线性代数/矩阵乘法

线性代数
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在之前的小节中，我们已经用线性映射的加法和标量乘法来表示线性映射，接下来自然要考虑的映射操作是复合。

引理 2.1

线性映射的复合是线性的。

证明

(这个论证之前已经出现过，作为同构是空间之间等价关系的证明的一部分。) 令 $h:V\to W$ 和 $g:W\to U$ 是线性的。计算

g\circ h\,{\bigl (}c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+c_{2}\cdot {\vec {v}}_{2}{\bigr )}=g{\bigl (}\,h(c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+c_{2}\cdot {\vec {v}}_{2})\,{\bigr )}=g{\bigl (}\,c_{1}\cdot h({\vec {v}}_{1})+c_{2}\cdot h({\vec {v}}_{2})\,{\bigr )}

=c_{1}\cdot g{\bigl (}h({\vec {v}}_{1}))+c_{2}\cdot g(h({\vec {v}}_{2}){\bigr )}=c_{1}\cdot (g\circ h)({\vec {v}}_{1})+c_{2}\cdot (g\circ h)({\vec {v}}_{2})

表明 $g\circ h:V\to U$ 保持线性组合。

为了了解复合的表示是如何从两个复合物的表示中产生的，让我们考虑一个例子。

示例 2.2

令 $h:\mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} ^{2}$ 和 $g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$ ，固定基 $B\subset \mathbb {R} ^{4}$ ， $C\subset \mathbb {R} ^{2}$ ， $D\subset \mathbb {R} ^{3}$ ，并让这些成为表示。

H={\rm {Rep}}_{B,C}(h)={\begin{pmatrix}4&6&8&2\\5&7&9&3\end{pmatrix}}_{B,C}\qquad G={\rm {Rep}}_{C,D}(g)={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\1&0\end{pmatrix}}_{C,D}

为了表示组合 $g\circ h:\mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} ^{3}$ ，我们固定一个 ${\vec {v}}$ ，表示 $h$ 的 ${\vec {v}}$ ，然后表示 $g$ 的那个。 $h({\vec {v}})$ 的表示是 $h$ 的矩阵和 ${\vec {v}}$ 的向量的乘积。

{\rm {Rep}}_{C}(\,h({\vec {v}})\,)={\begin{pmatrix}4&6&8&2\\5&7&9&3\end{pmatrix}}_{B,C}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\v_{4}\end{pmatrix}}_{B}={\begin{pmatrix}4v_{1}+6v_{2}+8v_{3}+2v_{4}\\5v_{1}+7v_{2}+9v_{3}+3v_{4}\end{pmatrix}}_{C}

对 ${\begin{array}{rl}{\rm {Rep}}_{D}(\,g(h({\vec {v}}))\,)\!&=\!{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\1&0\end{pmatrix}}_{C,D}{\begin{pmatrix}4v_{1}+6v_{2}+8v_{3}+2v_{4}\\5v_{1}+7v_{2}+9v_{3}+3v_{4}\end{pmatrix}}_{C}\\&=\!{\begin{pmatrix}1\cdot (4v_{1}+6v_{2}+8v_{3}+2v_{4})+1\cdot (5v_{1}+7v_{2}+9v_{3}+3v_{4})\\0\cdot (4v_{1}+6v_{2}+8v_{3}+2v_{4})+1\cdot (5v_{1}+7v_{2}+9v_{3}+3v_{4})\\1\cdot (4v_{1}+6v_{2}+8v_{3}+2v_{4})+0\cdot (5v_{1}+7v_{2}+9v_{3}+3v_{4})\end{pmatrix}}_{D}\end{array}}$

在 $v$ 上进行分配和重新分组，得到

={\begin{pmatrix}(1\cdot 4+1\cdot 5)v_{1}+(1\cdot 6+1\cdot 7)v_{2}+(1\cdot 8+1\cdot 9)v_{3}+(1\cdot 2+1\cdot 3)v_{4}\\(0\cdot 4+1\cdot 5)v_{1}+(0\cdot 6+1\cdot 7)v_{2}+(0\cdot 8+1\cdot 9)v_{3}+(0\cdot 2+1\cdot 3)v_{4}\\(1\cdot 4+0\cdot 5)v_{1}+(1\cdot 6+0\cdot 7)v_{2}+(1\cdot 8+0\cdot 9)v_{3}+(1\cdot 2+0\cdot 3)v_{4}\end{pmatrix}}_{D}

