线性代数/矩阵乘法的机制

在本节中，我们将矩阵乘法视为一个机械过程，暂时撇开关于底层映射的任何含义。如前所述，矩阵乘法最引人注目之处在于行和列的组合方式。矩阵乘积的$i,j$ 元素是左矩阵的第$i$ 行与右矩阵的第$j$ 列的点积。例如，这里第二行和第三列组合形成一个$2,3$ 元素。

${\begin{pmatrix}1&1\\{\color {red}0}&{\color {red}1}\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&6&{\color {red}8}&2\\5&7&{\color {red}9}&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}9&13&17&5\\5&7&{\color {red}9}&3\\4&6&8&2\end{pmatrix}}$

我们可以将其视为左矩阵通过一次乘以一行的方式作用于右矩阵的列。当然，另一种观点是右矩阵使用其列来作用于左矩阵的行。下面，我们将研究一些简单矩阵的从左和从右的作用。

第一个情况，零矩阵的作用，非常容易。

示例 3.1

从左或从右乘以适当大小的零矩阵

${\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&3&2\\-1&1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}2&3\\1&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$

结果为零矩阵。

在零矩阵之后，作用最容易理解的矩阵是那些只有一个非零项的矩阵。

定义 3.2

除了$i,j$ 元素为1，其他元素均为0 的矩阵称为 $i,j$ 单位 矩阵。

示例 3.3

这是一个 $1,2\,$ 单位矩阵，它有 3 行 2 列，从左乘。

${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7&8\\0&0\\0&0\end{pmatrix}}$

从左侧作用时，一个$i,j$ 单位矩阵将被乘数的第 $j$ 行复制到结果的第 $i$ 行。从右侧，一个$i,j$ 单位矩阵将被乘数的第 $i$ 列复制到结果的第 $j$ 列。

${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\0&4\\0&7\end{pmatrix}}$

示例 3.4

简单地对这些矩阵进行缩放，只会缩放结果。这是左侧矩阵的作用，该矩阵是之前示例中矩阵的两倍。

${\begin{pmatrix}0&2\\0&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}14&16\\0&0\\0&0\end{pmatrix}}$

这是左侧矩阵的-3倍，与之前示例中矩阵的作用。

${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-3\\0&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-3\\0&-12\\0&-21\end{pmatrix}}$

接下来是具有两个非零项的矩阵，有两种情况。如果左乘矩阵的项位于不同的行，则它们的作用不会相互影响。

示例 3.5

${\begin{array}{rl}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}&=({\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}}){\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&0\\14&16&18\\0&0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&2&3\\14&16&18\\0&0&0\end{pmatrix}}\end{array}}$

但是如果左乘矩阵的非零元素在同一行，那么结果的该行就是这些元素的组合。

例 3.6

${\begin{array}{rl}{\begin{pmatrix}1&0&2\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}&=({\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&2\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}){\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}14&16&18\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}15&18&21\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\end{array}}$

右乘以相同的方式操作列。

这些关于大多数元素为零的矩阵的观察结果可以扩展到任意矩阵。

引理 3.7

在两个矩阵 $G$ 和 $H$ 的乘积中，$GH$ 的列是由 $G$ 乘以 $H$ 的列形成的。

$G\cdot \left({\begin{array}{c|c|c}\vdots &&\vdots \\{\vec {h}}_{1}&\cdots &{\vec {h}}_{n}\\\vdots &&\vdots \end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c|c|c}\vdots &&\vdots \\G\cdot {\vec {h}}_{1}&\cdots &G\cdot {\vec {h}}_{n}\\\vdots &&\vdots \end{array}}\right)$

而 $GH$ 的行是由 $G$ 的行乘以 $H$ 形成的。

$\left({\begin{array}{c}\cdots \;{\vec {g}}_{1}\;\cdots \\\hline \vdots \\\hline \cdots \;{\vec {g}}_{r}\;\cdots \end{array}}\right)\cdot H=\left({\begin{array}{c}\cdots \;{\vec {g}}_{1}\cdot H\;\cdots \\\hline \vdots \\\hline \cdots \;{\vec {g}}_{r}\cdot H\;\cdots \end{array}}\right)$

