线性代数/n维空间的线性几何

对于已经了解向量元素的读者（在微积分或物理学中），本节是可选的复习。然而，后面的工作将参考本材料，因此如果它不是复习，则不是可选的。

在第一节中，我们不得不花了一些功夫来证明只有三种类型的解集——单点集、空集和无限集。但在有两个方程和两个未知数的特殊情况下，这很容易理解。将每个两个未知数的方程在平面上绘制为一条直线，然后这两条直线可能有一个唯一的交点，平行，或为同一条直线。

唯一解	无解	无穷多 解
${\begin{array}{*{2}{rc}r}\scriptstyle 3x&\scriptstyle +&\scriptstyle 2y&\scriptstyle =&\scriptstyle 7\\[-5pt]\scriptstyle x&\scriptstyle -&\scriptstyle y&\scriptstyle =&\scriptstyle -1\end{array}}$	${\begin{array}{*{2}{rc}r}\scriptstyle 3x&\scriptstyle +&\scriptstyle 2y&\scriptstyle =&\scriptstyle 7\\[-5pt]\scriptstyle 3x&\scriptstyle +&\scriptstyle 2y&\scriptstyle =&\scriptstyle 4\end{array}}$	$\scriptstyle {\begin{array}{*{2}{rc}r}\scriptstyle 3x&\scriptstyle +&\scriptstyle 2y&\scriptstyle =&\scriptstyle 7\\[-5pt]\scriptstyle 6x&\scriptstyle +&\scriptstyle 4y&\scriptstyle =&\scriptstyle 14\end{array}}$

这些图片并没有证明上一节的结果，这些结果适用于任意数量的线性方程和任意数量的未知数，但它们确实有助于我们理解这些结果。本节将阐述一些必要的概念，以便我们能够用几何方式表达上一节和未来的一些章节中的结果。特别是，二维情况我们都很熟悉，但要扩展到有两个以上未知数的系统，我们需要一些更高维的几何。