线性代数/直线上的正交投影/解答

解答

此练习建议所有读者尝试。

问题 1

将第一个向量正交投影到由第二个向量所跨越的直线上。

${\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}3\\3\\12\end{pmatrix}}$

解答

每个都是定义 1.1中公式的直接应用。

$\displaystyle {\frac {{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}={\frac {4}{13}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}12/13\\-8/13\end{pmatrix}}$
$\displaystyle {\frac {{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}={\frac {2}{3}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}$
$\displaystyle {\frac {{\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}}={\frac {-1}{6}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1/6\\-1/3\\1/6\end{pmatrix}}$
$\displaystyle {\frac {{\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\3\\12\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}3\\3\\12\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\3\\12\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\3\\12\end{pmatrix}}={\frac {1}{3}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\3\\12\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}}$

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问题 2

将向量正交投影到直线上。

${\begin{pmatrix}2\\-1\\4\end{pmatrix}},\{c{\begin{pmatrix}-3\\1\\-3\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}$
${\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}$ , 直线 $y=3x$

解答

$\displaystyle {\frac {{\begin{pmatrix}2\\-1\\4\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-3\\1\\-3\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}-3\\1\\-3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-3\\1\\-3\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}-3\\1\\-3\end{pmatrix}}={\frac {-19}{19}}\cdot {\begin{pmatrix}-3\\1\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\-1\\3\end{pmatrix}}$
将这条直线写成 $\{c\cdot {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}$ 的形式，可以得到该投影。
${\frac {{\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}={\frac {-4}{10}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2/5\\-6/5\end{pmatrix}}$

问题 3

虽然定义 1.1 的发展是由图形引导的，但我们并不局限于可以绘制的空间。在 $\mathbb {R} ^{4}$ 中将该向量投影到该直线上。

{\vec {v}}={\begin{pmatrix}1\\2\\1\\3\end{pmatrix}}\qquad \ell =\{c\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}

解答

$\displaystyle {\frac {{\begin{pmatrix}1\\2\\1\\3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\\1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\\1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\\1\end{pmatrix}}={\frac {3}{4}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3/4\\3/4\\-3/4\\3/4\end{pmatrix}}$

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问题 4

定义 1.1 使用两个向量 ${\vec {s}}$ 和 ${\vec {v}}$ 。考虑 $\mathbb {R} ^{2}$ 的变换，它固定了

{\vec {s}}={\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}

并将 ${\vec {v}}$ 投影到 ${\vec {s}}$ 的生成线的线上。将它应用于这些向量。

${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}}$

证明一般来说投影变换是这样的。

{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}(x_{1}+3x_{2})/10\\(3x_{1}+9x_{2})/10\end{pmatrix}}

用矩阵表示此变换的动作。

解答

$\displaystyle {\frac {{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3/2\\1/2\end{pmatrix}}$
$\displaystyle {\frac {{\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}={\frac {2}{5}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6/5\\2/5\end{pmatrix}}$

一般来说，投影是这样的。

{\frac {{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}={\frac {3x_{1}+x_{2}}{10}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(9x_{1}+3x_{2})/10\\(3x_{1}+x_{2})/10\end{pmatrix}}

合适的矩阵是这样的。

{\begin{pmatrix}9/10&3/10\\3/10&1/10\end{pmatrix}}

问题 5

例 1.5 暗示投影将 ${\vec {v}}$ 分解成两个部分， ${\mbox{proj}}_{[{\vec {s}}\,]}({{\vec {v}}\,})$ 和 ${\vec {v}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {s}}\,]}({{\vec {v}}\,})$ ，它们是“不相互作用的”。回想一下，这两个是正交的。证明任何两个非零正交向量构成一个线性无关集。

解答

假设 ${\vec {v}}_{1}$ 和 ${\vec {v}}_{2}$ 是非零且正交的。考虑线性关系 $c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}={\vec {0}}$ 。将等式两边与 ${\vec {v}}_{1}$ 做点积，得到

{\vec {v}}_{1}\cdot (c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2})=c_{1}\cdot ({\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{1})+c_{2}\cdot ({\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{2})=c_{1}\cdot ({\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{1})+c_{2}\cdot 0=c_{1}\cdot ({\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{1})