(忽略额外的括号)。

证明

我们将展示 $2\!\times \!2$ 的情况，并将一般情况留作练习。

$GH={\begin{pmatrix}g_{1,1}&g_{1,2}\\g_{2,1}&g_{2,2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{1,1}&h_{1,2}\\h_{2,1}&h_{2,2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}g_{1,1}h_{1,1}+g_{1,2}h_{2,1}&g_{1,1}h_{1,2}+g_{1,2}h_{2,2}\\g_{2,1}h_{1,1}+g_{2,2}h_{2,1}&g_{2,1}h_{1,2}+g_{2,2}h_{2,2}\end{pmatrix}}$

结果中第一个等式右侧

$\left({\begin{array}{c|c}G{\begin{pmatrix}h_{1,1}\\h_{2,1}\end{pmatrix}}&G{\begin{pmatrix}h_{1,2}\\h_{2,2}\end{pmatrix}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c|c}{\begin{pmatrix}g_{1,1}h_{1,1}+g_{1,2}h_{2,1}\\g_{2,1}h_{1,1}+g_{2,2}h_{2,1}\end{pmatrix}}&{\begin{pmatrix}g_{1,1}h_{1,2}+g_{1,2}h_{2,2}\\g_{2,1}h_{1,2}+g_{2,2}h_{2,2}\end{pmatrix}}\end{array}}\right)$

实际上与 GH 右侧相同，只是多了一些括号（将列标记为列向量）。另一个方程式同样易于识别。

根据这些观察，存在一个矩阵，它只复制行和列。

定义 3.8

方阵的 **主对角线**（或 **主对角线** 或 **对角线**）从左上角延伸到右下角。

定义 3.9

**单位矩阵** 是方形的，除主对角线上的 1 外，所有元素均为 0。

$I_{n\!\times \!n}={\begin{pmatrix}1&0&\ldots &0\\0&1&\ldots &0\\&\vdots \\0&0&\ldots &1\end{pmatrix}}$

例 3.10

$3\!\times \!3$ 单位矩阵既可以从左侧

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&3&6\\1&3&8\\-7&1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&3&6\\1&3&8\\-7&1&0\end{pmatrix}}$

也可以从右侧。

${\begin{pmatrix}2&3&6\\1&3&8\\-7&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&3&6\\1&3&8\\-7&1&0\end{pmatrix}}$

例 3.11

$2\!\times \!2$ 单位矩阵也是如此。

${\begin{pmatrix}1&-2\\0&-2\\1&-1\\4&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-2\\0&-2\\1&-1\\4&3\end{pmatrix}}$

简而言之，单位矩阵是关于矩阵乘法运算的 $n\!\times \!n$ 矩阵集合的单位元。

接下来，我们看看两种推广单位矩阵的方法。

第一种是，如果将 1 放宽为任意实数，则生成的矩阵将缩放整行或整列。

定义 3.12

对角矩阵是一个方阵，其主对角线以外的所有元素均为零。

${\begin{pmatrix}a_{1,1}&0&\ldots &0\\0&a_{2,2}&\ldots &0\\&\vdots \\0&0&\ldots &a_{n,n}\end{pmatrix}}$

示例 3.13

从左边来看，乘以对角矩阵的作用是缩放行。

${\begin{pmatrix}2&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&1&4&-1\\-1&3&4&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&2&8&-2\\1&-3&-4&-4\end{pmatrix}}$

从右边来看，这样的矩阵缩放列。

${\begin{pmatrix}1&2&1\\2&2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&0&0\\0&2&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&4&-2\\6&4&-4\end{pmatrix}}$

对单位矩阵的第二种推广是，我们可以将单个 1 放置在每一行和每一列中，而不是仅仅放在对角线上。

定义 3.14

置换矩阵是一个方阵，除了每一行和每一列中都有一个唯一的 1 之外，其他所有元素均为零。

示例 3.15

从左边来看，这些矩阵会置换行。

${\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7&8&9\\1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}}$

从右边来看，它们会置换列。

${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&3&1\\5&6&4\\8&9&7\end{pmatrix}}$

