股定理的自然推广。一个经典的讨论见 (Pólya 1954).

我们可以使用该定义来推导出两个向量之间角度的公式。为了得到一个要做什么的模型，考虑 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的两个向量。

将它们置于规范位置，并在它们确定的平面上，考虑由 ${\vec {u}}$、${\vec {v}}$ 和 ${\vec {u}}-{\vec {v}}$ 形成的三角形。

应用余弦定理，$|{\vec {u}}-{\vec {v}}\,|^{2}=|{\vec {u}}\,|^{2}+|{\vec {v}}\,|^{2}-2\,|{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|\cos \theta$，其中 $\theta$ 是向量之间的夹角。展开两边

$(u_{1}-v_{1})^{2}+(u_{2}-v_{2})^{2}+(u_{3}-v_{3})^{2}$

$=(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2})+(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2})-2\,|{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|\cos \theta$

并简化。

$\theta =\arccos(\,{\frac {u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}}{|{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|}}\,)$

在更高维度中，没有图片足以说明，但我们可以通过分析进行同样的论证。首先，分子形式很明显——它来自平方 $(u_{1}-v_{1})^{2}$、$(u_{2}-v_{2})^{2}$ 等等的中间项。

定义 2.3

两个 $n$ 个分量的实向量之间的 **点积**（或 **内积**，或 **标量积**）是其分量之间的线性组合。

${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+\cdots +u_{n}v_{n}$

请注意，两个向量的点积是一个实数，而不是一个向量，并且来自 $\mathbb {R} ^{n}$ 的向量与来自 $\mathbb {R} ^{m}$ 的向量的点积仅在 $n$ 等于 $m$ 时才定义。还需要注意点积与长度之间的关系：将向量与其自身点积得到其长度的平方 ${\vec {u}}\cdot {\vec {u}}=u_{1}u_{1}+\cdots +u_{n}u_{n}=|{\vec {u}}\,|^{2}$.

备注 2.4

该定义中的措辞允许其中一个或两个向量都是行向量而不是列向量。一些书籍要求第一个向量是行向量，第二个向量是列向量。我们不会那么严格。

仍然使用字母推理，但以图片为指导，我们使用下一个定理来论证由 ${\vec {u}}$，${\vec {v}}$ 和 ${\vec {u}}-{\vec {v}}$ 形成的三角形位于 $\mathbb {R} ^{n}$ 中由 ${\vec {u}}$ 和 ${\vec {v}}$ 生成的平面子集中。

定理 2.5（三角形不等式）

对于任何 ${\vec {u}},{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$，

$|{\vec {u}}+{\vec {v}}\,|\leq |{\vec {u}}\,|+|{\vec {v}}\,|$

当且仅当其中一个向量是另一个向量的非负标量倍数时，等式成立。

这个不等式是“两点之间直线最短”这一熟悉说法来源。

证明

(我们将使用一些尚未验证的点积代数性质，例如${\vec {u}}\cdot ({\vec {a}}+{\vec {b}})={\vec {u}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {u}}\cdot {\vec {b}}$ 以及 ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}={\vec {v}}\cdot {\vec {u}}$。参见问题 8。）所需不等式成立当且仅当其平方成立。

${\begin{array}{rl}|{\vec {u}}+{\vec {v}}\,|^{2}&\leq (\,|{\vec {u}}\,|+|{\vec {v}}\,|\,)^{2}\\(\,{\vec {u}}+{\vec {v}}\,)\cdot (\,{\vec {u}}+{\vec {v}}\,)&\leq |{\vec {u}}\,|^{2}+2\,|{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|+|{\vec {v}}\,|^{2}\\{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}+{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {u}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}&\leq {\vec {u}}\cdot {\vec {u}}+2\,|{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|+{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}\\2\,{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}&\leq 2\,|{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|\end{array}}$

反过来，当且仅当将两边都乘以非负数 $|{\vec {u}}\,|$ 和 $|{\vec {v}}\,|$ 后得到的等式成立。

$2\,(\,|{\vec {v}}\,|\,{\vec {u}}\,)\cdot (\,|{\vec {u}}\,|\,{\vec {v}}\,)\leq 2\,|{\vec {u}}\,|^{2}\,|{\vec {v}}\,|^{2}$

