线性代数/行列式的性质

线性代数
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如上所述，我们需要一个公式来确定一个 $n\!\times \!n$ 矩阵是否是非奇异的。我们不会从给出这样的公式开始。相反，我们将从考虑这样一个公式计算的函数开始。我们将通过它的性质来定义这个函数，然后证明具有这些性质的函数存在且唯一，并且还会描述计算这个函数的公式。（因为我们将证明这个函数存在且唯一，从一开始我们将说 " $\det(T)$ " 而不是 “如果存在一个行列式函数，那么 $\det(T)$ " 以及 “行列式” 而不是 “任何行列式”。）

定义 2.1

一个 $n\!\times \!n$ 行列式 是一个函数 $\det :{\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}\to \mathbb {R}$ ，使得

$\det({\vec {\rho }}_{1},\dots ,k\cdot {\vec {\rho }}_{i}+{\vec {\rho }}_{j},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})=\det({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {\rho }}_{j},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})$ 对于 $i\neq j$
$\det({\vec {\rho }}_{1},\ldots ,{\vec {\rho }}_{j},\dots ,{\vec {\rho }}_{i},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})=-\det({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {\rho }}_{i},\dots ,{\vec {\rho }}_{j},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})$ 对于 $i\neq j$
$\det({\vec {\rho }}_{1},\dots ,k{\vec {\rho }}_{i},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})=k\cdot \det({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {\rho }}_{i},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})$ 当 $k\neq 0$
$\det(I)=1$ 其中 $I$ 是单位矩阵

( ${\vec {\rho }}\,$ 是矩阵的行). 我们通常写 $\left|T\right|$ 来表示 $\det(T)$ .

注 2.2

性质 (2) 是多余的，因为

T\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{i}+\rho _{j}}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{j}+\rho _{i}}}\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{i}+\rho _{j}}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{i}}}\;{\hat {T}}

交换了第 $i$ 行和第 $j$ 行。行列式的符号改变了，但矩阵本身没有改变，因此它的行列式也没有改变。所以行列式为零。

第一个结果表明，满足这些条件的函数给出了非奇异性的判据。(它的最后一句话是，在满足前三个条件的情况下，(4) 等价于阶梯形矩阵的行列式等于对角线上的乘积的条件)。

引理 2.3

具有两行相同的矩阵的行列式为零。具有零行的矩阵的行列式为零。矩阵非奇异当且仅当它的行列式不为零。阶梯形矩阵的行列式等于其对角线上的乘积。

证明

为了验证第一句话，交换这两行。行列式的符号改变了，但矩阵本身没有改变，因此它的行列式也没有改变。所以行列式为零。

对于第二句话，我们将零行乘以 -1 并应用性质 (3)。用常数乘以零行不会改变矩阵，因此性质 (3) 意味着 $\det(T)=-\det(T)$ 。这只有在 $\det(T)=0$ 时才成立。

对于第三句话，其中 $T\rightarrow \cdots \rightarrow {\hat {T}}$ 是高斯-约旦消元，根据定义， $T$ 的行列式为零当且仅当 ${\hat {T}}$ 的行列式为零（尽管它们在符号或大小上可能不同）。一个非奇异 $T$ 高斯-约旦消元为单位矩阵，因此具有非零行列式。一个奇异 $T$ 消元为一个 ${\hat {T}}$ 具有零行的矩阵；根据该引理的第二句话，它的行列式为零。

最后，对于第四句话，如果一个阶梯形矩阵是奇异的，那么它在对角线上有一个零，也就是说，沿其对角线的乘积为零。第三句话说，如果一个矩阵是奇异的，那么它的行列式为零。因此，如果阶梯形矩阵是奇异的，那么它的行列式等于沿其对角线的乘积。

如果一个阶梯形矩阵是非奇异的，那么它的对角线元素都不为零，所以我们可以使用定义中的性质 (3) 将它们分解出来（同样，竖线 $\left|\cdots \right|$ 表示行列式运算）。