在本节的最后，我们将应用这些观察结果来获得执行高斯方法和高斯-若尔当消元法的矩阵。

示例 3.16

我们已经了解了如何生成一个可以缩放行的矩阵。乘以这个对角矩阵将使另一个矩阵的第二行按三倍缩放。

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&3&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&2&1&1\\0&1/3&1&-1\\1&0&2&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&2&1&1\\0&1&3&-3\\1&0&2&0\end{pmatrix}}$

我们已经看到了如何生成一个可以交换行的矩阵。乘以这个置换矩阵会交换第一行和第三行。

${\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&2&1&1\\0&1&3&-3\\1&0&2&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&2&0\\0&1&3&-3\\0&2&1&1\end{pmatrix}}$

为了了解如何执行一个主元，我们观察这两个例子的一些共同点。以三倍比例调整第二行的矩阵是以这种方式从单位矩阵得到的。

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{3\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&3&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

类似地，交换第一行和第三行的矩阵也以这种方式得到。

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{3}}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$

示例 3.17

得到的 $3\!\times \!3$ 矩阵是

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&-2&1\end{pmatrix}}$

当它从左边作用时，它会执行主元操作 $-2\rho _{2}+\rho _{3}$。

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&2&0\\0&1&3&-3\\0&2&1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&2&0\\0&1&3&-3\\0&0&-5&7\end{pmatrix}}$

定义 3.18

初等行变换矩阵是由单位矩阵进行一次高斯变换得到的。我们记它们为

1. $I{\xrightarrow[{}]{k\rho _{i}}}M_{i}(k)$ 其中 $k\neq 0$；
2. $I{\xrightarrow[{}]{\rho _{i}\leftrightarrow \rho _{j}}}P_{i,j}$ 其中 $i\neq j$；
3. $I{\xrightarrow[{}]{k\rho _{i}+\rho _{j}}}C_{i,j}(k)$ 其中 $i\neq j$.

引理 3.19

高斯消元可以通过矩阵乘法实现。

1. 如果 $H{\xrightarrow[{}]{k\rho _{i}}}G$，那么 $M_{i}(k)H=G$.
2. 如果 $H{\xrightarrow[{}]{\rho _{i}\leftrightarrow \rho _{j}}}G$，那么 $P_{i,j}H=G$.
3. 如果 $H{\xrightarrow[{}]{k\rho _{i}+\rho _{j}}}G$，则 $C_{i,j}(k)H=G$。

证明

清楚。

例 3.20

这是第一章中第一个我们用高斯消元法求解的系统。

${\begin{array}{*{3}{rc}r}&&&&3x_{3}&=&9\\x_{1}&+&5x_{2}&-&2x_{3}&=&2\\(1/3)x_{1}&+&2x_{2}&&&=&3\end{array}}$

它可以用矩阵乘法化简。交换第一行和第三行，

${\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}0&0&3&9\\1&5&-2&2\\1/3&2&0&3\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1/3&2&0&3\\1&5&-2&2\\0&0&3&9\end{array}}\right)$

将第一行乘以 3，

${\begin{pmatrix}3&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1/3&2&0&3\\1&5&-2&2\\0&0&3&9\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&6&0&9\\1&5&-2&2\\0&0&3&9\end{array}}\right)$

然后将第一行乘以 $-1$ 加到第二行。

${\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&6&0&9\\1&5&-2&2\\0&0&3&9\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&6&0&9\\0&-1&-2&-7\\0&0&3&9\end{array}}\right)$

现在用回代法可以得到解。

示例 3.21

高斯-约旦消元法的工作方式相同。对于上一个示例结束的矩阵，首先调整主元

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1/3\end{pmatrix}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&6&0&9\\0&-1&-2&-7\\0&0&3&9\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&6&0&9\\0&1&2&7\\0&0&1&3\end{array}}\right)$

最后，清除第三列，然后清除第二列。

${\begin{pmatrix}1&-6&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-2\\0&0&1\end{pmatrix}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&6&0&9\\0&1&2&7\\0&0&1&3\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&0&0&3\\0&1&0&1\\0&0&1&3\end{array}}\right)$