并重写为

$0\leq |{\vec {u}}\,|^{2}\,|{\vec {v}}\,|^{2}-2\,(\,|{\vec {v}}\,|\,{\vec {u}}\,)\cdot (\,|{\vec {u}}\,|\,{\vec {v}}\,)+|{\vec {u}}\,|^{2}\,|{\vec {v}}\,|^{2}$

是正确的。但将它分解为

$0\leq (\,|{\vec {u}}\,|\,{\vec {v}}-|{\vec {v}}\,|\,{\vec {u}}\,)\cdot (\,|{\vec {u}}\,|\,{\vec {v}}-|{\vec {v}}\,|\,{\vec {u}}\,)$

表明这个结果是肯定正确的，因为它只是说明了向量 $|{\vec {u}}\,|\,{\vec {v}}-|{\vec {v}}\,|\,{\vec {u}}\,$ 的长度的平方不为负数。

关于等式，它成立当且仅当 $|{\vec {u}}\,|\,{\vec {v}}-|{\vec {v}}\,|\,{\vec {u}}$ 是 ${\vec {0}}$。检查 $|{\vec {u}}\,|\,{\vec {v}}=|{\vec {v}}\,|\,{\vec {u}}\,$ 当且仅当一个向量是另一个向量的非负实数倍，很容易。

这个结果支持直觉，即即使在高维空间中，直线也是直的，平面也是平的。对于线性表面上的任意两点，连接它们的线段都包含在该表面中（这很容易从定义中检查出来）。但如果表面有弯曲，那么就会有捷径（这里以灰色显示，而从 $P$ 到 $Q$ 的线段包含在表面中是实心的）。

因为三角不等式指出，在任何 $\mathbb {R} ^{n}$ 中，两个端点之间最短的捷径就是连接它们的线段，线性表面没有这样的弯曲。

回到角测量的定义。三角不等式证明的核心是“${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\leq |{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|$” 行。乍一看，读者可能会想知道是否有一些向量对以这种方式满足不等式：当 ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}$ 是一个很大的数，其绝对值大于右边的值，它是一个负的很大的数。下面的结果表明，不存在这样的向量对。

推论 2.6（柯西-施瓦茨不等式）

对于任何 ${\vec {u}},{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$，

$|\,{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\,|\leq |\,{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|$

当且仅当一个向量是另一个向量的标量倍时，等式成立。

证明

三角不等式的证明表明${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\leq |{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|$，所以如果${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}$为正或零，则我们完成了。如果${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}$为负，则也成立。

$|\,{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\,|=-(\,{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\,)=(-{\vec {u}}\,)\cdot {\vec {v}}\leq |-{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|=|{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|$

等式条件见问题 9。

柯西-施瓦茨不等式确保我们下一个定义是有意义的，因为分数的绝对值小于或等于 1。

定义 2.7

两个非零向量${\vec {u}},{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$之间的夹角为

$\theta =\arccos(\,{\frac {{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}}{|{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|}}\,)$

（零向量与任何其他向量之间的夹角定义为直角）。

因此，来自$\mathbb {R} ^{n}$的向量正交（或垂直）当且仅当它们的点积为零。

示例 2.8

这些向量是正交的。

${\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}=0$

箭头显示远离规范位置，但向量仍然是正交的。

示例 2.9

本节开头给出的$\mathbb {R} ^{3}$角公式是定义的特例。在这两个之间

夹角为

$\arccos({\frac {(1)(0)+(1)(3)+(0)(2)}{{\sqrt {1^{2}+1^{2}+0^{2}}}{\sqrt {0^{2}+3^{2}+2^{2}}}}})=\arccos({\frac {3}{{\sqrt {2}}{\sqrt {13}}}})$

大约为 $0.94{\text{radians}}$。请注意，这些向量不垂直。尽管 $yz$-平面似乎垂直于 $xy$-平面，但实际上，这两个平面只是在弱意义上才是这样，即每个平面中都有与另一个平面中所有向量都正交的向量。每个平面中并非所有向量都与另一个平面中所有向量正交。

练习

建议所有读者完成此练习。

问题 1

求每个向量的长度。

1. ${\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$
5. ${\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\0\end{pmatrix}}$

建议所有读者完成此练习。

问题 2

如果定义，求每两个向量之间的夹角。

1. ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\4\\1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\\-1\end{pmatrix}}$

建议所有读者完成此练习。

问题 3

在日德兰海战前演习中，英国战列巡洋舰狮子号的移动路线如下（以海里为单位）：$1.2$ 海里向北，$6.1$ 海里以$38$ 度东偏南方向，$4.0$ 海里以$89$ 度东偏北方向，以及$6.5$ 海里以$31$ 度东偏北方向。求起始位置和结束位置之间的距离 (O'Hanian 1985).