{\begin{vmatrix}t_{1,1}&t_{1,2}&&t_{1,n}\\0&t_{2,2}&&t_{2,n}\\&&\ddots \\0&&&t_{n,n}\end{vmatrix}}=t_{1,1}\cdot t_{2,2}\cdots t_{n,n}\cdot {\begin{vmatrix}1&t_{1,2}/t_{1,1}&&t_{1,n}/t_{1,1}\\0&1&&t_{2,n}/t_{2,2}\\&&\ddots \\0&&&1\end{vmatrix}}

接下来，使用定义中的性质 (1) 的高斯-约旦消元的约旦部分，留下单位矩阵。

=t_{1,1}\cdot t_{2,2}\cdots t_{n,n}\cdot {\begin{vmatrix}1&0&&0\\0&1&&0\\&&\ddots \\0&&&1\end{vmatrix}}=t_{1,1}\cdot t_{2,2}\cdots t_{n,n}\cdot 1

因此，如果一个阶梯形矩阵是非奇异的，那么它的行列式就是沿其对角线的乘积。

该结果为我们提供了一种计算矩阵上的行列式函数值的方法。进行高斯消元，跟踪由于行交换引起的任何符号变化以及分解出的任何标量，然后通过将阶梯形结果的对角线向下相乘来完成。此过程与高斯方法所花费的时间相同，因此对于我们在本书中看到的矩阵大小来说足够快，可以实际应用。

示例 2.4

进行 $2\!\times \!2$ 行列式

{\begin{vmatrix}2&4\\-1&3\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}2&4\\0&5\end{vmatrix}}=10

使用高斯消元法不会带来很大的节省，因为 $2\!\times \!2$ 行列式的公式非常简单。然而，一个 $3\!\times \!3$ 行列式通常使用高斯消元法比使用前面给出的公式更容易计算。

{\begin{vmatrix}2&2&6\\4&4&3\\0&-3&5\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}2&2&6\\0&0&-9\\0&-3&5\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}2&2&6\\0&-3&5\\0&0&-9\end{vmatrix}}=-54

示例 2.5

大于 $3\!\times \!3$ 的矩阵的行列式几乎总是使用高斯消元法最快速地计算。

{\begin{vmatrix}1&0&1&3\\0&1&1&4\\0&0&0&5\\0&1&0&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&0&1&3\\0&1&1&4\\0&0&0&5\\0&0&-1&-3\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}1&0&1&3\\0&1&1&4\\0&0&-1&-3\\0&0&0&5\end{vmatrix}}=-(-5)=5

前面的例子说明了一个重要点。虽然我们还没有找到一个 $4\!\times \!4$ 行列式公式，如果存在，那么我们知道它对矩阵返回什么值——如果有一个具有性质 (1)-(4) 的函数，那么在上面的矩阵上，该函数必须返回 $5$ 。

引理 2.6

对于每个 $n$ ，如果存在一个 $n\!\times \!n$ 行列式函数，那么它是唯一的。

证明

对于任何 $n\!\times \!n$ 矩阵，我们可以对该矩阵执行高斯消元法，跟踪行交换时符号的交替方式，然后将梯形形式结果的对角线乘下来。根据定义和引理，所有 $n\!\times \!n$ 行列式函数必须在这个矩阵上返回这个值。因此所有 $n\!\times \!n$ 行列式函数是相等的，也就是说，只存在一个输入参数/输出值关系满足四个条件。

“如果存在一个 $n\!\times \!n$ 行列式函数” 强调了，尽管我们可以使用高斯消元法来计算行列式函数可能返回的唯一值，但我们还没有证明对于所有 $n$ ，这样的行列式函数都存在。在本节的剩余部分，我们将生成行列式函数。

练习

对于这些，假设一个 $n\!\times \!n$ 行列式函数对于所有 $n$ 都存在。

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问题 1

使用高斯消元法求解每个行列式。

${\begin{vmatrix}3&1&2\\3&1&0\\0&1&4\end{vmatrix}}$
${\begin{vmatrix}1&0&0&1\\2&1&1&0\\-1&0&1&0\\1&1&1&0\end{vmatrix}}$

