线性代数/OLD/向量空间

向量空间是一种对向量集合的概念进行推广的方式。例如，复数 2+3i 可以被看作是一个向量，因为它在某种程度上是向量 ${\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}}$ .

向量空间是这些抽象对象的“空间”，我们称这些对象为“向量”。

一些熟悉的朋友

目前在我们对向量的研究中，我们已经研究了具有实数项的向量： $\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} ^{3},...,\mathbb {R} ^{n}$ ，等等。这些都是向量空间。在抽象到向量空间中，我们获得的优势是一种讨论空间的方式，而无需对任何特定的对象（定义我们的向量）、运算（作用于我们的向量）或坐标（在空间中识别我们的向量）进行选择。进一步的结果可以应用于可能具有无限维度的更一般的空间，例如在泛函分析中。

符号和概念

我们像以前一样用粗体写向量，但你应该在纸上用下划线或在顶部加一个箭头来写这些向量。因此，我们写 $\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$ 来表示那个向量。

当我们用一个标量数乘以一个向量时，我们通常用希腊字母来表示它，用 λv 来表示 v 乘以标量 λ。我们像以前一样写向量的加法和减法，x+y 表示向量 x 和 y 的和。

有了标量乘法和向量加法，我们就可以转向对向量空间的定义。

当我们提到一个运算在一个定义中是“封闭”的时候，我们是在说这个运算的结果没有违反我们的定义。例如，如果我们正在查看所有整数的集合，我们可以说它在加法下是封闭的，因为任何整数的加法都得到的是整数集合中的元素。但是整数的集合在除法下不是封闭的，因为 3 除以 2（例如）的结果就不是整数集合的成员。

定义

向量空间是一个非空集合 V，它包含称为向量的对象，在该集合上定义了两种运算，分别称为向量加法和标量乘法，使得对于 $x,y\in V$ 和 α $\in F$ ，其中 F 是一个域，x+y 和 αx 是 V 中定义良好的元素，具有以下性质

加法的交换律：x+y=y+x
加法的结合律：x+(y+z)=(x+y)+z
加法单位元：存在一个向量 0 使得对于所有 x，0+x=x
加法逆元：对于每个向量 x，存在另一个向量 y 使得 x+y =0

标量结合律：α(βx) = (αβ)x
标量分配律：(α + β)x=αx+βx
向量分配律：α(x+y)=αx+αy
标量单位元：1x=x

另一种定义

熟悉群论和域论的人可能会发现以下替代定义更简洁

$(V,+)$ 是一个阿贝尔群.
$\forall \alpha \in F,(\forall x,y\in V),\alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y$
$\forall \alpha ,\beta \in F,\forall x\in V,(\alpha +\beta )x=\alpha x+\beta x$
$\forall \alpha ,\beta \in F,\forall x\in V,(\alpha \beta )x=\alpha (\beta x)$
$\forall x\in V,1x=x$

一些基本定理

零向量是唯一的。
证明：设 0₁ 和 0₂ 都是零向量。那么 0₁=0₁+0₂=0₂。
加法逆元是唯一的。
证明：假设存在 x 和 y₁ 以及 y₂。是 x 的逆元，那么 y₁=y₁+(x+y₂)=(y₁+x)+y₂=y₂。
0x=0。
证明：设 y 是 x 的加法逆元。那么 0x= 0x + x + y = (0+1)x + y = x+y=0。
(-1)x 是 x 的逆元。
证明：x+(-1)x=(1-1)x=0x=0。

线性空间

线性空间是一个非常重要的向量空间。设 n₁, n₂, n₃, ..., n_k 是域 F 中的 k 个元素。那么有序 k 元组 (n₁, n₂, n₃, ..., n_k) 构成一个向量空间，其中加法是对应数字的和，而 F 中元素的标量乘法是将 k 元组中的每个元素乘以该元素的结果。这就是 k 维线性空间。