等于 ${\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {0}}={\vec {0}}$ 。假设 ${\vec {v}}_{1}$ 非零，这表明 $c_{1}$ 为零。证明 $c_{2}$ 为零的过程类似。

问题 6

如果 ${\vec {v}}$ 是直线上的一个点，那么 ${\vec {v}}$ 在直线上的正交投影是什么？
证明如果 ${\vec {v}}$ 不在直线上，那么集合 $\{{\vec {v}},{\vec {v}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {s}}\,]}({{\vec {v}}\,})\}$ 是线性无关的。

解答

如果向量 ${\vec {v}}\,$ 在直线上，则其正交投影为 ${\vec {v}}$ 。为了通过计算验证这一点，请注意，由于 ${\vec {v}}\,$ 在直线上，我们有 ${\vec {v}}=c_{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}\,$ ，其中 $c_{\vec {v}}$ 是一个标量。
${\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\cdot {\vec {s}}={\frac {c_{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\cdot {\vec {s}}=c_{\vec {v}}\cdot {\frac {{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\cdot {\vec {s}}=c_{\vec {v}}\cdot 1\cdot {\vec {s}}={\vec {v}}$
(备注。如果我们假设 ${\vec {v}}\,$ 是非零向量，则上面的公式在取 ${\vec {s}}\,$ 为 ${\vec {v}}$ 后会简化为。
对于投影 ${\mbox{proj}}_{[{\vec {s}}\,]}({\vec {v}})$ ，写出 $c_{\vec {p}}{\vec {s}}\,$ 。注意，根据假设 ${\vec {v}}$ 不在直线上， ${\vec {v}}$ 和 ${\vec {v}}-c_{\vec {p}}{\vec {s}}\,$ 都不为零。同样地，如果 $c_{\vec {p}}\,$ 为零，那么我们实际上考虑的是单元素集 $\{{\vec {v}}\,\}$ ，且 ${\vec {v}}$ 不为零，该集合必然是线性无关的。因此，我们只需要考虑 $c_{\vec {p}}$ 不为零的情况。建立一个线性关系
$a_{1}({\vec {v}})+a_{2}({\vec {v}}-c_{\vec {p}}{\vec {s}})={\vec {0}}$
这导致了方程 $(a_{1}+a_{2})\cdot {\vec {v}}=a_{2}c_{\vec {p}}\cdot {\vec {s}}$ 。因为 ${\vec {v}}\,$ 不在直线上，标量 $a_{1}+a_{2}$ 和 $a_{2}c_{\vec {p}}$ 都必须为零。情况 $c_{\vec {p}}=0$ 在上面已经处理过了，所以剩下的情况是 $a_{2}=0$ ，这说明 $a_{1}=0$ 也是。因此，该集合是线性无关的。

问题 7

定义 1.1 要求 ${\vec {s}}\,$ 不为零。为什么？向量在零向量所跨越的（退化的）直线上的正交投影的正确定义是什么？

解答

如果 ${\vec {s}}\,$ 是零向量，则表达式

{\mbox{proj}}_{[{\vec {s}}\,]}({\vec {v}})={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\cdot {\vec {s}}

包含一个零除，因此是未定义的。至于正确定义，为了使投影位于零向量的跨度内，它必须被定义为 ${\vec {0}}$ 。

问题 8

所有向量都是某个向量在某条直线上的投影吗？

解答

在 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的任何向量都是某个向量在直线上的投影，前提是维度 $n$ 大于 1。（显然，任何向量都是其自身在包含自身的直线上的投影；问题是要找到除 ${\vec {v}}$ 之外的某个向量，其投影为 ${\vec {v}}$ 。）

Suppose that ${\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$ with $n>1$ . If ${\vec {v}}\neq {\vec {0}}$ then we consider the line $\ell =\{c{\vec {v}}\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}$ and if ${\vec {v}}={\vec {0}}$ we take $\ell$ to be any (nondegenerate) line at all (actually, we needn't distinguish between these two cases— see the prior exercise). Let $v_{1},\dots ,v_{n}$ be the components of ${\vec {v}}$ ; since $n>1$ , there are at least two. If some $v_{i}$ is zero then the vector ${\vec {w}}={\vec {e}}_{i}$ is perpendicular to ${\vec {v}}$ . If none of the components is zero then the vector ${\vec {w}}\,$ whose components are $v_{2},-v_{1},0,\dots ,0$ is perpendicular to ${\vec {v}}$ . In either case, observe that ${\vec {v}}+{\vec {w}}$ does not equal ${\vec {v}}$ , and that ${\vec {v}}$ is the projection of ${\vec {v}}+{\vec {w}}$ onto $\ell$ .

