线性代数/矩阵乘法/解答

A=(285)

解答

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问题 1

计算或声明“未定义”。

1. ${\begin{pmatrix}3&1\\-4&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&5\\0&0.5\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&1&-1\\4&0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&-1&-1\\3&1&1\\3&1&1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}2&-7\\7&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&5\\-1&1&1\\3&8&4\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}5&2\\3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&2\\3&-5\end{pmatrix}}$

答案

1. ${\begin{pmatrix}0&15.5\\0&-19\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2&-1&-1\\17&-1&-1\end{pmatrix}}$
3. 未定义。
4. ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

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问题 2

其中

$A={\begin{pmatrix}1&-1\\2&0\\\end{pmatrix}}\quad B={\begin{pmatrix}5&2\\4&4\\\end{pmatrix}}\quad C={\begin{pmatrix}-2&3\\-4&1\\\end{pmatrix}}$

计算或声明“未定义”。

1. $AB$
2. $(AB)C$
3. $BC$
4. $A(BC)$

答案

1. ${\begin{pmatrix}1&-2\\10&4\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&-2\\10&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2&3\\-4&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6&1\\-36&34\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}-18&17\\-24&16\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}1&-1\\2&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-18&17\\-24&16\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6&1\\-36&34\end{pmatrix}}$

问题 3

哪些乘积定义了？

1. $3\!\times \!2$ 乘以 $2\!\times \!3$
2. $2\!\times \!3$ 乘以 $3\!\times \!2$
3. $2\!\times \!2$ 乘以 $3\!\times \!3$
4. $3\!\times \!3$ 乘以 $2\!\times \!2$

答案

1. 是。
2. 是。
3. 否。
4. 否。

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问题 4

给出乘积的大小或说明“未定义”。

1. a $2\!\times \!3$ 矩阵乘以一个 $3\!\times \!1$ 矩阵
2. a $1\!\times \!12$ 矩阵乘以一个 $12\!\times \!1$ 矩阵
3. 一个 $2\!\times \!3$ 矩阵乘以一个 $2\!\times \!1$ 矩阵
4. 一个 $2\!\times \!2$ 矩阵乘以一个 $2\!\times \!2$ 矩阵

答案

1. $2\!\times \!1$
2. $1\!\times \!1$
3. 未定义。
4. $2\!\times \!2$

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问题 5

求解从以下方程组开始，并进行变量变换（即替换）后的方程组

${\begin{array}{*{3}{rc}r}h_{1,1}x_{1}&+&h_{1,2}x_{2}&+&h_{1,3}x_{3}&=&d_{1}\\h_{2,1}x_{1}&+&h_{2,2}x_{2}&+&h_{2,3}x_{3}&=&d_{2}\end{array}}$

并进行以下变量变换（即替换）。

${\begin{array}{*{2}{rc}r}x_{1}&=&g_{1,1}y_{1}&+&g_{1,2}y_{2}\\x_{2}&=&g_{2,1}y_{1}&+&g_{2,2}y_{2}\\x_{3}&=&g_{3,1}y_{1}&+&g_{3,2}y_{2}\end{array}}$

答案

我们有

${\begin{array}{*{3}{rc}r}h_{1,1}\cdot (g_{1,1}y_{1}+g_{1,2}y_{2})&+&h_{1,2}\cdot (g_{2,1}y_{1}+g_{2,2}y_{2})&+&h_{1,3}\cdot (g_{3,1}y_{1}+g_{3,2}y_{2})&=&d_{1}\\h_{2,1}\cdot (g_{1,1}y_{1}+g_{1,2}y_{2})&+&h_{2,2}\cdot (g_{2,1}y_{1}+g_{2,2}y_{2})&+&h_{2,3}\cdot (g_{3,1}y_{1}+g_{3,2}y_{2})&=&d_{2}\end{array}}$

展开并根据$y$进行重组后，得到以下结果。

${\begin{array}{*{2}{rc}r}(h_{1,1}g_{1,1}+h_{1,2}g_{2,1}+h_{1,3}g_{3,1})y_{1}&+&(h_{1,1}g_{1,2}+h_{1,2}g_{2,2}+h_{1,3}g_{3,2})y_{2}&=&d_{1}\\(h_{2,1}g_{1,1}+h_{2,2}g_{2,1}+h_{2,3}g_{3,1})y_{1}&+&(h_{2,1}g_{1,2}+h_{2,2}g_{2,2}+h_{2,3}g_{3,2})y_{2}&=&d_{2}\end{array}}$