我们将其识别为该矩阵-向量积的结果。

={\begin{pmatrix}1\cdot 4+1\cdot 5&1\cdot 6+1\cdot 7&1\cdot 8+1\cdot 9&1\cdot 2+1\cdot 3\\0\cdot 4+1\cdot 5&0\cdot 6+1\cdot 7&0\cdot 8+1\cdot 9&0\cdot 2+1\cdot 3\\1\cdot 4+0\cdot 5&1\cdot 6+0\cdot 7&1\cdot 8+0\cdot 9&1\cdot 2+0\cdot 3\end{pmatrix}}_{B,D}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\v_{4}\end{pmatrix}}_{D}

因此，表示 $g\circ h$ 的矩阵具有 $G$ 的行与 $H$ 的列组合在一起。

定义 2.3

$m\!\times \!r$ 矩阵 $G$ 和 $r\!\times \!n$ 矩阵 $H$ 的矩阵乘积 是 $m\!\times \!n$ 矩阵 $P$ ，其中

p_{i,j}=g_{i,1}h_{1,j}+g_{i,2}h_{2,j}+\dots +g_{i,r}h_{r,j}

也就是说， $i,j$ -th entry of the product is the dot product of the $i$ -th row and the $j$ -th column.

GH={\begin{pmatrix}&\vdots \\g_{i,1}&g_{i,2}&\ldots &g_{i,r}\\&\vdots \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}&h_{1,j}\\\ldots &h_{2,j}&\ldots \\&\vdots \\&h_{r,j}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}&\vdots \\\ldots &p_{i,j}&\ldots \\&\vdots \end{pmatrix}}

示例 2.4

来自示例 2.2 的矩阵以这种方式组合。

{\begin{pmatrix}1\cdot 4+1\cdot 5&1\cdot 6+1\cdot 7&1\cdot 8+1\cdot 9&1\cdot 2+1\cdot 3\\0\cdot 4+1\cdot 5&0\cdot 6+1\cdot 7&0\cdot 8+1\cdot 9&0\cdot 2+1\cdot 3\\1\cdot 4+0\cdot 5&1\cdot 6+0\cdot 7&1\cdot 8+0\cdot 9&1\cdot 2+0\cdot 3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}9&13&17&5\\5&7&9&3\\4&6&8&2\end{pmatrix}}

示例 2.5

{\begin{pmatrix}2&0\\4&6\\8&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&3\\5&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\cdot 1+0\cdot 5&2\cdot 3+0\cdot 7\\4\cdot 1+6\cdot 5&4\cdot 3+6\cdot 7\\8\cdot 1+2\cdot 5&8\cdot 3+2\cdot 7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&6\\34&54\\18&38\end{pmatrix}}

定理 2.6

线性映射的组合由代表的矩阵乘积表示。

证明

(该论点与例 2.2类似。) 假设 $h:V\to W$ 和 $g:W\to X$ 分别由 $H$ 和 $G$ 表示，分别对应基底 $B\subset V$ ， $C\subset W$ 和 $D\subset X$ ，大小分别为 $n$ ， $r$ 和 $m$ 。对于任何 ${\vec {v}}\in V$ ， ${\rm {Rep}}_{C}(\,h({\vec {v}})\,)$ 的第 $k$ 个分量是

h_{k,1}v_{1}+\cdots +h_{k,n}v_{n}

因此， ${\rm {Rep}}_{D}(\,g\circ h\,({\vec {v}})\,)$ 的第 $i$ 个分量是：

g_{i,1}\cdot (h_{1,1}v_{1}+\dots +h_{1,n}v_{n})+g_{i,2}\cdot (h_{2,1}v_{1}+\dots +h_{2,n}v_{n})

+\dots +g_{i,r}\cdot (h_{r,1}v_{1}+\dots +h_{r,n}v_{n})