子空间

子空间是向量空间中的一个向量空间。当我们研究各种向量空间时，检查它们的子空间通常很有用。

向量空间 V 的子空间 S 意味着 S 是 V 的子集，并且它具有以下关键特征

S 在标量乘法下封闭：如果 λ∈R，v∈S，λv∈S
S 在加法下封闭：如果 u, v ∈ S，u+v∈S。

任何具有这些特征的子集都是一个向量空间。

平凡子空间

包含零向量的单元素集 ({0}) 是每个向量空间的子空间。

标量乘法封闭: a 0=0 对于 R 中的所有 a

加法封闭: 0+0=0。由于 0 是该集合中唯一的成员，因此我们只需要检查 0

零向量: 0 是该集合中唯一的成员，它是零向量。

例子

让我们检查一些熟悉向量空间的子空间，并看看如何证明向量空间的某个子集实际上是子空间。

一个稍微不平凡的子空间

在 R² 中，所有来自 R² 的形式为 (0,α) 的向量的集合 V，其中 α 在 R 中，是一个子空间

标量乘法封闭: a (0,α) = (0,a α) 并且 a α 在 R 中

加法封闭: (0,α) +(0,β) =(0, α + β) 并且 α + β 在 R 中

零向量: 在我们的 (0, α) 定义中，将 α 设为零，我们在 V 中得到零向量 (0,0)

一整个子空间族

从 R 中选择一个数字，比如 ρ。那么形式为 (α, ρα) 的所有向量的集合 V 是 R² 的子空间

标量乘法封闭: a (α, ρα) = (aα, ρaα)，它在 V 中。

加法封闭: (α, ρα) +(β, ρβ) =(α + β, ρα + ρβ) = (α+β, ρ(α+β))，它在 V 中

零向量: 在我们的定义中，将 α 设为零，我们得到 (0, ρ0) = (0,0) 在 V 中。

这意味着 V₂ = 形式为 (α,2α) 的所有向量的集合是 R² 的子空间

并且 V₃ = 形式为 (α,3α) 的所有向量的集合是 R² 的子空间

并且 V₄ = 形式为 (α,4α) 的所有向量的集合是 R² 的子空间

并且 V₅ = 形式为 (α,5α) 的所有向量的集合是 R² 的子空间

并且 V_π = 形式为 (α,πα) 的所有向量的集合是 R² 的子空间

并且 V_√2 = 形式为 $(\alpha ,{\sqrt {2}}\alpha )$ 的所有向量的集合是 R² 的子空间

正如您所看到的，即使是一个像 R² 这样简单的向量空间，也可以有许多不同的子空间。

线性组合、生成空间和生成集、线性相关性和线性无关性

线性组合

定义：假设 $V$ 是一个域 $(F,+,\cdot )$ 上的 *向量空间*，且 $S$ 是 $V$ 的一个非空子集。那么一个向量 $x\in V$ 被称为 $S$ 的元素的 **线性组合**，如果存在有限数量的元素 $y_{1},y_{2},...,y_{n}\in S$ 和 $a_{1},a_{2},...,a_{n}\in F$ 使得 $x=a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+...a_{n}y_{n}$ .

张成

定义：假设 $V$ 是一个域 $(F,+,\cdot )$ 上的 *向量空间*。所有 $y_{1},y_{2},...,y_{n}\in V$ 的线性组合的集合被称为 $y_{1},y_{2},...,y_{n}$ 的 **张成**。这有时用 $Span(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ 表示。

请注意， $Span(y_{1},y_{2},...,y_{n}\in V)$ 是 $V$ 的一个子空间。

证明：考虑两个向量 x 和 y 在向量 ${v_{1},v_{2},...,v_{n}}.$ 的生成空间中的加法和标量乘法封闭性。

$x=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+...+a_{n}v_{n}$

$y=b_{1}v_{1}+b_{2}v_{2}+...+b_{n}v_{n}$

$x+y=(a_{1}+b_{1})*v_{1}+(a_{2}+b_{2})*v_{2}+...+(a_{n}+b_{n})*v_{n}$ ，它也包含在该集合中。

$k*x=(k*a_{1})v_{1}+(k*a_{2})v_{2}+...+(k*a_{n})v_{n}$ ，它也包含在该集合中。

生成集

定义：假设 $V$ 是域 $(F,+,\cdot )$ 上的向量空间， $y_{1},y_{2},...,y_{n}$ 是该向量空间中的向量。集合 ${y_{1},y_{2},...,y_{n}}$ 是向量空间 $V$ 的生成集当且仅当 $V$ 中的每个向量都是 $y_{1},y_{2},...,y_{n}$ 的线性组合。或者， $\forall x\in V,(\exists a_{1},a_{2},...,a_{n}\in F),x=a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+...+a_{n}y_{n}$

线性无关

定义：假设 $V$ 是域 $(F,+,\cdot )$ 上的 *向量空间*，而 $S=\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}$ 是 $V$ 的有限子集。那么我们称 $S$ 线性无关，如果 $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...a_{n}x_{n}=0$ 意味着 $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}=0$ 。