初始系统和用于替换的系统可以用矩阵语言表示。

${\begin{pmatrix}h_{1,1}&h_{1,2}&h_{1,3}\\h_{2,1}&h_{2,2}&h_{2,3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}=H{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d_{1}\\d_{2}\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}g_{1,1}&g_{1,2}\\g_{2,1}&g_{2,2}\\g_{3,1}&g_{3,2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}=G{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}$

这样，代入结果为 ${\vec {d}}=H{\vec {x}}=H(G{\vec {y}})=(HG){\vec {y}}$.

问题 6

如 定义 2.3 所示，矩阵乘法运算概括了点积。一个 $1\!\times \!n$ 行向量和一个 $n\!\times \!1$ 列向量的点积是否与它们的矩阵乘积相同？

答案

从技术上讲，不是。点积运算产生一个标量，而矩阵乘积产生一个 $1\!\times \!1$ 矩阵。但是，我们通常会忽略这种区别。

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问题 7

用 $B,B$ 关于 ${\mathcal {P}}_{n}$ 的导数映射，其中 $B$ 是自然基 $\langle 1,x,\ldots ,x^{n}\rangle$。证明这个矩阵与自身的乘积是定义的；它所代表的映射是什么？

答案

对 $d/dx$ 对 $B$ 的作用是 $1\mapsto 0$, $x\mapsto 1$, $x^{2}\mapsto 2x$, ..., 因此这是它的 $(n+1)\!\times \!(n+1)$ 矩阵表示。

${\rm {Rep}}_{B,B}({\frac {d}{dx}})={\begin{pmatrix}0&1&0&&0\\0&0&2&&0\\&&&\ddots \\0&0&0&&n\\0&0&0&&0\end{pmatrix}}$

由于该矩阵是方阵，因此可以对其自身进行矩阵乘法。

${\begin{pmatrix}0&1&0&&0\\0&0&2&&0\\&&&\ddots \\0&0&0&&n\\0&0&0&&0\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}0&0&2&0&&0\\0&0&0&6&&0\\&&&&\ddots &\\0&0&0&&&n(n-1)\\0&0&0&&&0\\0&0&0&&&0\end{pmatrix}}$

该矩阵所代表的映射是复合映射

$p\;{\stackrel {\frac {d}{dx}}{\longmapsto }}\;{\frac {d\,p}{dx}}\;{\stackrel {\frac {d}{dx}}{\longmapsto }}\;{\frac {d^{2}\,p}{dx^{2}}}$

即二阶导数运算。

问题 8

证明 $\mathbb {R} ^{1}$ 上的线性变换的复合运算满足交换律。这是否适用于任何一维空间？

答案

对于所有一维空间都成立。令 $f$ 和 $g$ 是一个一维空间的变换。我们必须证明 $g\circ f\,({\vec {v}})=f\circ g\,({\vec {v}})$ 对于所有向量。固定一个空间的基 $B$ ，然后变换可以用 $1\!\times \!1$ 矩阵表示。

$F={\rm {Rep}}_{B,B}(f)={\begin{pmatrix}f_{1,1}\end{pmatrix}}\qquad G={\rm {Rep}}_{B,B}(g)={\begin{pmatrix}g_{1,1}\end{pmatrix}}$

因此，合成可以用 $GF$ 和 $FG$ 表示。

$GF={\rm {Rep}}_{B,B}(g\circ f)={\begin{pmatrix}g_{1,1}f_{1,1}\end{pmatrix}}\qquad FG={\rm {Rep}}_{B,B}(f\circ g)={\begin{pmatrix}f_{1,1}g_{1,1}\end{pmatrix}}$

这两个矩阵相等，因此合成对空间中的每个向量具有相同的效果。

问题 9

为什么矩阵乘法不定义为逐元素乘法？那样会更容易，而且也满足交换律。

答案

它不会代表线性映射的合成；定理 2.6 将会失效。

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问题 10

1. 证明 $H^{p}H^{q}=H^{p+q}$ 和 $(H^{p})^{q}=H^{pq}$ 对于正整数 $p,q$.
2. 证明对于任何正整数$p$和标量$r\in \mathbb {R}$，$(rH)^{p}=r^{p}\cdot H^{p}$。

