线性代数/行列式性质/解答

解答

对于这些，假设一个 $n\!\times \!n$ 行列式函数对于所有 $n$ 都存在。

建议所有读者练习。

问题 1

使用高斯消元法求解每个行列式。

${\begin{vmatrix}3&1&2\\3&1&0\\0&1&4\end{vmatrix}}$
${\begin{vmatrix}1&0&0&1\\2&1&1&0\\-1&0&1&0\\1&1&1&0\end{vmatrix}}$

解答

${\begin{vmatrix}3&1&2\\3&1&0\\0&1&4\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}3&1&2\\0&0&-2\\0&1&4\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}3&1&2\\0&1&4\\0&0&-2\end{vmatrix}}=6$
${\begin{vmatrix}1&0&0&1\\2&1&1&0\\-1&0&1&0\\1&1&1&0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&0&0&1\\0&1&1&-2\\0&0&1&1\\0&1&1&-1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&0&0&1\\0&1&1&-2\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{vmatrix}}=1$

问题 2: 使用高斯消元法求解每个。

${\begin{vmatrix}2&-1\\-1&-1\end{vmatrix}}$
${\begin{vmatrix}1&1&0\\3&0&2\\5&2&2\end{vmatrix}}$

解答

${\begin{vmatrix}2&-1\\-1&-1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}2&-1\\0&-3/2\end{vmatrix}}=-3$ ;
${\begin{vmatrix}1&1&0\\3&0&2\\5&2&2\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&1&0\\0&-3&2\\0&-3&2\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&1&0\\0&-3&2\\0&0&0\end{vmatrix}}=0$

问题 3

对于哪些 $k$ 的值，该系统具有唯一解？

{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&&&+&z&-&w&=&2\\&&y&-&2z&&&=&3\\x&&&+&kz&&&=&4\\&&&&z&-&w&=&2\end{array}}

解答

什么时候行列式不为零？

{\begin{vmatrix}1&0&1&-1\\0&1&-2&0\\1&0&k&0\\0&0&1&-1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&0&1&-1\\0&1&-2&0\\0&0&k-1&1\\0&0&1&-1\end{vmatrix}}

显然， $k=1$ 会使矩阵非奇异，从而得到一个非零行列式。如果 $k\neq 1$ ，那么我们得到一个以 $(-1/k-1)\rho _{3}+\rho _{4}$ 为主元的阶梯形式。

={\begin{vmatrix}1&0&1&-1\\0&1&-2&0\\0&0&k-1&1\\0&0&0&-1-(1/k-1)\end{vmatrix}}

沿对角线相乘得到 $(k-1)(-1-(1/k-1))=-(k-1)-1=-k$ 。因此，当且仅当 $k\neq 0$ 时，该矩阵具有非零行列式，从而系统具有唯一解。

建议所有读者练习。

问题 4

用 $\left|H\right|$ 表示这些表达式。

${\begin{vmatrix}h_{3,1}&h_{3,2}&h_{3,3}\\h_{2,1}&h_{2,2}&h_{2,3}\\h_{1,1}&h_{1,2}&h_{1,3}\end{vmatrix}}$
${\begin{vmatrix}-h_{1,1}&-h_{1,2}&-h_{1,3}\\-2h_{2,1}&-2h_{2,2}&-2h_{2,3}\\-3h_{3,1}&-3h_{3,2}&-3h_{3,3}\end{vmatrix}}$
${\begin{vmatrix}h_{1,1}+h_{3,1}&h_{1,2}+h_{3,2}&h_{1,3}+h_{3,3}\\h_{2,1}&h_{2,2}&h_{2,3}\\5h_{3,1}&5h_{3,2}&5h_{3,3}\end{vmatrix}}$

