线性代数/正交投影到直线

我们首先考虑正交投影到直线。为了将向量${\vec {v}}$正交投影到直线$\ell$上，标记直线上一个点，站在该点的人能够直视${\vec {v}}$（从该人的角度看）。

图片显示了一个人沿直线行走，直到${\vec {v}}$的顶点直接在头顶上。也就是说，当直线被描述为非零向量$\ell =\{c\cdot {\vec {s}}\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}$的跨度时，这个人已经走到了找到系数$c_{\vec {p}}\,$的位置，该系数具有属性${\vec {v}}-c_{\vec {p}}\cdot {\vec {s}}\,$正交于$c_{\vec {p}}\cdot {\vec {s}}$。

我们可以通过以下方法求解这个系数：注意到，由于${\vec {v}}-c_{\vec {p}}{\vec {s}}\,$ 与${\vec {s}}\,$ 的一个标量倍数正交，它必须与${\vec {s}}\,$ 本身正交，因此，点积$({\vec {v}}-c_{\vec {p}}{\vec {s}})\cdot {\vec {s}}\,$ 为零，得出$c_{\vec {p}}={\vec {v}}\cdot {\vec {s}}/{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}$。

定义 1.1

${\vec {v}}$ 到由非零向量 ${\vec {s}}\,$ 张成的直线上的正交投影 就是这个向量。

${\mbox{proj}}_{[{\vec {s}}\,]}({\vec {v}})={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}{\vec {s}}$

问题 13 检验了计算结果仅取决于直线，而不取决于用于描述该直线的向量 ${\vec {s}}\,$。

备注 1.2

该定义的措辞使用了“由 ${\vec {s}}\,$ 张成”，而不是更正式的“集合 $\{{\vec {s}}\,\}$ 的生成”。这种非正式的说法很常见。

示例 1.3

为了将向量 ${\binom {2}{3}}$ 正交投影到直线 $y=2x$ 上，我们首先选择直线的一个方向向量。例如，

${\vec {s}}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$

就可以。那么计算就变得很常规了。

${\frac {{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}={\displaystyle {\frac {8}{5}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8/5\\16/5\end{pmatrix}}$

示例 1.4

在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中，一般向量

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$

到 $y$ 轴的正交投影是

${\frac {{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\y\\0\end{pmatrix}}$

这与我们的直观预期相符。

上面的图片中，小人沿着直线行走，直到 ${\vec {v}}$ 的顶点在头顶上，这是一种思考向量在直线上的正交投影的方式。我们用另外两种方式来结束本小节。

示例 1.5

一辆没有刹车的火车停放在东西方向的轨道上，被一股向东北方向吹来的时速十五英里的风推动；这辆火车会达到什么速度？

对于风，我们使用一个长度为 $15$ 的指向东北方向的向量。

${\vec {v}}={\begin{pmatrix}15{\sqrt {1/2}}\\15{\sqrt {1/2}}\end{pmatrix}}$

火车只能受到向东西方向吹的风的影响——即 ${\vec {v}}$ 在 $x$ 轴方向上的分量。它就是这个（图片与上面火车图片的视角相同）。

$\displaystyle {\vec {p}}={\begin{pmatrix}15{\sqrt {1/2}}\\0\end{pmatrix}}$

因此，汽车将达到$15{\sqrt {1/2}}$ 英里每小时的速度向东行驶。

因此，另一种思考定义之前图片的方法是，它显示了${\vec {v}}$ 被分解为两个部分，一部分是带线的（这里，是带有轨道的部分，${\vec {p}}$），另一部分则是与线正交的（这里显示在南北轴线上）。 这两个是“不相互作用”或“独立”的，因为东西方向的汽车不受南北方向的风的影响（见问题 5）。 因此，${\vec {v}}$ 到由${\vec {s}}\,$ 张成的直线的正交投影可以被认为是${\vec {v}}\,$ 在${\vec {s}}$ 方向上的部分。

最后，另一种理解正交投影的有用方法是让人不要站在直线上，而是站在要投影到直线的向量上。这个人有一条绳子跨过直线，然后拉紧绳子，自然地使绳子与直线正交。

也就是说，我们可以将投影${\vec {p}}\,$ 视为直线上最接近${\vec {v}}$ 的向量（见问题 11）。

示例 1.6

一艘潜艇正在追踪一艘沿直线$y=3x+2$ 行驶的船只。鱼雷射程为半英里。潜艇可以停留在图表中所示的原点，还是必须移动到船只会在射程内经过的地方？

投影到直线的公式不能直接应用，因为直线没有通过原点，所以不是任何${\vec {s}}$ 的跨度。为了调整这一点，我们首先将整个地图向下移动两个单位。现在，这条直线是$y=3x$，这是一个子空间，我们可以投影得到最近点${\vec {p}}$，即通过原点的直线上最接近于

${\vec {v}}={\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}}$

潜艇的偏移位置。

${\vec {p}}={\frac {{\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3/5\\-9/5\end{pmatrix}}$

${\vec {v}}$ 和 ${\vec {p}}$ 之间的距离约为 $0.63$ 英里，因此潜艇必须移动才能进入射程。

本小节已经开发了一个自然投影映射：到直线的正交投影。正如示例所示，它在应用中经常用到。下一小节将展示到直线的正交投影定义如何为我们提供了一种计算向量空间的特别方便的基的方法，这在应用中也很常见。最后一个小节将完全概括到任何子空间的投影，无论是正交的还是非正交的。