答案

每个结论都容易从相关的映射事实推导出。例如，$p$次变换$h$，继$q$次变换之后，仅仅是$p+q$次变换。

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问题 11

1. 矩阵乘法如何与标量乘法交互：$r(GH)=(rG)H$ 是否成立？$G(rH)=r(GH)$ 是否成立？
2. 矩阵乘法如何与线性组合交互：$F(rG+sH)=r(FG)+s(FH)$ 是否成立？$(rF+sG)H=rFH+sGH$ 是否成立？

答案

虽然这些结论可以通过遍历索引来验证，但最好用它们所代表的映射来理解。也就是说，固定空间和基，使矩阵代表线性映射$f,g,h$。

1. 是的，我们既有 $r\cdot (g\circ h)\,({\vec {v}})=r\cdot g(\,h({\vec {v}})\,)=(r\cdot g)\circ h\,({\vec {v}})$ 以及 $g\circ (r\cdot h)\,({\vec {v}})=g(\,r\cdot h({\vec {v}})\,)=r\cdot g(h({\vec {v}}))=r\cdot (g\circ h)\,({\vec {v}})$（第二个等式成立是因为 $g$ 的线性）。
2. 两个答案都是肯定的。首先，$f\circ (rg+sh)$ 和 $r\cdot (f\circ g)+s\cdot (f\circ h)$ 都将 ${\vec {v}}$ 映射到 $r\cdot f(g({\vec {v}}))+s\cdot f(h({\vec {v}}))$；计算与上一项类似（使用 $f$ 的线性进行第一个）。对于另一个，$(rf+sg)\circ h$ 和 $r\cdot (f\circ h)+s\cdot (g\circ h)$ 都将 ${\vec {v}}$ 映射到 $r\cdot f(h({\vec {v}}))+s\cdot g(h({\vec {v}}))$。

问题 12

我们可以询问矩阵乘法运算如何与转置运算相互作用。

1. 证明 ${{(GH)}^{\rm {trans}}}={{H}^{\rm {trans}}}{{G}^{\rm {trans}}}$.
2. 一个方阵是对称的，如果每个 $i,j$ 元素等于 $j,i$ 元素，也就是说，如果该矩阵等于其自身的转置。证明矩阵 $H{{H}^{\rm {trans}}}$ 和 ${{H}^{\rm {trans}}}H$ 是对称的。

答案

我们还没有看到转置操作的映射解释，所以我们将通过考虑元素来验证这些。

1. 的第 $i,j$ 项为 ${{GH}^{\rm {trans}}}$ 的第 $j,i$ 项，即 $GH$ 的第 $j,i$ 项，也就是 $G$ 的第 $j$ 行和 $H$ 的第 $i$ 列的点积。 的第 $i,j$ 项为 ${{H}^{\rm {trans}}}{{G}^{\rm {trans}}}$ 的第 $i$ 行和 ${{G}^{\rm {trans}}}$ 的第 $j$ 列的点积，也就是 $H$ 的第 $i$ 列和 $G$ 的第 $j$ 行的点积。点积满足交换律，所以这两个结果是相等的。
2. 在前面的条目中，每个矩阵都等于其转置，例如，${{(H{{H}^{\rm {trans}}})}^{\rm {trans}}}={{{H}^{\rm {trans}}}^{\rm {trans}}}{{H}^{\rm {trans}}}=H{{H}^{\rm {trans}}}$.

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问题 13

在$\mathbb {R} ^{3}$ 中关于某个轴的向量旋转是一个线性映射。通过几何方式证明旋转不满足交换律来证明线性映射不满足交换律。

答案

考虑$r_{x},r_{y}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$，它们将所有向量$\pi /2$ 弧度逆时针旋转关于$x$ 和$y$ 轴（逆时针是指，当一个人的头部位于${\vec {e}}_{1}$ 或${\vec {e}}_{2}$，双脚位于原点，朝向原点看，旋转是逆时针的）。