{\frac {({\vec {v}}+{\vec {w}})\cdot {\vec {v}}}{{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}\cdot {\vec {v}}={\bigl (}{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}{{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}+{\frac {{\vec {w}}\cdot {\vec {v}}}{{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}{\bigr )}\cdot {\vec {v}}={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}{{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}\cdot {\vec {v}}={\vec {v}}

我们可以排除剩下的 $n=0$ 和 $n=1$ 的情况。维度 $n=0$ 的情况是平凡的向量空间，这里只有一个向量，因此它不能表示为另一个向量的投影。在维度 $n=1$ 的情况下，只有一条（非退化的）直线，每个向量都在其中，因此每个向量都只是其自身的投影。

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问题 9

证明 ${\vec {v}}$ 向由 ${\vec {s}}$ 张成的直线上的投影长度等于数字 ${\vec {v}}\cdot {\vec {s}}$ 的绝对值除以向量 ${\vec {s}}$ 的长度。

解答

证明就是一个简单的计算。

|{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\cdot {\vec {s}}\,|=|{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}|\cdot |{\vec {s}}\,|={\frac {|{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}\,|}{|{\vec {s}}\,|^{2}}}\cdot |{\vec {s}}\,|={\frac {|{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}\,|}{|{\vec {s}}\,|}}

习题 10

求点到直线的距离公式。

解答

因为 ${\vec {v}}$ 向由 ${\vec {s}}$ 张成的直线上的投影是

{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\cdot {\vec {s}}

点到直线的距离平方为（向量自乘 ${\vec {w}}\cdot {\vec {w}}$ 写成 ${\vec {w}}^{2}$ ）。

{\begin{array}{rl}|{\vec {v}}-{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\cdot {\vec {s}}\,|^{2}&={\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-{\vec {v}}\cdot ({\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\cdot {\vec {s}})-({\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\cdot {\vec {s}}\,)\cdot {\vec {v}}+({\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\cdot {\vec {s}}\,)^{2}\\&={\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-2\cdot ({\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}})\cdot {\vec {v}}\cdot {\vec {s}}+({\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}})\cdot {\vec {s}}\cdot {\vec {s}}\\&={\frac {({\vec {v}}\cdot {\vec {v}}\,)\cdot ({\vec {s}}\cdot {\vec {s}}\,)-2\cdot ({\vec {v}}\cdot {\vec {s}}\,)^{2}+({\vec {v}}\cdot {\vec {s}}\,)^{2}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\\&={\frac {({\vec {v}}\cdot {\vec {v}}\,)({\vec {s}}\cdot {\vec {s}}\,)-({\vec {v}}\cdot {\vec {s}}\,)^{2}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\end{array}}

问题 11

找到标量 $c$ 使得 $(cs_{1},cs_{2})$ 与点 $(v_{1},v_{2})$ 之间的距离最小，使用微积分方法（即，考虑距离函数，将一阶导数设置为零，并求解）。将结果推广到 $\mathbb {R} ^{n}$ 。

解答

因为平方根是严格单调递增函数，我们可以最小化 $d(c)=(cs_{1}-v_{1})^{2}+(cs_{2}-v_{2})^{2}$ 而不是 $d$ 的平方根。导数是 $dd/dc=2(cs_{1}-v_{1})\cdot s_{1}+2(cs_{2}-v_{2})\cdot s_{2}$ 。将其设置为零 $2(cs_{1}-v_{1})\cdot s_{1}+2(cs_{2}-v_{2})\cdot s_{2}=c\cdot (2s_{1}^{2}+2s_{2}^{2})-(2v_{1}s_{1}+2v_{2}s_{2})=0$ 给出了唯一的临界点。

c={\frac {v_{1}s_{1}+v_{2}s_{2}}{{s_{1}}^{2}+{s_{2}}^{2}}}={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}