将 $v$ 进行分配并重新分组。

=(g_{i,1}h_{1,1}+g_{i,2}h_{2,1}+\dots +g_{i,r}h_{r,1})\cdot v_{1}

+\dots +(g_{i,1}h_{1,n}+g_{i,2}h_{2,n}+\dots +g_{i,r}h_{r,n})\cdot v_{n}

最后，注意到每个 $v_{j}$ 的系数

g_{i,1}h_{1,j}+g_{i,2}h_{2,j}+\dots +g_{i,r}h_{r,j}

与乘积 $GH$ 中 $i,j$ 项的定义相符。

该定理是支持定义的结果的一个例子。我们可以用这个 **箭头图** 来描绘定义和定理一起表达的内容（“wrt” 代表“相对于”）。

箭头上方，映射表明从 $V$ 到 $X$ 的两种方式，直接通过合成或通过 $W$ ，具有相同的效果。

{\vec {v}}{\stackrel {g\circ h}{\longmapsto }}g(h({\vec {v}}))\qquad {\vec {v}}{\stackrel {h}{\longmapsto }}h({\vec {v}}){\stackrel {g}{\longmapsto }}g(h({\vec {v}}))

(这仅仅是复合的定义)。箭头下方，矩阵表示产品执行相同的操作——将 $GH$ 乘以列向量 ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})$ 与首先将列向量乘以 $H$ ，然后将结果乘以 $G$ 具有相同的效果。

{\rm {Rep}}_{B,D}(g\circ h)=GH={\rm {Rep}}_{C,D}(g)\,{\rm {Rep}}_{B,C}(h)

矩阵乘法运算的定义并没有限制我们将其视为线性映射复合的表示。我们可以通过将其作为一种机械程序进行研究来深入了解这种操作。令人惊奇的是，行和列是如何结合的。

这种结合的一个方面是所涉及矩阵的大小非常重要。简单来说， $m\!\times \!r{\text{ times }}r\!\times \!n{\text{ equals }}m\!\times \!n$ .

示例 2.7

这个乘法没有定义

{\begin{pmatrix}-1&2&0\\0&10&1.1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&2\end{pmatrix}}

因为左侧的列数不等于右侧的行数。

就底层映射而言，大小必须匹配这一事实反映了矩阵乘法仅在相应的函数复合

{\text{dimension }}n{\text{ space}}\;{\stackrel {h}{\longrightarrow }}\;{\text{dimension }}r{\text{ space}}\;{\stackrel {g}{\longrightarrow }}\;{\text{dimension }}m{\text{ space}}

是可能的。

备注 2.8

这些东西的书写顺序可能会让人困惑。在“ $m\!\times \!r{\text{ times }}r\!\times \!n{\text{ equals }}m\!\times \!n$ " 等式中，最先写出的数字 $m$ 是 $g$ 的陪域的维数，因此是上面映射维数描述中最后出现的数字。解释是，虽然 $f$ 首先完成，然后应用 $g$ ，该复合写成 $g\circ f$ ，来自符号“ $g(f({\vec {v}}))$ ”。（有些人试图通过大声朗读“ $g\circ f$ " 为“ $g$ 接着 $f$ " 来减少混乱。）这种顺序然后延续到矩阵： $g\circ f$ 由 $GF$ 表示。

矩阵乘法运算中行和列组合方式的另一个方面是，在 $i,j$ 项的定义中

p_{i,j}=g_{i,{\color {red}1}}h_{{\color {red}1},j}+g_{i,{\color {red}2}}h_{{\color {red}2},j}+\dots +g_{i,{\color {red}r}}h_{{\color {red}r},j}

$g$ 上的红色下标是列指示符，而 $h$ 上的红色下标表示行。也就是说，求和是在 $G$ 的列上进行，但在 $H$ 的行上进行；左侧的处理方式与右侧不同，因此 $GH$ 可能不等于 $HG$ 。矩阵乘法不满足交换律。

示例 2.9

矩阵乘法几乎从不满足交换律。通过以两种方式相乘随机选择的矩阵来测试这一点。

{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}23&34\\31&46\end{pmatrix}}

示例 2.10

交换律失效的情况可能更加严重

{\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&0\\3&4&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}23&34&0\\31&46&0\end{pmatrix}}

然而

{\begin{pmatrix}1&2&0\\3&4&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}