首先旋转 $r_{x}$，然后旋转 $r_{y}$，与先旋转 $r_{y}$，然后旋转 $r_{x}$ 是不同的。特别地，$r_{x}({\vec {e}}_{3})=-{\vec {e}}_{2}$，所以 $r_{y}\circ r_{x}({\vec {e}}_{3})=-{\vec {e}}_{2}$，而 $r_{y}({\vec {e}}_{3})={\vec {e}}_{1}$，所以 $r_{x}\circ r_{y}({\vec {e}}_{3})={\vec {e}}_{1}$，因此这些映射不满足交换律。

问题 14

在 定理 2.12 的证明中使用了一些映射。它们的定义域和值域是什么？

答案

这无关紧要（只要空间具有适当的维度）。

For associativity, suppose that $F$ is $m\!\times \!r$, that $G$ is $r\!\times \!n$, and that $H$ is $n\!\times \!k$. We can take any $r$ dimensional space, any $m$ dimensional space, any $n$ dimensional space, and any $k$ dimensional space— for instance, $\mathbb {R} ^{r}$, $\mathbb {R} ^{m}$, $\mathbb {R} ^{n}$, and $\mathbb {R} ^{k}$ will do. We can take any bases $A$, $B$, $C$, and $D$, for those spaces. Then, with respect to $C,D$ the matrix $H$ represents a linear map $h$, with respect to $B,C$ the matrix $G$ represents a $g$, and with respect to $A,B$ the matrix $F$ represents an $f$. We can use those maps in the proof.

后半部分的证明类似，只是 $G$ 和 $H$ 被加起来，因此我们必须将它们视为具有相同定义域和值域的映射。

问题 15

矩阵秩如何与矩阵乘法交互？

1. 秩为 $n$ 的矩阵的乘积的秩可以小于 $n$ 吗？大于吗？
2. 证明两个矩阵乘积的秩小于或等于每个因子的秩的最小值。

答案

1. 秩为$n$的矩阵的乘积，其秩可以小于或等于$n$，但不能大于$n$。为了说明秩可以下降，考虑映射$\pi _{x},\pi _{y}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$，分别投影到坐标轴上。每个映射的秩都是1，但它们的复合$\pi _{x}\circ \pi _{y}$，即零映射，其秩为零。这可以通过以下方式转化为表示这些映射的矩阵。

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(\pi _{x})\cdot {\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(\pi _{y})={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$

   为了证明秩为 $n$ 的矩阵的乘积不可能具有大于 $n$ 的秩，我们可以应用映射结果，即线性相关集的像也是线性相关的。也就是说，如果 $h:V\to W$ 和 $g:W\to X$ 都具有秩 $n$，那么在 ${\mathcal {R}}(g\circ h)$ 中大小大于 $n$ 的集合是 $g$ 在 $W$ 中大小大于 $n$ 的集合的像，因此是线性相关的（因为 $h$ 的秩为 $n$）。现在，线性相关集的像是相关的，所以值域中大小大于 $n$ 的任何集合都是相关的。（顺便说一下，请注意 $g$ 的秩没有提到。请参见下一部分。）
2. 固定空间和基底，并考虑相关的线性映射 $f$ 和 $g$。回想一下，映射像的维数（映射的秩）小于或等于域的维数，并考虑箭头图。

   ${\begin{matrix}V&{\stackrel {f}{\longmapsto }}&{\mathcal {R}}(f)&{\stackrel {g}{\longmapsto }}&{\mathcal {R}}(g\circ f)\end{matrix}}$

   首先，图像 ${\mathcal {R}}(f)$ 的维数必须小于或等于图像 ${\mathcal {R}}(f)$ 的维数，根据前一句。另一方面，${\mathcal {R}}(f)$ 是 $g$ 定义域的子集，因此它的图像的维数小于或等于 $g$ 定义域的维数。结合这两点，复合函数的秩小于或等于两个秩中的最小值。矩阵事实立即得出结论。

问题 16

“与...交换”在 $n\!\times \!n$ 矩阵中是等价关系吗？

答案

“与...交换”关系是自反的和对称的。但是，它不是传递的：例如，对于

$G={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}\quad H={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\quad J={\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}$