问题 2: 使用高斯消元法求解每个。

${\begin{vmatrix}2&-1\\-1&-1\end{vmatrix}}$
${\begin{vmatrix}1&1&0\\3&0&2\\5&2&2\end{vmatrix}}$

问题 3

对于哪些 $k$ 的值，此系统有唯一解？

{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&&&+&z&-&w&=&2\\&&y&-&2z&&&=&3\\x&&&+&kz&&&=&4\\&&&&z&-&w&=&2\end{array}}

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问题 4

用 $\left|H\right|$ 表示这些。

${\begin{vmatrix}h_{3,1}&h_{3,2}&h_{3,3}\\h_{2,1}&h_{2,2}&h_{2,3}\\h_{1,1}&h_{1,2}&h_{1,3}\end{vmatrix}}$
${\begin{vmatrix}-h_{1,1}&-h_{1,2}&-h_{1,3}\\-2h_{2,1}&-2h_{2,2}&-2h_{2,3}\\-3h_{3,1}&-3h_{3,2}&-3h_{3,3}\end{vmatrix}}$
${\begin{vmatrix}h_{1,1}+h_{3,1}&h_{1,2}+h_{3,2}&h_{1,3}+h_{3,3}\\h_{2,1}&h_{2,2}&h_{2,3}\\5h_{3,1}&5h_{3,2}&5h_{3,3}\end{vmatrix}}$

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问题 5

求一个对角矩阵的行列式。

问题 6

如果系数矩阵的行列式不为零，描述齐次线性方程组的解集。

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问题 7

证明这个行列式为零。

{\begin{vmatrix}y+z&x+z&x+y\\x&y&z\\1&1&1\end{vmatrix}}

问题 8

求 $1\!\times \!1$ , $2\!\times \!2$ , 和 $3\!\times \!3$ 矩阵的行列式，其 $i,j$ 元素由 $(-1)^{i+j}$ 给出。
求一个方阵的行列式，其 $i,j$ 元素为 $(-1)^{i+j}$ 。

问题 9

求 $1\!\times \!1$ , $2\!\times \!2$ , 和 $3\!\times \!3$ 矩阵的行列式，其 $i,j$ 元素由 $i+j$ 给出。
求一个方阵的行列式，其 $i,j$ 元素为 $i+j$ 。

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问题 10

问题 11

定义中的第二个条件，即行交换改变行列式的符号，有点令人讨厌。这意味着我们必须跟踪交换次数，以计算符号如何交替。我们能摆脱它吗？我们可以用行交换使行列式保持不变的条件来代替它吗？(如果是这样，那么我们需要新的 $1\!\times \!1$ , $2\!\times \!2$ ，和 $3\!\times \!3$ 公式，但这将是一个小问题。）

问题 12

证明任何三角矩阵（上三角或下三角）的行列式都是其对角线上元素的乘积。

问题 13

参考矩阵乘法机制小节中对初等矩阵的定义。

每种初等矩阵的行列式是多少？
证明如果 $E$ 是任何初等矩阵，那么 $\left|ES\right|=\left|E\right|\left|S\right|$ 对任何大小合适的 $S$ 成立。
(这个问题与行列式无关。) 证明如果 $T$ 是奇异的，那么乘积 $TS$ 也是奇异的。
证明 $\left|TS\right|=\left|T\right|\left|S\right|$ .
证明如果 $T$ 是非奇异的，那么 $\left|T^{-1}\right|=\left|T\right|^{-1}$ .

问题 14

证明乘积的行列式等于行列式的乘积 $\left|TS\right|=\left|T\right|\,\left|S\right|$ ，方法如下。固定 $n\!\times \!n$ 矩阵 $S$ ，并考虑由 $T\mapsto \left|TS\right|/\left|S\right|$ 给出的函数 $d:{\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}\to \mathbb {R}$ 。