问题 4

求$k$的值，使得这两个向量垂直。

${\begin{pmatrix}k\\1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}$

问题 5

描述在$\mathbb {R} ^{3}$中与该向量正交的向量的集合。

${\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}}$

建议所有读者完成此练习。

问题 6

1. 求$\mathbb {R} ^{2}$中单位正方形的对角线与其中一条轴的夹角。
2. 求$\mathbb {R} ^{3}$中单位立方体的对角线与其中一条轴的夹角。
3. 求$\mathbb {R} ^{n}$中单位立方体的对角线与其中一条轴的夹角。
4. 当$n$趋于$\infty$时，$\mathbb {R} ^{n}$中单位立方体的对角线与其中一条轴的夹角的极限是多少？

问题 7

是否有任何向量与其自身垂直？

建议所有读者完成此练习。

问题 8

描述点积的代数性质。

1. 向量的点积对加法是否右分配律：$({\vec {u}}+{\vec {v}})\cdot {\vec {w}}={\vec {u}}\cdot {\vec {w}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {w}}$?
2. 向量的点积对加法是否左分配律（对加法）？
3. 向量的点积是否满足交换律？
4. 向量的点积是否满足结合律？
5. 向量点积与标量乘法如何交互？

与往常一样，任何断言必须以证明或例子为依据。

问题 9

验证 推论 2.6（柯西-施瓦茨不等式）中的等式条件。

1. 证明如果 ${\vec {u}}$ 是 ${\vec {v}}$ 的负标量倍数，那么 ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}$ 和 ${\vec {v}}\cdot {\vec {u}}$ 小于或等于零。
2. 证明 $|{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}|=|{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|$ 当且仅当其中一个向量是另一个向量的标量倍数。

问题 10

假设 ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}={\vec {u}}\cdot {\vec {w}}$ 并且 ${\vec {u}}\neq {\vec {0}}$。那么 ${\vec {v}}={\vec {w}}$ 一定成立吗？

建议所有读者完成此练习。

问题 11

除了零向量，还有其他长度为零的向量吗？（如果“是”，请给出例子。如果“否”，请证明。）

建议所有读者完成此练习。

问题 12

在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中连接 $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$ 的线段的中点。将结果推广到 $\mathbb {R} ^{n}$。

问题 13

证明如果 ${\vec {v}}\neq {\vec {0}}$，那么 ${\vec {v}}/|{\vec {v}}\,|$ 的长度为 1。如果 ${\vec {v}}={\vec {0}}$ 呢？

问题 14

证明如果 $r\geq 0$，那么 $r{\vec {v}}$ 的长度是 $r$ 倍于 ${\vec {v}}$ 的长度。如果 $r<0$ 呢？

建议所有读者完成此练习。

问题 15

长度为 1 的向量 ${\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 被称为单位向量。证明两个单位向量的点积的绝对值小于或等于 1。 "小于" 可能吗？"等于" 可能吗？

问题 16

证明 $|{\vec {u}}+{\vec {v}}\,|^{2}+|{\vec {u}}-{\vec {v}}\,|^{2}=2|{\vec {u}}\,|^{2}+2|{\vec {v}}\,|^{2}.$

问题 17

证明如果 ${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=0$ 对所有 ${\vec {y}}$ 成立，那么 ${\vec {x}}={\vec {0}}$。

问题 18

是否 $|{\vec {u}}_{1}+\cdots +{\vec {u}}_{n}|\leq |{\vec {u}}_{1}|+\cdots +|{\vec {u}}_{n}|$？如果成立，它将推广三角不等式。