现在关于 $c$ 的二阶导数

{\frac {d^{2}\,d}{dc^{2}}}=2{s_{1}}^{2}+2{s_{2}}^{2}

严格为正（只要 $s_{1}$ 和 $s_{2}$ 都不是零，在这种情况下问题是平凡的），因此临界点是一个最小值。

推广到 $\mathbb {R} ^{n}$ 是直截了当的。考虑 $d_{n}(c)=(cs_{1}-v_{1})^{2}+\dots +(cs_{n}-v_{n})^{2}$ ，求导数，等等。

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问题 12

证明向量在一条直线上的正交投影比该向量短。

解答

柯西-施瓦茨不等式 $|{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}\,|\leq |{\vec {v}}\,|\cdot |{\vec {s}}\,|$ 说明这个分数

|{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\cdot {\vec {s}}\,|=|{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}|\cdot |{\vec {s}}\,|={\frac {|{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}\,|}{|{\vec {s}}\,|^{2}}}\cdot |{\vec {s}}\,|={\frac {|{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}\,|}{|{\vec {s}}\,|}}

除以 $|{\vec {v}}\,|$ 小于或等于 1。也就是说， $|{\vec {v}}\,|$ 大于或等于该分数。

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问题 13

证明在一条直线上进行正交投影的定义不依赖于跨越向量：如果 ${\vec {s}}$ 是 ${\vec {q}}$ 的非零倍数，则 $({\vec {v}}\cdot {\vec {s}}/{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}\,)\cdot {\vec {s}}$ 等于 $({\vec {v}}\cdot {\vec {q}}/{\vec {q}}\cdot {\vec {q}}\,)\cdot {\vec {q}}$ 。

解答

写下 $c{\vec {s}}$ ，并计算： $({\vec {v}}\cdot c{\vec {s}}/c{\vec {s}}\cdot c{\vec {s}}\,)\cdot c{\vec {s}}=({\vec {v}}\cdot {\vec {s}}/{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}\,)\cdot {\vec {s}}$ 。

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问题 14

考虑将平面映射到自身上的函数，该函数将向量映射到其在直线 $y=x$ 上的投影。这两个都表明该映射是线性的，第一个以与坐标相关的形式（即，它固定了一个基，然后进行计算），而第二个则更具概念性。

生成一个矩阵来描述该函数的作用。
还表明，该映射可以通过首先将平面上的所有内容顺时针旋转 $\pi /4$ 弧度，然后投影到 $x$ 轴，然后逆时针旋转 $\pi /4$ 弧度来获得。

解答

固定
${\vec {s}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$
作为跨度为直线的向量，公式给出了此动作。
${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\frac {{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\frac {x+y}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(x+y)/2\\(x+y)/2\end{pmatrix}}$
这是此矩阵的效果。
${\begin{pmatrix}1/2&1/2\\1/2&1/2\end{pmatrix}}$
将整个平面顺时针旋转 $\pi /4$ 弧度，将 $y=x$ 直线移动到 $x$ 轴上。现在投影然后再旋转回来，就达到了预期的效果。

问题 15

For ${\vec {a}},{\vec {b}}\in \mathbb {R} ^{n}$ let ${\vec {v}}_{1}$ be the projection of ${\vec {a}}$ onto the line spanned by ${\vec {b}}$ , let ${\vec {v}}_{2}$ be the projection of ${\vec {v}}_{1}$ onto the line spanned by ${\vec {a}}$ , let ${\vec {v}}_{3}$ be the projection of ${\vec {v}}_{2}$ onto the line spanned by ${\vec {b}}$ , etc., back and forth between the spans of ${\vec {a}}$ and ${\vec {b}}$ . That is, ${\vec {v}}_{i+1}$ is the projection of ${\vec {v}}_{i}$ onto the span of ${\vec {a}}$ if $i+1$ is even, and onto the span of ${\vec {b}}$ if $i+1$ is odd. Must that sequence of vectors eventually settle down— must there be a sufficiently large $i$ such that ${\vec {v}}_{i+2}$ equals ${\vec {v}}_{i}$ and ${\vec {v}}_{i+3}$ equals ${\vec {v}}_{i+1}$ ? If so, what is the earliest such $i$ ?