练习

推荐所有读者练习这道题。

问题 1

将第一个向量正交投影到由第二个向量跨越的直线上。

1. ${\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}3\\3\\12\end{pmatrix}}$

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问题 2

将向量正交投影到直线上。

1. ${\begin{pmatrix}2\\-1\\4\end{pmatrix}},\{c{\begin{pmatrix}-3\\1\\-3\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}$
2. ${\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}$, 直线 $y=3x$

问题 3

虽然 定义 1.1 的发展是根据图片进行的，但我们并不局限于可以绘制的空间。在 $\mathbb {R} ^{4}$ 中将该向量投影到该直线上。

${\vec {v}}={\begin{pmatrix}1\\2\\1\\3\end{pmatrix}}\qquad \ell =\{c\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}$

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问题 4

定义 1.1 使用了两个向量 ${\vec {s}}$ 和 ${\vec {v}}$。考虑 $\mathbb {R} ^{2}$ 的变换，该变换固定

${\vec {s}}={\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}$

并将 ${\vec {v}}$ 投影到 ${\vec {s}}$ 的跨度形成的直线上。将它应用于这些向量。

1. ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}}$

证明一般情况下，投影变换是这个。

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}(9x_{1}+3x_{2})/10\\(3x_{1}+x_{2})/10\end{pmatrix}}$

用矩阵表示该变换的作用。

问题 5

示例 1.5 表明将投影分解为 ${\vec {v}}$ 的两个部分， ${\mbox{proj}}_{[{\vec {s}}\,]}({{\vec {v}}\,})$ 和 ${\vec {v}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {s}}\,]}({{\vec {v}}\,})$，它们是“不相互作用的”。回顾一下，这两个向量是正交的。证明任意两个非零正交向量构成一个线性无关集。

问题 6

1. 如果 ${\vec {v}}$ 是该直线上的一个向量，那么 ${\vec {v}}$ 到直线的正交投影是什么？
2. 证明如果 ${\vec {v}}$ 不在直线上，那么集合 $\{{\vec {v}},{\vec {v}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {s}}\,]}({{\vec {v}}\,})\}$ 是线性无关的。

问题 7

定义 1.1 要求 ${\vec {s}}\,$ 为非零向量。为什么？向量到由零向量所跨越的（退化）直线的正交投影的正确定义是什么？

问题 8

所有向量都是某个向量到某条直线的投影吗？

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问题 9

证明 ${\vec {v}}$ 到由 ${\vec {s}}$ 所跨越的直线的投影的长度等于数字 ${\vec {v}}\cdot {\vec {s}}$ 的绝对值除以向量 ${\vec {s}}$ 的长度。

问题 10

求点到直线的距离公式。

问题 11

找到标量 $c$ 使得 $(cs_{1},cs_{2})$ 到点 $(v_{1},v_{2})$ 的距离最小，使用微积分方法（即考虑距离函数，将一阶导数设为零，然后求解）。将其推广到 $\mathbb {R} ^{n}$.

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问题 12

证明向量在直线上的正交投影比向量本身短。

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问题 13

证明在直线上的正交投影定义与生成向量无关：如果 ${\vec {s}}$ 是 ${\vec {q}}$ 的非零倍数，那么 $({\vec {v}}\cdot {\vec {s}}/{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}\,)\cdot {\vec {s}}$ 等于 $({\vec {v}}\cdot {\vec {q}}/{\vec {q}}\cdot {\vec {q}}\,)\cdot {\vec {q}}$.

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问题 14

考虑将平面映射到自身的函数，该函数将向量映射到其在直线 $y=x$ 上的投影。这两个都表明映射是线性的，第一个是与坐标相关的（即它固定了一个基，然后计算），而第二个是更概念性的。

1. 生成一个矩阵来描述该函数的作用。
2. 同时说明该映射可以通过先将平面上的所有点顺时针旋转 $\pi /4$ 弧度，然后投影到 $x$ 轴，然后逆时针旋转 $\pi /4$ 弧度而得到。

问题 15

For ${\vec {a}},{\vec {b}}\in \mathbb {R} ^{n}$ let ${\vec {v}}_{1}$ be the projection of ${\vec {a}}$ onto the line spanned by ${\vec {b}}$, let ${\vec {v}}_{2}$ be the projection of ${\vec {v}}_{1}$ onto the line spanned by ${\vec {a}}$, let ${\vec {v}}_{3}$ be the projection of ${\vec {v}}_{2}$ onto the line spanned by ${\vec {b}}$, etc., back and forth between the spans of ${\vec {a}}$ and ${\vec {b}}$. That is, ${\vec {v}}_{i+1}$ is the projection of ${\vec {v}}_{i}$ onto the span of ${\vec {a}}$ if $i+1$ is even, and onto the span of ${\vec {b}}$ if $i+1$ is odd. Must that sequence of vectors eventually settle down— must there be a sufficiently large $i$ such that ${\vec {v}}_{i+2}$ equals ${\vec {v}}_{i}$ and ${\vec {v}}_{i+3}$ equals ${\vec {v}}_{i+1}$? If so, what is the earliest such $i$?

解答