甚至都没有定义。

备注 2.11

矩阵乘法不满足交换律这一事实乍一看可能令人费解，也许仅仅是因为初等数学中的大多数代数运算都是满足交换律的。但是，经过进一步思考，它并没有那么令人惊讶。毕竟，矩阵乘法代表函数复合，而函数复合是不满足交换律的——如果 $f(x)=2x$ 且 $g(x)=x+1$ ，那么 $g\circ f(x)=2x+1$ ，而 $f\circ g(x)=2(x+1)=2x+2$ 。确实，这个 $g$ 不是线性的，我们可能希望线性函数满足交换律，但这种观点表明，矩阵乘法不满足交换律这一事实符合更广阔的背景。

除了不满足交换律外，矩阵乘法在代数上表现良好。以下是一些不错的性质，更多性质可以在习题 10 和习题 11 中找到。

定理 2.12

如果 $F$ 、 $G$ 和 $H$ 是矩阵，并且矩阵乘法定义良好，那么乘法满足结合律 $(FG)H=F(GH)$ 并且对矩阵加法满足分配律 $F(G+H)=FG+FH$ 和 $(G+H)F=GF+HF$ 。

证明

结合律成立，因为矩阵乘法代表函数复合，而函数复合是结合的：映射 $(f\circ g)\circ h$ 和 $f\circ (g\circ h)$ 是相等的，因为它们都将 ${\vec {v}}$ 映射到 $f(g(h({\vec {v}})))$ .

分配律类似。例如，第一个分配律为 $f\circ (g+h)\,({\vec {v}})=f{\bigl (}\,(g+h)({\vec {v}})\,{\bigr )}=f{\bigl (}\,g({\vec {v}})+h({\vec {v}})\,{\bigr )}=f(g({\vec {v}}))+f(h({\vec {v}}))=f\circ g({\vec {v}})+f\circ h({\vec {v}})$ （第三个等式利用了 $f$ 的线性性）。

注 2.13

我们也可以通过繁琐的索引运算来证明这个结果。例如，结合律可以写成： $(FG)H$ 的第 $i,j$ 个元素是

{\begin{array}{rl}&(f_{i,1}g_{1,1}+f_{i,2}g_{2,1}+\dots +f_{i,r}g_{r,1})h_{1,j}\\&\quad +(f_{i,1}g_{1,2}+f_{i,2}g_{2,2}+\dots +f_{i,r}g_{r,2})h_{2,j}\\&\quad \;\;\vdots \\&\quad +(f_{i,1}g_{1,s}+f_{i,2}g_{2,s}+\dots +f_{i,r}g_{r,s})h_{s,j}\end{array}}

(其中 $F$ ， $G$ 和 $H$ 是 $m\!\times \!r$ ， $r\!\times \!s$ 和 $s\!\times \!n$ 矩阵），分配

{\begin{array}{rl}&f_{i,1}g_{1,1}h_{1,j}+f_{i,2}g_{2,1}h_{1,j}+\dots +f_{i,r}g_{r,1}h_{1,j}\\&\quad +f_{i,1}g_{1,2}h_{2,j}+f_{i,2}g_{2,2}h_{2,j}+\dots +f_{i,r}g_{r,2}h_{2,j}\\&\quad \;\;\vdots \\&\quad +f_{i,1}g_{1,s}h_{s,j}+f_{i,2}g_{2,s}h_{s,j}+\dots +f_{i,r}g_{r,s}h_{s,j}\end{array}}

并围绕 $f$ 进行重新分组

{\begin{array}{rl}&f_{i,1}(g_{1,1}h_{1,j}+g_{1,2}h_{2,j}+\dots +g_{1,s}h_{s,j})\\&\quad +f_{i,2}(g_{2,1}h_{1,j}+g_{2,2}h_{2,j}+\dots +g_{2,s}h_{s,j})\\&\quad \;\;\vdots \\&\quad +f_{i,r}(g_{r,1}h_{1,j}+g_{r,2}h_{2,j}+\dots +g_{r,s}h_{s,j})\end{array}}

以获得 $i,j$ 的 $F(GH)$ 项。

对比验证结合律的两种方法，一种是在证明中，另一种是在上面。上面的论证很难理解，因为虽然计算很容易检查，但算术似乎与任何想法都没有联系（它也基本上重复了定理 2.6 的证明，因此效率低下）。证明中的论证更短、更清晰，并说明了这种性质“真正”成立的原因。这说明了在向量空间章节前言中提到的评论——至少在某些情况下，来自更高层次结构的论证更清晰。