解答

行列式定义的性质 (2) 通过交换 $\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{3}$ 应用。
${\begin{vmatrix}h_{3,1}&h_{3,2}&h_{3,3}\\h_{2,1}&h_{2,2}&h_{2,3}\\h_{1,1}&h_{1,2}&h_{1,3}\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}h_{1,1}&h_{1,2}&h_{1,3}\\h_{2,1}&h_{2,2}&h_{2,3}\\h_{3,1}&h_{3,2}&h_{3,3}\end{vmatrix}}$
性质 (3) 应用。
${\begin{vmatrix}-h_{1,1}&-h_{1,2}&-h_{1,3}\\-2h_{2,1}&-2h_{2,2}&-2h_{2,3}\\-3h_{3,1}&-3h_{3,2}&-3h_{3,3}\end{vmatrix}}=(-1)\cdot (-2)\cdot (-3)\cdot {\begin{vmatrix}h_{1,1}&h_{1,2}&h_{1,3}\\h_{2,1}&h_{2,2}&h_{2,3}\\h_{3,1}&h_{3,2}&h_{3,3}\end{vmatrix}}=(-6)\cdot {\begin{vmatrix}h_{1,1}&h_{1,2}&h_{1,3}\\h_{2,1}&h_{2,2}&h_{2,3}\\h_{3,1}&h_{3,2}&h_{3,3}\end{vmatrix}}$
${\begin{array}{rl}{\begin{vmatrix}h_{1,1}+h_{3,1}&h_{1,2}+h_{3,2}&h_{1,3}+h_{3,3}\\h_{2,1}&h_{2,2}&h_{2,3}\\5h_{3,1}&5h_{3,2}&5h_{3,3}\end{vmatrix}}&=5\cdot {\begin{vmatrix}h_{1,1}+h_{3,1}&h_{1,2}+h_{3,2}&h_{1,3}+h_{3,3}\\h_{2,1}&h_{2,2}&h_{2,3}\\h_{3,1}&h_{3,2}&h_{3,3}\end{vmatrix}}\\&=5\cdot {\begin{vmatrix}h_{1,1}&h_{1,2}&h_{1,3}\\h_{2,1}&h_{2,2}&h_{2,3}\\h_{3,1}&h_{3,2}&h_{3,3}\end{vmatrix}}\end{array}}$

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问题 5

求一个对角矩阵的行列式。

解答

对角矩阵是阶梯形，所以行列式是沿着对角线的乘积。

问题 6

如果系数矩阵的行列式不为零，描述齐次线性方程组的解集。

解答

它是平凡子空间。

建议所有读者练习。

问题 7

证明这个行列式为零。

{\begin{vmatrix}y+z&x+z&x+y\\x&y&z\\1&1&1\end{vmatrix}}

解答

通过将第二行加到第一行来进行主元操作，得到一个矩阵，其第一行是 $x+y+z$ 乘以第三行。

问题 8

找到 $1\!\times \!1$ 、 $2\!\times \!2$ 和 $3\!\times \!3$ 矩阵，其中 $i,j$ 项由 $(-1)^{i+j}$ 给出。
找到 $i,j$ 项为 $(-1)^{i+j}$ 的方阵的行列式。

解答

${\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}}$ ， ${\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}}$ ， ${\begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&1&-1\\1&-1&1\end{pmatrix}}$
$1\!\times \!1$ 情况下的行列式为 $1$ 。在其他所有情况下，第二行是第一行的负数，因此矩阵是奇异的，行列式为零。

问题 9

找到 $1\!\times \!1$ 、 $2\!\times \!2$ 和 $3\!\times \!3$ 矩阵，其中 $i,j$ 项由 $i+j$ 给出。
找到 $i,j$ 项为 $i+j$ 的方阵的行列式。

解答

${\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}2&3\\3&4\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}2&3&4\\3&4&5\\4&5&6\end{pmatrix}}$
的 $1\!\times \!1$ 和 $2\!\times \!2$ 的情况得到以下结果。
${\begin{vmatrix}2\end{vmatrix}}=2\qquad {\begin{vmatrix}2&3\\3&4\end{vmatrix}}=-1$
而且 $n\!\times \!n$ 矩阵，其中 $n\geq 3$ 是奇异的，例如：
${\begin{vmatrix}2&3&4\\3&4&5\\4&5&6\end{vmatrix}}=0$
因为第二行的两倍减去第一行等于第三行。检查这是例行的。

建议所有读者练习。

问题 10

解答

这个

A=B={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}

很容易检查。

\left|A+B\right|={\begin{vmatrix}2&4\\6&8\end{vmatrix}}=-8\qquad \left|A\right|+\left|B\right|=-2-2=-4

顺便说一下，这也给出了一个例子，说明标量乘法没有保留 $\left|2\cdot A\right|\neq 2\cdot \left|A\right|$ 。

问题 11

定义中的第二个条件，即行交换会改变行列式的符号，有点烦人。这意味着我们必须跟踪交换的次数，以计算符号如何交替。我们可以摆脱它吗？我们可以用行交换使行列式保持不变的条件来代替它吗？ (如果是这样，那么我们将需要新的 $1\!\times \!1$ ， $2\!\times \!2$ 和 $3\!\times \!3$ 公式，但这将是一个小问题。）