问题 19

柯西-施瓦茨不等式中两边之间的比率是多少？

问题 20

为什么零向量被定义为垂直于每个向量？

问题 21

描述$\mathbb {R} ^{1}$中两个向量之间的角度。

问题 22

给出一个简单的充要条件来确定两个向量之间的角度是锐角、直角还是钝角。

建议所有读者完成此练习。

问题 23

将毕达哥拉斯定理的逆定理推广到$\mathbb {R} ^{n}$，如果${\vec {u}}$和${\vec {v}}$是垂直的，那么$|{\vec {u}}+{\vec {v}}\,|^{2}=|{\vec {u}}\,|^{2}+|{\vec {v}}\,|^{2}$.

问题 24

证明$|{\vec {u}}\,|=|{\vec {v}}\,|$当且仅当${\vec {u}}+{\vec {v}}$和${\vec {u}}-{\vec {v}}$是垂直的。在$\mathbb {R} ^{2}$中举一个例子。

问题 25

证明如果一个向量垂直于另外两个向量中的每一个，那么它就垂直于它们生成的平面上的每个向量。（备注。它们可以生成一个退化的平面——一条线或一个点——但该陈述仍然成立。）

问题 26

证明，其中${\vec {u}},{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$是非零向量，向量

${\frac {\vec {u}}{|{\vec {u}}\,|}}+{\frac {\vec {v}}{|{\vec {v}}\,|}}$

平分它们之间的角度。在$\mathbb {R} ^{2}$中说明。

问题 27

验证角的定义在量纲上是否正确：(1) 如果$k>0$，则$k{\vec {u}}$和${\vec {v}}$之间的夹角的余弦等于${\vec {u}}$和${\vec {v}}$之间的夹角的余弦，(2) 如果$k<0$，则$k{\vec {u}}$和${\vec {v}}$之间的夹角的余弦是${\vec {u}}$和${\vec {v}}$之间的夹角的余弦的负数。

建议所有读者完成此练习。

问题 28

证明内积运算为线性：对于${\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 和 $k,m\in \mathbb {R}$，${\vec {u}}\cdot (k{\vec {v}}+m{\vec {w}})=k({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})+m({\vec {u}}\cdot {\vec {w}})$.

建议所有读者完成此练习。

问题 29

两个正实数 $x,y$ 的几何平均数是 ${\sqrt {xy}}$。它类似于算术平均数 $(x+y)/2$。使用柯西-施瓦茨不等式证明任意 $x,y\in \mathbb {R}$ 的几何平均数小于或等于算术平均数。

? 问题 30

一艘船以速度和方向 ${\vec {v}}_{1}$ 航行；风明显地（从桅杆上的风向标判断）以向量 ${\vec {a}}$ 的方向吹；在将船的速度和方向从 ${\vec {v}}_{1}$ 改变为 ${\vec {v}}_{2}$ 后，风向为向量 ${\vec {b}}$ 的方向。

求风的速度向量。（Ivanoff & Esty 1933）。

问题 31

首先证明拉格朗日恒等式，然后验证柯西-施瓦茨不等式

${\displaystyle \left(\sum _{1\leq j\leq n}a_{j}b_{j}\right)^{2}=\left(\sum _{1\leq j\leq n}a_{j}^{2}\right)\left(\sum _{1\leq j\leq n}b_{j}^{2}\right)-\sum _{1\leq k$

然后注意到最后一项是正的。（回忆一下意思

$\sum _{1\leq j\leq n}a_{j}b_{j}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}$

和

$\sum _{1\leq j\leq n}{a_{j}}^{2}={a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+\cdots +{a_{n}}^{2}$

的 $\Sigma$ 符号。）此结果比柯西-施瓦茨不等式有所改进，因为它给出了两边差值的公式。在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中解释该差值。

解决方案

参考文献

• O'Hanian, Hans (1985), Physics, vol. 1, W. W. Norton
• Ivanoff, V. F. (proposer); Esty, T. C. (solver) (1933), "Problem 3529", American Mathematical Monthly, 39 (2): 118 {{citation}}: 未知参数 |month= 被忽略 (帮助)
• Pólya, G. (1954), Mathematics and Plausible Reasoning: Volume II Patterns of Plausible Inference, Princeton University Press