$G$ 与 $H$ 交换，并且 $H$ 与 $J$ 交换，但 $G$ 不与 $J$ 交换。

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问题 17

(这将用于矩阵逆的练习。) 以下矩阵乘法的另一个性质，乍一看可能令人费解。

1. 证明投影 $\pi _{x},\pi _{y}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ 到 $x$ 轴和 $y$ 轴的复合函数是零映射，尽管两者本身都不是零映射。
2. 证明导数的复合$d^{2}/dx^{2},\,d^{3}/dx^{3}:{\mathcal {P}}_{4}\to {\mathcal {P}}_{4}$ 是零映射，尽管两者都不是零映射。
3. 给出表示第一个事实的矩阵方程。
4. 给出表示第二个事实的矩阵方程。

当两个东西相乘得到零，而两者都不是零时，它们被称为零因子。

答案

1. 这两者都是。

   ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi _{x}}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}x\\0\\0\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi _{y}}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi _{y}}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}0\\y\\0\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi _{x}}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

2. 这个复合是四次多项式空间上的五阶导数映射$d^{5}/dx^{5}$。
3. 关于自然基，

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{3},{\mathcal {E}}_{3}}(\pi _{x})={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\qquad {\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{3},{\mathcal {E}}_{3}}(\pi _{y})={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

   它们的乘积（无论顺序）都是零矩阵。
4. 其中$B=\langle 1,x,x^{2},x^{3},x^{4}\rangle$，

   ${\rm {Rep}}_{B,B}({\frac {d^{2}}{dx^{2}}})={\begin{pmatrix}0&0&2&0&0\\0&0&0&6&0\\0&0&0&0&12\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\qquad {\rm {Rep}}_{B,B}({\frac {d^{3}}{dx^{3}}})={\begin{pmatrix}0&0&0&6&0\\0&0&0&0&24\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$

   它们的乘积（无论顺序）都是零矩阵。

问题 18

证明对于方阵，$(S+T)(S-T)$ 不一定等于 $S^{2}-T^{2}$。

答案

注意 $(S+T)(S-T)=S^{2}-ST+TS-T^{2}$，所以一个合理的尝试是寻找不满足交换律的矩阵，使得 $-ST$ 和 $TS$ 不抵消：例如

$S={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}\quad T={\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}$

我们得到了我们想要的结论。

$(S+T)(S-T)={\begin{pmatrix}-56&-56\\-88&-88\end{pmatrix}}\qquad S^{2}-T^{2}={\begin{pmatrix}-60&-68\\-76&-84\end{pmatrix}}$

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问题 19

用任意基底 $B$ 表示恒等变换 ${\mbox{id}}:V\to V$。这是单位矩阵 $I$。证明这个矩阵在矩阵乘法中的作用与实数乘法中的数 $1$ 相似：$HI=IH=H$（对于所有定义了乘积的矩阵 $H$）。

答案

因为恒等映射作用于基底 $B$ 为 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{1}$，…，${\vec {\beta }}_{n}\mapsto {\vec {\beta }}_{n}$，它的表示如下。

${\begin{pmatrix}1&0&0&&0\\0&1&0&&0\\0&0&1&&0\\&&&\ddots \\0&0&0&&1\end{pmatrix}}$

问题的第二部分从定理 2.6 中可以明显看出。

问题 20

在实数代数中，二次方程最多有两个解。但在矩阵代数中并非如此。证明$2\!\times \!2$ 矩阵方程$T^{2}=I$ 有不止两个解，其中$I$ 是单位矩阵（该矩阵在$1,1$ 和$2,2$ 位置上是 1，其他位置是 0；参见问题 19）。

答案

以下是四个解。

$T={\begin{pmatrix}\pm 1&0\\0&\pm 1\end{pmatrix}}$

问题 21

1. 证明对于任意$2\!\times \!2$ 矩阵$T$，存在不全为$0$ 的标量$c_{0},\dots ,c_{4}$，使得组合$c_{4}T^{4}+c_{3}T^{3}+c_{2}T^{2}+c_{1}T+c_{0}I$ 是零矩阵（其中$I$ 是$2\!\times \!2$ 单位矩阵，在$1,1$ 和$2,2$ 位置上是 1，其他位置是 0；参见问题 19）。
2. 设 $p(x)$ 是一个多项式 $p(x)=c_{n}x^{n}+\dots +c_{1}x+c_{0}$。如果 $T$ 是一个方阵，我们定义 $p(T)$ 为矩阵 $c_{n}T^{n}+\dots +c_{1}T+I$ （其中 $I$ 是大小合适的单位矩阵）。证明对于任何方阵，都存在一个多项式，使得 $p(T)$ 是零矩阵。
3. 一个方阵的最小多项式 $m(x)$ 是次数最小的、首项系数为 $1$ 的多项式，使得 $m(T)$ 是零矩阵。求这个矩阵的最小多项式。