解答

不，我们不能替换它。备注 2.2 表明替换后的四个条件会产生冲突 - 没有函数能满足所有四个条件。

问题 12

证明任何三角矩阵（上三角或下三角）的行列式等于其对角线上的元素的乘积。

解答

上三角矩阵是阶梯形式的。

下三角矩阵要么是奇异的，要么是非奇异的。如果它是奇异的，那么它在对角线上有一个零，因此它的行列式（即零）确实是其对角线上元素的乘积。如果它是非奇异的，那么它在对角线上没有零，并且可以通过高斯消元法将其化简为阶梯形式，而不会改变对角线。

问题 13

请参考矩阵乘法机制部分中对初等矩阵的定义。

每种初等矩阵的行列式是多少？
证明如果 $E$ 是任何初等矩阵，则 $\left|ES\right|=\left|E\right|\left|S\right|$ 对于任何适当大小的 $S$ 。
(这个问题不涉及行列式。) 证明如果 $T$ 是奇异的，则乘积 $TS$ 也是奇异的。
证明 $\left|TS\right|=\left|T\right|\left|S\right|$ 。
证明如果 $T$ 是非奇异的，则 $\left|T^{-1}\right|=\left|T\right|^{-1}$ 。

解答

行列式的定义中的性质表明 $\left|M_{i}(k)\right|=k$ ， $\left|P_{i,j}\right|=-1$ ，以及 $\left|C_{i,j}(k)\right|=1$ 。
通过回顾每种矩阵的左乘作用，很容易检查这三种情况。
如果 $TS$ 是可逆的 $(TS)M=I$ ，则矩阵乘法的结合律 $T(SM)=I$ 表明 $T$ 是可逆的。因此，如果 $T$ 不可逆，则 $TS$ 也不可逆。
如果 $T$ 是奇异的，那么应用前面的答案： $\left|TS\right|=0$ 以及 $\left|T\right|\cdot \left|S\right|=0\cdot \left|S\right|=0$ 。如果 $T$ 不是奇异的，那么它可以写成初等矩阵的乘积 $\left|TS\right|=\left|E_{r}\cdots E_{1}S\right|=\left|E_{r}\right|\cdots \left|E_{1}\right|\cdot \left|S\right|=\left|E_{r}\cdots E_{1}\right|\left|S\right|=\left|T\right|\left|S\right|$ .
$1=\left|I\right|=\left|T\cdot T^{-1}\right|=\left|T\right|\left|T^{-1}\right|$

问题 14

证明乘积的行列式等于行列式的乘积 $\left|TS\right|=\left|T\right|\,\left|S\right|$ 。以这种方式固定 $n\!\times \!n$ 矩阵 $S$ 并考虑函数 $d:{\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}\to \mathbb {R}$ 由此给出 $T\mapsto \left|TS\right|/\left|S\right|$ .