我们现在已经了解了如何从两个线性映射的表示中推导出它们组合的表示。我们称这个组合为两个矩阵的乘积。这种运算极其重要。在我们继续研究如何表示线性映射的逆之前，我们将在下一小节中进一步探讨它。

练习

本练习建议所有读者完成。

问题 1

计算，或说明“未定义”。

${\begin{pmatrix}3&1\\-4&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&5\\0&0.5\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&1&-1\\4&0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&-1&-1\\3&1&1\\3&1&1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2&-7\\7&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&5\\-1&1&1\\3&8&4\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}5&2\\3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&2\\3&-5\end{pmatrix}}$

本练习建议所有读者完成。

问题 2

其中

A={\begin{pmatrix}1&-1\\2&0\\\end{pmatrix}}\quad B={\begin{pmatrix}5&2\\4&4\\\end{pmatrix}}\quad C={\begin{pmatrix}-2&3\\-4&1\\\end{pmatrix}}

计算，或说明“未定义”。

$AB$
$(AB)C$
$BC$
$A(BC)$

问题 3

哪些乘积是定义的？

$3\!\times \!2$ 乘以 $2\!\times \!3$
$2\!\times \!3$ 乘以 $3\!\times \!2$
$2\!\times \!2$ 乘以 $3\!\times \!3$
$3\!\times \!3$ 乘以 $2\!\times \!2$

本练习建议所有读者完成。

问题 4

给出乘积的大小或说明“未定义”。

a $2\!\times \!3$ 矩阵乘以 $3\!\times \!1$ 矩阵
a $1\!\times \!12$ 矩阵乘以 $12\!\times \!1$ 矩阵
a $2\!\times \!3$ 矩阵乘以 $2\!\times \!1$ 矩阵
a $2\!\times \!2$ 矩阵乘以 $2\!\times \!2$ 矩阵

本练习建议所有读者完成。

问题 5

找到从以下开始得到的方程组

{\begin{array}{*{3}{rc}r}h_{1,1}x_{1}&+&h_{1,2}x_{2}&+&h_{1,3}x_{3}&=&d_{1}\\h_{2,1}x_{1}&+&h_{2,2}x_{2}&+&h_{2,3}x_{3}&=&d_{2}\end{array}}

并进行此变量更改（即替换）。

{\begin{array}{*{2}{rc}r}x_{1}&=&g_{1,1}y_{1}&+&g_{1,2}y_{2}\\x_{2}&=&g_{2,1}y_{1}&+&g_{2,2}y_{2}\\x_{3}&=&g_{3,1}y_{1}&+&g_{3,2}y_{2}\end{array}}

问题 6

正如定义 2.3 指出，矩阵乘法运算概括了点积。一个 $1\!\times \!n$ 行向量和一个 $n\!\times \!1$ 列向量的点积是否与其矩阵乘积相同？

本练习建议所有读者完成。

问题 7

将导数映射表示在 ${\mathcal {P}}_{n}$ 上，相对于 $B,B$ ，其中 $B$ 是自然基 $\langle 1,x,\ldots ,x^{n}\rangle$ 。证明该矩阵与其自身的乘积是定义的；该映射代表什么？

问题 8

证明在 $\mathbb {R} ^{1}$ 上的线性变换的复合运算满足交换律。这对于任何一维空间都成立吗？

问题 9

为什么矩阵乘法不定义为逐元素乘法？这样会更容易，而且也满足交换律。

本练习建议所有读者完成。

问题 10

证明 $H^{p}H^{q}=H^{p+q}$ 且 $(H^{p})^{q}=H^{pq}$ 对于正整数 $p,q$ 成立。
证明 $(rH)^{p}=r^{p}\cdot H^{p}$ 对于任何正整数 $p$ 和标量 $r\in \mathbb {R}$ 成立。

本练习建议所有读者完成。

问题 11

矩阵乘法如何与标量乘法交互： $r(GH)=(rG)H$ 吗？ $G(rH)=r(GH)$ 吗？
矩阵乘法如何与线性组合交互： $F(rG+sH)=r(FG)+s(FH)$ 吗？ $(rF+sG)H=rFH+sGH$ 吗？