我们观察到以下结果，我们将在下一小节中使用它。

推论 3.22

对于任何矩阵 $H$ 存在初等变换矩阵 $R_{1}$, ..., $R_{r}$ 使得 $R_{r}\cdot R_{r-1}\cdots R_{1}\cdot H$ 处于简化行阶梯形式。

到目前为止，我们一直认为我们的主要研究对象是向量空间和它们之间的映射，并且只为了计算方便而采用了矩阵。本小节表明这种观点并非全部。矩阵理论是一个迷人而富有成果的领域。

在本书的其余部分，我们将继续以映射为主要对象，但我们会务实——如果矩阵观点能提供更清晰的概念，那么我们将使用它。

练习

此练习推荐给所有读者。

问题 1

预测每个用初等变换矩阵相乘的结果，然后通过相乘验证。

1. ${\begin{pmatrix}3&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}4&0\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}}$
5. ${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

此练习推荐给所有读者。

问题 2

在实践中，经常需要对数字表格中的行和列进行线性组合。例如，这是一个佛蒙特州和纽约州部分地区的路线图。

部分原因是尚普兰湖，一些城镇之间没有直接的道路连接。例如，从威诺斯基到格兰德艾尔没有办法走，而不经过科尔切斯特。（当然，为了简化图表，许多其他道路和城镇被省略了。从这张地图的顶部到底部大约有四十英里。）

1. 地图的**关联矩阵**是一个方阵，其$i,j$ 项是城市$i$ 到城市$j$ 的道路数量。绘制这张地图的关联矩阵（将城市按字母顺序排列）。
2. 如果一个矩阵等于它的转置，则该矩阵是**对称**的。证明关联矩阵是对称的。（这些都是双向街道。佛蒙特州没有很多单行道。）
3. 关联矩阵的平方有什么意义？立方呢？

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问题 3

该表格列出了每个工人所做每种类型的工作的小时数以及相关的工资率。使用矩阵计算应得的工资。

常规   加班 艾伦     40   12 贝蒂     35   6 凯瑟琳     40   18 唐纳德     28   0

工资 常规     $25.00 加班     $45.00

（备注。这说明，与上一个问题一样，在实践中我们经常想在实际上对线性映射不感兴趣的情况下计算行和列的线性组合。）

问题 4

找到这个矩阵与其转置的乘积。

${\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$

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问题 5

证明对角矩阵是${\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}$ 的子空间。它的维数是多少？

问题 6

如果基不相等，单位矩阵是否表示恒等映射？

问题 7

证明所有恒等矩阵的倍数都与所有方阵交换。还有其他与所有方阵交换的矩阵吗？

问题 8

证明或反驳：非奇异矩阵交换。

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问题 9

证明置换矩阵与其转置的乘积是单位矩阵。

问题 10

证明如果$G$ 的第一行和第二行相等，那么$GH$ 的第一行和第二行也是相等的。推广。

问题 11

描述两个对角矩阵的乘积。

问题 12

写

${\begin{pmatrix}1&0\\-3&3\end{pmatrix}}$

作为两个基本约简矩阵的乘积。

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问题 13

证明如果$G$ 有一行零，那么$GH$（如果定义）也有一行零。对于列是否也成立？

问题 14

证明单位矩阵的集合是${\mathcal {M}}_{n\!\times \!m}$ 的基。

问题 15

找到这个矩阵的$n$ 次方的公式。

${\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}$

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问题 16

一个方阵的迹是其对角线上元素的总和（其重要性将在第五章中出现）。证明 ${\text{trace}}\,(GH)={\text{trace}}\,(HG)$.