检查 $d$ 是否满足行列式函数定义中的性质 (1)。
检查性质 (2)。
检查性质 (3)。
检查性质 (4)。
得出结论：乘积的行列式等于行列式的乘积。

解答

我们必须证明如果
$T{\xrightarrow[{}]{k\rho _{i}+\rho _{j}}}{\hat {T}}$
然后 $d(T)=\left|TS\right|/\left|S\right|=\left|{\hat {T}}S\right|/\left|S\right|=d({\hat {T}})$ 。如果我们证明先进行主元运算，然后进行矩阵乘法得到 ${\hat {T}}S$ 与先进行矩阵乘法得到 $TS$ 然后进行主元运算结果相同（因为行列式 $\left|TS\right|$ 不受主元运算的影响，所以我们最终将得到 $\left|{\hat {T}}S\right|=\left|TS\right|$ ，因此 $d({\hat {T}})=d(T)$ ）。该论证如下：在将 $TS$ 的第 $i$ 行乘以 $k$ 加到第 $j$ 行后，第 $j,p$ 个元素是 $(kt_{i,1}+t_{j,1})s_{1,p}+\dots +(kt_{i,r}+t_{j,r})s_{r,p}$ ，它也是 ${\hat {T}}S$ 的第 $j,p$ 个元素。
我们只需要证明交换 $T[b]{\xrightarrow[{}]{\rho _{i}\leftrightarrow \rho _{j}}}{\hat {T}}$ ，然后相乘得到 ${\hat {T}}S$ 的结果与先将 $T$ 乘以 $S$ ，然后再交换（因为，由于行列式 $\left|TS\right|$ 在行交换时会改变符号，因此我们将得到 $\left|{\hat {T}}S\right|=-\left|TS\right|$ ，因此 $d({\hat {T}})=-d(T)$ ）。这个论证与之前的论证类似。
不出所料，我们只需要证明将行乘以非零标量 $T[b]{\xrightarrow[{}]{k\rho _{i}}}{\hat {T}}$ ，然后计算 ${\hat {T}}S$ 的结果与先计算 $TS$ 然后将行乘以 $k$ （因为行列式 $\left|TS\right|$ 在乘法时被 $k$ 重新缩放，我们将得到 $\left|{\hat {T}}S\right|=k\left|TS\right|$ ，因此 $d({\hat {T}})=k\,d(T)$ ）。该论证与上述论证相同。
清楚。
因为我们已经证明 $d(T)$ 是一个行列式，并且行列式函数（如果存在）是唯一的，因此 $\left|T\right|=d(T)=\left|TS\right|/\left|S\right|$ 。

问题 15

给定矩阵 $A$ 的 **子矩阵** 是通过删除 $A$ 中的某些行和列而得到的矩阵。因此，这里的第一个矩阵是第二个矩阵的子矩阵。

{\begin{pmatrix}3&1\\2&5\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}3&4&1\\0&9&-2\\2&-1&5\end{pmatrix}}

证明对于任何方阵，矩阵的秩为 $r$ 当且仅当 $r$ 是存在一个 $r\!\times \!r$ 子矩阵，且该子矩阵行列式不为零，的最大整数。

解答

首先我们论证一个秩为 $r$ 的矩阵存在一个 $r\!\times \!r$ 子矩阵，且该子矩阵行列式不为零。秩为 $r$ 的矩阵有一组线性无关的 $r$ 行。由这些行组成的矩阵的秩为 $r$ ，因此它的列秩为 $r$ 。结论：从这些 $r$ 行中可以提取出一组线性无关的 $r$ 列，因此原始矩阵存在一个秩为 $r$ 的 $r\!\times \!r$ 子矩阵。

最后，我们证明了如果 $r$ 是最大的整数，则矩阵的秩为 $r$ 。根据 $r$ 的最大性，我们只需要证明，如果一个矩阵有一个 $k\!\times \!k$ 子矩阵，其行列式不为零，则该矩阵的秩至少为 $k$ 。考虑这样一个 $k\!\times \!k$ 子矩阵。它的行是原矩阵行的部分，显然，整行集是线性无关的。因此，原矩阵的行秩至少为 $k$ ，并且矩阵的行秩等于它的秩。

建议所有读者练习。

问题 16

证明一个具有有理数元素的矩阵具有有理数行列式。

解答

一个只有有理数元素的矩阵可以用高斯消元法用有理数运算简化为阶梯型矩阵。因此，对角线上的元素必须是有理数，所以沿对角线相乘的结果是有理数。

？问题 17

找出以下操作的相似之处：（a）简化分数，（b）补粉，（c）在教堂上修建新的台阶，（d）让名誉教授留在校园里，（e）在行列式中将 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 。

{\begin{vmatrix}1&a&a^{2}&a^{3}\\a^{3}&1&a&a^{2}\\B&a^{3}&1&a\\C&D&a^{3}&1\end{vmatrix}}.

(Anning & Trigg 1953)

解答

这是引用的来源给出的答案。

行列式的值 $(1-a^{4})^{3}$ 与 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 的值无关。因此，操作（e）不会改变行列式的值，而仅仅是改变它的外观。因此，（a）、（b）、（c）、（d）和（e）的相似之处仅在于主体的外观发生了变化。同样的元素出现在（f）改变玫瑰的名称标签，（g）用 12 进制写一个十进制整数，（h）给百合花镀金，（i）粉饰政治人物，以及（j）授予名誉学位。

参考文献

Anning, Norman (proposer); Trigg, C. W. (solver) (1953), "Elementary problem 1016", American Mathematical Monthly, American Mathematical Society, 60 (2): 115 {{citation}}: Unknown parameter |month= ignored (help).