   ${\begin{pmatrix}{\sqrt {3}}/2&-1/2\\1/2&{\sqrt {3}}/2\end{pmatrix}}$

   （这是关于 ${\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}$，标准基， 逆时针旋转 $\pi /6$ 弧度的表示）。

答案

1. 向量空间 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 的维数为四。集合 $\{T^{4},\dots ,T,I\}$ 有五个元素，因此是线性相关的。
2. 其中 $T$ 是 $n\!\times \!n$，将前面一项的论证推广可知，存在一个次数不超过 $n^{2}$ 的多项式，因为 $\{T^{n^{2}},\dots ,T,I\}$ 是 $n^{2}+1$ 维空间 ${\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}$ 的一个 $n^{2}+1$ 元子集。
3. 首先计算幂

   $T^{2}={\begin{pmatrix}1/2&-{\sqrt {3}}/2\\{\sqrt {3}}/2&1/2\end{pmatrix}}\qquad T^{3}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\qquad T^{4}={\begin{pmatrix}-1/2&-{\sqrt {3}}/2\\{\sqrt {3}}/2&-1/2\end{pmatrix}}$

   (观察到，绕 $\pi /6$ 旋转三次，结果是绕 $\pi /2$ 旋转，这正是 $T^{3}$ 所代表的）。然后设置 $c_{4}T^{4}+c_{3}T^{3}+c_{2}T^{2}+c_{1}T+c_{0}I$ 等于零矩阵

   ${\begin{pmatrix}-1/2&-{\sqrt {3}}/2\\{\sqrt {3}}/2&-1/2\end{pmatrix}}c_{4}+{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}c_{3}+{\begin{pmatrix}1/2&-{\sqrt {3}}/2\\{\sqrt {3}}/2&1/2\end{pmatrix}}c_{2}+{\begin{pmatrix}{\sqrt {3}}/2&-1/2\\1/2&{\sqrt {3}}/2\end{pmatrix}}c_{1}+{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}c_{0}$

   $={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$

   得到以下线性系统。

   ${\begin{array}{*{5}{rc}r}-(1/2)c_{4}&&&+&(1/2)c_{2}&+&({\sqrt {3}}/2)c_{1}&+&c_{0}&=&0\\-({\sqrt {3}}/2)c_{4}&-&c_{3}&-&({\sqrt {3}}/2)c_{2}&-&(1/2)c_{1}&&&=&0\\({\sqrt {3}}/2)c_{4}&+&c_{3}&+&({\sqrt {3}}/2)c_{2}&+&(1/2)c_{1}&&&=&0\\-(1/2)c_{4}&&&+&(1/2)c_{2}&+&({\sqrt {3}}/2)c_{1}&+&c_{0}&=&0\end{array}}$

   应用高斯消元法。

   ${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{4}}}\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{5}{rc}r}-(1/2)c_{4}&&&+&(1/2)c_{2}&+&({\sqrt {3}}/2)c_{1}&+&c_{0}&=&0\\-({\sqrt {3}}/2)c_{4}&-&c_{3}&-&({\sqrt {3}}/2)c_{2}&-&(1/2)c_{1}&&&=&0\\&&&&&&&&0&=&0\\&&&&&&&&0&=&0\end{array}}\\&\;{\xrightarrow[{}]{-{\sqrt {3}}\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{5}{rc}r}-(1/2)c_{4}&&&+&(1/2)c_{2}&+&({\sqrt {3}}/2)c_{1}&+&c_{0}&=&0\\&-&c_{3}&-&{\sqrt {3}}c_{2}&-&2c_{1}&-&{\sqrt {3}}c_{0}&=&0\\&&&&&&&&0&=&0\\&&&&&&&&0&=&0\end{array}}\end{array}}$$c_{4}$、$c_{3}$ 和 $c_{2}$ 设置为零，使得 $c_{1}$ 和 $c_{0}$ 也变为零，因此没有一阶或零阶多项式可以满足条件。将 $c_{4}$ 和 $c_{3}$ 设置为零（$c_{2}$ 设置为一）得到一个线性系统

