线性代数/量词

比较关于自然数的这两个陈述：“存在一个 $x$ 使得 $x$ 能被 $x^{2}$ 整除”是正确的，而“对于所有数字 $x$，$x$ 能被 $x^{2}$ 整除”是错误的。 我们称“存在”和“对于所有”的前缀为量词。

对于所有

“对于所有”前缀是全称量词，用符号 $\forall$ 表示。

韦恩图对于量词帮助不大，但在某种意义上，我们绘制的包围图表的框显示了全称量词，因为它描绘了所有可能成员的宇宙。

要证明一个陈述在所有情况下都成立，我们必须证明它在每种情况下都成立。因此，要证明“所有能被 $p$ 整除的数的平方都能被 $p^{2}$ 整除”，我们取一个形式为 $pn$ 的单个数字，并将其平方 $(pn)^{2}=p^{2}n^{2}$。这是一种“典型元素”或“通用元素”证明。

这种论证要求我们小心，不要假设该元素具有除了假设中的那些性质以外的任何其他性质——例如，这种错误的论证是一个常见的错误：“如果 $n$ 能被素数整除，比如 $2$，因此 $n=2k$ 那么 $n^{2}=(2k)^{2}=4k^{2}$，数字的平方能被素数的平方整除”。这是一种关于 $p=2$ 的情况的论证，但它不是对一般 $p$ 的证明。

存在

我们还将使用存在量词，用符号 $\exists$ 表示，读作“存在”。

如上所述，文氏图对于量词并没有太大帮助，但“存在一个数使得 $P$" 的图示将同时显示出可以存在多个这样的数，并且并非所有数都需要满足 $P$。

存在命题可以通过提供满足该性质的事物来证明：例如，为了确定 $2^{2^{5}}+1$ 的素性问题，欧拉给出了它的因数 $641$。但也有证明表明某事物存在，而无需说明如何找到它；下一节中给出的欧几里得的论证表明存在无限多个素数，而无需命名它们。总的来说，虽然证明存在比什么都没有好，但给出例子更好，而提供所有实例的详尽列表则是最好的。尽管如此，数学家们会尽可能地获取他们能得到的东西。

最后，除了“是否存在？”之外，我们通常还会问“有多少？”这就是为什么唯一性问题通常与存在性问题相关联的原因。许多时候，如果将这两个论证分开，它们会更容易理解，因此需要注意的是，就像证明某事物存在并不意味着它唯一一样，证明某事物唯一也并不意味着它存在。（显然，“拥有比任何其他自然数都多的因数的自然数”将是唯一的，但实际上不存在这样的数。）