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问题 17

如果一个方阵的非零元素仅位于对角线上或其上方，则称为上三角矩阵。证明两个上三角矩阵的乘积是上三角矩阵。这个结论对下三角矩阵也成立吗？

问题 18

如果一个方阵的每个元素都在零到一之间，并且每行的元素之和为一，则称为马尔可夫矩阵。证明马尔可夫矩阵的乘积也是马尔可夫矩阵。

此练习推荐给所有读者。

问题 19

给出两个秩相同的矩阵的例子，它们平方后的秩不同。

问题 20

将单位矩阵的两种推广方式结合起来，一种是允许元素不为一，另一种是允许每行和每列中唯一的非零元素不在对角线上。这种类型的矩阵的作用是什么？

问题 21

在计算机中，乘法运算比加法运算更昂贵，因此人们希望减少计算矩阵乘积所需的乘法次数。

1. 我们为一个 $m\!\times \!r$ 矩阵和一个 $r\!\times \!n$ 矩阵的乘积给出的公式中需要多少次实数乘法？
2. 矩阵乘法满足结合律，因此所有结合方式都会得到相同的结果。然而，乘法次数却会不同。找到最少实数乘法次数来计算一个 $5\!\times \!10$ 矩阵、一个 $10\!\times \!20$ 矩阵、一个 $20\!\times \!5$ 矩阵和一个 $5\!\times \!1$ 矩阵的矩阵乘积的结合方式。
3. （非常难。） 找到一种方法，使用只有七次乘法而不是八次乘法（由朴素方法建议）来计算两个 $2\!\times \!2$ 矩阵的乘积。

? 问题 22

如果 $A$ 和 $B$ 是相同大小的方阵，使得 $ABAB=0$，是否可以得出 $BABA=0$？（普特南考试 1990）

问题 23

证明这四个断言，以得到列秩等于行秩的另一种证明。（Liebeck 1966）

1. ${\vec {y}}\cdot {\vec {y}}={\vec {0}}$ 当且仅当 ${\vec {y}}={\vec {0}}$.
2. $A{\vec {x}}={\vec {0}}$ 当且仅当 ${{A}^{\rm {trans}}}A{\vec {x}}={\vec {0}}$.
3. $\dim({\mathcal {R}}(A))=\dim({\mathcal {R}}({{A}^{\rm {trans}}}A))$.
4. ${\text{col rank}}(A)={\text{col rank}}({{A}^{\rm {trans}}})={\text{row rank}}(A)$.

问题 24

证明（其中 $A$ 是一个 $n\!\times \!n$ 矩阵，因此定义了任何 $n$ 维空间 $V$ 关于 $B,B$ 的变换，其中 $B$ 是一个基底）$\dim({\mathcal {R}}(A)\cap {\mathcal {N}}(A))=\dim({\mathcal {R}}(A))-\dim({\mathcal {R}}(A^{2}))$。结论

1. ${\mathcal {N}}(A)\subset {\mathcal {R}}(A)$ 当且仅当 $\dim({\mathcal {N}}(A))=\dim({\mathcal {R}}(A))-\dim({\mathcal {R}}(A^{2}))$；
2. ${\mathcal {R}}(A)\subseteq {\mathcal {N}}(A)$ 当且仅当 $A^{2}=0$；
3. ${\mathcal {R}}(A)={\mathcal {N}}(A)$ 当且仅当 $A^{2}=0$ 且 $\dim({\mathcal {N}}(A))=\dim({\mathcal {R}}(A))$ ;
4. $\dim({\mathcal {R}}(A)\cap {\mathcal {N}}(A))=0$ 当且仅当 $\dim({\mathcal {R}}(A))=\dim({\mathcal {R}}(A^{2}))$ ;
5. (需要直接和部分，该部分是可选的。) $V={\mathcal {R}}(A)\oplus {\mathcal {N}}(A)$ 当且仅当 $\dim({\mathcal {R}}(A))=\dim({\mathcal {R}}(A^{2}))$.

(Ackerson 1955)

解决方案

参考文献

• Ackerson, R. H. (1955), "关于向量空间的注记", 美国数学月刊, 美国数学学会, 62 (10): 721 {{citation}}: 未知参数 |month= 被忽略 (help).
• Liebeck, Hans. (1966), "矩阵列秩和行秩相等性的证明", 美国数学月刊, 美国数学学会, 73 (10): 1114 {{citation}}: 未知参数 |month= 被忽略 (help).
• 威廉·洛厄尔·普特南数学竞赛，1990 年，A-5 题。