   ${\begin{array}{*{3}{rc}r}(1/2)&+&({\sqrt {3}}/2)c_{1}&+&c_{0}&=&0\\-{\sqrt {3}}&-&2c_{1}&-&{\sqrt {3}}c_{0}&=&0\end{array}}$

   可以通过求解 $c_{1}=-{\sqrt {3}}$ 和 $c_{0}=1$ 得到。结论：多项式 $m(x)=x^{2}-{\sqrt {3}}x+1$ 是矩阵 $T$ 的最小多项式。

问题 22

所有有限度多项式的无限维空间 ${\mathcal {P}}$ 提供了一个令人难忘的关于线性映射非交换性的例子。令 $d/dx:{\mathcal {P}}\to {\mathcal {P}}$ 为通常的导数，令 $s:{\mathcal {P}}\to {\mathcal {P}}$ 为 **移位** 映射。

$a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}\;{\stackrel {s}{\longmapsto }}\;0+a_{0}x+a_{1}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n+1}$

证明这两个映射不交换 $d/dx\circ s\neq s\circ d/dx$；事实上，不仅 $(d/dx\circ s)-(s\circ d/dx)$ 不是零映射，它实际上是恒等映射。

答案

验证过程是例行的。

$a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}{\stackrel {s}{\longmapsto }}a_{0}x+a_{1}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n+1}{\stackrel {d/dx}{\longmapsto }}a_{0}+2a_{1}x+\dots +(n+1)a_{n}x^{n}$

而

$a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}{\stackrel {d/dx}{\longmapsto }}a_{1}+\dots +na_{n}x^{n-1}{\stackrel {s}{\longmapsto }}a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}$

因此，在映射 $(d/dx\circ s)-(s\circ d/dx)$ 下，我们有 $a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}\mapsto a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}$.

问题 23

回顾数列 $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ 的和的记号。

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}$

在这个记号中，$i,j$ 是 $G$ 和 $H$ 乘积的项。

$p_{i,j}=\sum _{k=1}^{r}g_{i,k}h_{k,j}$

使用这个记号，

1. 重新证明矩阵乘法是结合的；
2. 重新证明 定理 2.6。

答案

1. 跟踪小节末尾的备注，得到 $i,j$ 是 $(FG)H$ 的项 $\sum _{t=1}^{s}{\bigl (}\sum _{k=1}^{r}f_{i,k}g_{k,t}{\bigr )}h_{t,j}=\sum _{t=1}^{s}\sum _{k=1}^{r}(f_{i,k}g_{k,t})h_{t,j}=\sum _{t=1}^{s}\sum _{k=1}^{r}f_{i,k}(g_{k,t}h_{t,j})$

   $=\sum _{k=1}^{r}\sum _{t=1}^{s}f_{i,k}(g_{k,t}h_{t,j})=\sum _{k=1}^{r}f_{i,k}{\bigl (}\sum _{t=1}^{s}g_{k,t}h_{t,j}{\bigr )}$

   (第一个等式来自用分配律乘以 $h$，第二个等式是实数的结合律，第三个是实数的交换律，第四个等式来自用分配律分解 $f$ )，这是 $i,j$ 是 $F(GH)$ 的项。
2. $k$ 的 $h({\vec {v}})$ 分量是

   $\sum _{j=1}^{n}h_{k,j}v_{j}$

   因此，$i$ 的 $g\circ h\,({\vec {v}})$ 分量是

   $\sum _{k=1}^{r}g_{i,k}{\bigl (}\sum _{j=1}^{n}h_{k,j}v_{j}{\bigr )}=\sum _{k=1}^{r}\sum _{j=1}^{n}g_{i,k}h_{k,j}v_{j}=\sum _{k=1}^{r}\sum _{j=1}^{n}(g_{i,k}h_{k,j})v_{j}$

   $=\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{r}(g_{i,k}h_{k,j})v_{j}=\sum _{j=1}^{n}(\sum _{k=1}^{r}g_{i,k}h_{k,j})\,v_{j}$

   (第一个等式是通过使用分配律将 $g$ 乘以，第二个等式表示实数的结合律，第三个等式是实数的交换律，第四个等式是使用分配律将 $v$ 提取出来得到的)。