线性代数/行化简与阶梯形

引言

线性代数中许多需要解决的问题都要求将矩阵转换为两种形式之一：行阶梯形（ref）及其更严格的变体简化行阶梯形（rref）。这两种形式将帮助你了解矩阵所代表的结构。如果矩阵表示一个线性方程组，则这些形式允许人们写出该方程组的解。

每个计算机代数系统和大多数科学或图形计算器都有命令可以为任何矩阵生成这些形式。例如，命令通常为rref(A)。

行阶梯形

如果一个矩形矩阵具有以下三个性质，则它处于行阶梯形

所有非零行都在所有零行之上
每一行的首项元素都在其上一行首项元素所在列的右侧
首项元素所在列下方所有元素均为零

此矩阵处于行阶梯形

{\begin{bmatrix}1&&0&&3&&3\\0&&1&&0&&4\\0&&0&&0&&1\end{bmatrix}}

简化行阶梯形

如果一个处于阶梯形的矩阵满足以下条件，则它处于简化行阶梯形

该矩阵处于行阶梯形
每个首项元素1是其所在列中唯一的非零元素

此矩阵处于简化行阶梯形

{\begin{bmatrix}1&&0&&0\\0&&1&&0\\0&&0&&1\end{bmatrix}}

并且上一节中矩阵的rref是

{\begin{bmatrix}1&&0&&3&&0\\0&&1&&0&&0\\0&&0&&0&&1\end{bmatrix}}

将矩阵转换为REF或RREF形式

可以通过将线性方程组的增广矩阵化简为简化行阶梯形来求解该方程组。

可以使用初等行变换将矩阵转换为其简化行阶梯形，或行化简为其简化行阶梯形。这些变换是：

交换矩阵的两行。
将矩阵的一行乘以一个非零的标量常数。
将一行替换为该行加上另一行乘以一个常数。

例如，给定以下线性方程组及其对应的增广矩阵：

{\begin{aligned}3x_{2}-6x_{3}+6x_{4}+4x_{5}&=-5\\3x_{1}-7x_{2}+8x_{3}-5x_{4}+8x_{5}&=9\\3x_{1}-9x_{2}+12x_{3}-9x_{4}+6x_{5}&=15\end{aligned}}

$\left[{\begin{array}{rrrrrr}0&3&-6&6&4&-5\\3&-7&8&-5&8&9\\3&-9&12&-9&6&15\end{array}}\right]$

要解这个方程组，必须将矩阵化简为简化行阶梯形。

步骤1：交换第1行和第3行。现在所有前导零都在非零前导元素之下。

\left[{\begin{array}{rrrrrr}3&-9&12&-9&6&15\\3&-7&8&-5&8&9\\0&3&-6&6&4&-5\end{array}}\right]

步骤 2：将第 2 行替换为第 2 行加上第 1 行的 (-1) 倍。换句话说，从第 2 行中减去第 1 行。这将消除第 2 行的第一个元素。

\left[{\begin{array}{rrrrrr}3&-9&12&-9&6&15\\0&2&-4&4&2&-6\\0&3&-6&6&4&-5\end{array}}\right]

步骤 3：将第 2 行乘以 3，并将第 3 行乘以 2。这将消除第 3 行的第一个元素。

\left[{\begin{array}{rrrrrr}3&-9&12&-9&6&15\\0&6&-12&12&6&-18\\0&6&-12&12&8&-10\end{array}}\right]

步骤 4：将第 3 行替换为第 3 行加上第 2 行的 (-1) 倍。换句话说，从第 3 行中减去第 2 行。这将消除第 3 行的第二个元素。

\left[{\begin{array}{rrrrrr}3&-9&12&-9&6&15\\0&6&-12&12&6&-18\\0&0&0&0&2&8\end{array}}\right]

步骤 5：将每一行乘以其第一个非零元素的倒数。这将使每一行都以 1 开头。

\left[{\begin{array}{rrrrrr}1&-3&4&-3&2&5\\0&1&-2&2&1&-3\\0&0&0&0&1&4\end{array}}\right]

该矩阵现在处于行阶梯形：所有非零行都在任何全零行（没有零行）之上，每一行的首项元素都在其上方行的首项元素右侧的列中，并且首项元素下方列中的所有元素都为零。

如稍后将展示，从这种形式可以看出该系统有无限多个解。为了获得这些解，矩阵将进一步简化为简化行阶梯形。

步骤 6：将第 2 行替换为第 2 行加上第 3 行的 (-1) 倍，并将第 1 行替换为第 1 行加上第 3 行的 (-2) 倍。这将消除第 3 行首项元素上方的元素。
${\begin{bmatrix}1&-3&4&-3&0&-3\\0&1&-2&2&0&-7\\0&0&0&0&1&4\end{bmatrix}}$

步骤 7：将第 1 行替换为第 1 行加上第 2 行的 3 倍。这将消除第 2 行首项元素上方的元素。
${\begin{bmatrix}1&0&-2&3&0&-24\\0&1&-2&2&0&-7\\0&0&0&0&1&4\end{bmatrix}}$

这是简化行阶梯形，因为每个非零行的首项元素都是 1，并且每个首项元素 1 都是其列中唯一的非零元素。

由此可以读出系统的解
$x_{1}-2x_{3}+3x_{4}=-24$
$x_{2}-2x_{3}+2x_{4}=-7$
$x_{5}=4$
这些方程可以求解 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 和 $x_{5}$ 。
$x_{1}=2x_{3}-3x_{4}-24$
$x_{2}=2x_{3}-2x_{4}-7$
$x_{5}=4$
这是该系统的解。变量 $x_{3}$ 和 $x_{4}$ 可以取任何值，因此被称为自由变量。对于任何 $x_{3}$ 和 $x_{4}$ ，该解都是有效的。