问题 12

我们可以问矩阵乘法运算如何与转置运算交互。

证明 ${{(GH)}^{\rm {trans}}}={{H}^{\rm {trans}}}{{G}^{\rm {trans}}}$ .
一个方阵是对称的，如果每一个 $i,j$ 元素等于 $j,i$ 元素，也就是说，如果该矩阵等于其自身的转置。证明矩阵 $H{{H}^{\rm {trans}}}$ 和 ${{H}^{\rm {trans}}}H$ 是对称的。

本练习建议所有读者完成。

问题 13

在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中绕某个轴旋转向量是一个线性映射。证明线性映射不满足交换律，方法是几何地证明旋转不满足交换律。

问题 14

在定理 2.12 的证明中，使用了一些映射。这些映射的定义域和值域是什么？

问题 15

矩阵秩如何与矩阵乘法交互？

两个秩为 $n$ 的矩阵的乘积的秩可以小于 $n$ 吗？可以大于吗？
证明两个矩阵的乘积的秩小于等于每个因子的秩的最小值。

问题 16

“与…交换”在 $n\!\times \!n$ 矩阵中是等价关系吗？

本练习建议所有读者完成。

问题 17

(这将在矩阵逆的练习中用到。) 矩阵乘法还有一个性质，乍一看可能让人困惑。

证明投影 $\pi _{x},\pi _{y}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ 到 $x$ 轴和 $y$ 轴的复合映射是零映射，尽管它们本身都不是零映射。
证明导数 $d^{2}/dx^{2},\,d^{3}/dx^{3}:{\mathcal {P}}_{4}\to {\mathcal {P}}_{4}$ 的复合映射是零映射，尽管它们本身都不是零映射。
给出表示第一个事实的矩阵方程。
给出表示第二个事实的矩阵方程。

当两个东西相乘得到零，而它们本身都不为零时，它们被称为零因子。

问题 18

证明，对于方阵， $(S+T)(S-T)$ 不一定等于 $S^{2}-T^{2}$ 。

本练习建议所有读者完成。

问题 19

对于任何基底 $B$ ，用 $B,B$ 表示恒等变换 ${\mbox{id}}:V\to V$ 。这被称为**单位矩阵** $I$ 。证明这个矩阵在矩阵乘法中的作用类似于实数乘法中的数字 $1$ ： $HI=IH=H$ （对于所有定义了乘积的矩阵 $H$ ）。

问题 20

在实数代数中，二次方程最多有两个解。矩阵代数并非如此。证明 $2\!\times \!2$ 矩阵方程 $T^{2}=I$ 有不止两个解，其中 $I$ 是单位矩阵（这个矩阵在 $1,1$ 和 $2,2$ 位置上的元素为 1，其余位置上的元素为 0；参见问题 19）。

问题 21

证明对于任何 $2\!\times \!2$ 矩阵 $T$ ，存在标量 $c_{0},\dots ,c_{4}$ 且不全为 $0$ ，使得组合 $c_{4}T^{4}+c_{3}T^{3}+c_{2}T^{2}+c_{1}T+c_{0}I$ 为零矩阵（其中 $I$ 是 $2\!\times \!2$ 单位矩阵，其 $1,1$ 和 $2,2$ 元素为 $1$ ，其余元素为零；参见习题 19）。
令 $p(x)$ 是一个多项式 $p(x)=c_{n}x^{n}+\dots +c_{1}x+c_{0}$ 。如果 $T$ 是方阵，则定义 $p(T)$ 为矩阵 $c_{n}T^{n}+\dots +c_{1}T+I$ （其中 $I$ 是适当大小的单位矩阵）。证明对于任何方阵，都存在一个多项式，使得 $p(T)$ 为零矩阵。
方阵的最小多项式 $m(x)$ 是使得 $m(T)$ 为零矩阵的，最低次且首项系数为 $1$ 的多项式。求此矩阵的最小多项式。
${\begin{pmatrix}{\sqrt {3}}/2&-1/2\\1/2&{\sqrt {3}}/2\end{pmatrix}}$
(这是关于 ${\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}$ ，标准基，关于 $\pi /6$ 弧度的逆时针旋转的表示。）

问题 22

所有有限度多项式的无限维空间 ${\mathcal {P}}$ 提供了线性映射非交换性的一个令人难忘的例子。设 $d/dx:{\mathcal {P}}\to {\mathcal {P}}$ 是通常的导数，并且设 $s:{\mathcal {P}}\to {\mathcal {P}}$ 是 **移位** 映射。