线性代数/值域和零空间/解

解

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问题 1

令 $h:{\mathcal {P}}_{3}\to {\mathcal {P}}_{4}$ 由 $p(x)\mapsto x\cdot p(x)$ 给出。哪些在零空间中？哪些在值域中？

$x^{3}$
$0$
$7$
$12x-0.5x^{3}$
$1+3x^{2}-x^{3}$

答案

首先，要判断一个多项式是否在零空间中，我们必须将其视为域 ${\mathcal {P}}_{3}$ 的一个成员。要判断它是否在值域中，我们必须将其视为陪域 ${\mathcal {P}}_{4}$ 的一个成员。也就是说，对于 $p(x)=x^{4}$ ，判断它是否在值域中是合理的，但判断它是否在零空间中则不合理，因为它甚至不在域中。

多项式 $x^{3}\in {\mathcal {P}}_{3}$ 不在零空间中，因为 $h(x^{3})=x^{4}$ 不是 ${\mathcal {P}}_{4}$ 中的零多项式。多项式 $x^{3}\in {\mathcal {P}}_{4}$ 在值域中，因为 $x^{2}\in {\mathcal {P}}_{3}$ 被 $h$ 映射到 $x^{3}$ .
这两个问题的答案都是“是，因为 $h(0)=0$ ”。多项式 $0\in {\mathcal {P}}_{3}$ 位于零空间中，因为它被 $h$ 映射到 ${\mathcal {P}}_{4}$ 中的零多项式。多项式 $0\in {\mathcal {P}}_{4}$ 位于值域中，因为它是在 $h$ 下， $0\in {\mathcal {P}}_{3}$ 的像。
多项式 $7\in {\mathcal {P}}_{3}$ 不在零空间中，因为 $h(7)=7x$ 不是 ${\mathcal {P}}_{4}$ 中的零多项式。多项式 $x^{3}\in {\mathcal {P}}_{4}$ 不在值域中，因为定义域中没有成员，当乘以 $x$ 时，会得到常数多项式 $p(x)=7$ 。
多项式 $12x-0.5x^{3}\in {\mathcal {P}}_{3}$ 不在零空间，因为 $h(12x-0.5x^{3})=12x^{2}-0.5x^{4}$ 。多项式 $12x-0.5x^{3}\in {\mathcal {P}}_{4}$ 在值域内，因为它是由 $12-0.5x^{2}$ 的图像。
多项式 $1+3x^{2}-x^{3}\in {\mathcal {P}}_{3}$ 不在零空间，因为 $h(1+3x^{2}-x^{3})=x+3x^{3}-x^{4}$ 。多项式 $1+3x^{2}-x^{3}\in {\mathcal {P}}_{4}$ 不在值域内，因为存在常数项。

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问题 2

找出每个映射的零空间、零度、值域和秩。

$h:\mathbb {R} ^{2}\to {\mathcal {P}}_{3}$ 由以下给出
${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\mapsto a+ax+ax^{2}$
$h:{\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}\to \mathbb {R}$ 由以下给出
${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto a+d$
$h:{\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}\to {\mathcal {P}}_{2}$ 由以下给出
${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto a+b+c+dx^{2}$
零映射 $Z:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{4}$

答案

零空间是
${\mathcal {N}}(h)=\{{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}\,{\big |}\,a+ax+ax^{2}+0x^{3}=0+0x+0x^{2}+0x^{3}\}=\{{\begin{pmatrix}0\\b\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b\in \mathbb {R} \}$
而值域是
${\mathcal {R}}(h)=\{a+ax+ax^{2}\in {\mathcal {P}}_{3}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}=\{a\cdot (1+x+x^{2})\,{\big |}\,a\in \mathbb {R} \}$
因此，零度为1，秩为1。
零空间如下。
${\mathcal {N}}(h)=\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+d=0\}=\{{\begin{pmatrix}-d&b\\c&d\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c,d\in \mathbb {R} \}$
值域
${\mathcal {R}}(h)\{a+d\,{\big |}\,a,b,c,d\in \mathbb {R} \}$
是整个 $\mathbb {R}$ （我们可以通过将 $d$ 取为 $0$ ，并将 $a$ 取为所需数字来获得任何实数）。因此，零度为3，秩为1。
零空间是
${\mathcal {N}}(h)=\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+b+c=0{\text{ and }}d=0\}=\{{\begin{pmatrix}-b-c&b\\c&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c\in \mathbb {R} \}$
当值域为 ${\mathcal {R}}(h)=\{r+sx^{2}\,{\big |}\,r,s\in \mathbb {R} \}$ 时，零度为 2，秩为 2。
零空间是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的全部，因此零度为 3。值域是 $\mathbb {R} ^{4}$ 的平凡子空间，因此秩为 0。

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问题 3

求出每个映射的零度。

$h:\mathbb {R} ^{5}\to \mathbb {R} ^{8}$ 秩为 5
$h:{\mathcal {P}}_{3}\to {\mathcal {P}}_{3}$ 秩为 1
$h:\mathbb {R} ^{6}\to \mathbb {R} ^{3}$ ，满射
$h:{\mathcal {M}}_{3\!\times \!3}\to {\mathcal {M}}_{3\!\times \!3}$ ，满射

答案

对于每个，使用秩加上零度等于域的维数的结果。

$0$
$3$
$3$
$0$

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问题 4

微分变换 $d/dx:{\mathcal {P}}_{n}\to {\mathcal {P}}_{n}$ 的零空间是什么？二阶导数作为 ${\mathcal {P}}_{n}$ 的变换的零空间是什么？ $k$ 阶导数？

答案

因为

{\frac {d}{dx}}\,(a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n})=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+\dots +na_{n}x^{n-1}

我们有这个。

{\begin{array}{rl}{\mathcal {N}}({\frac {d}{dx}})&=\{a_{0}+\dots +a_{n}x^{n}\,{\big |}\,a_{1}+2a_{2}x+\dots +na_{n}x^{n-1}=0+0x+\dots +0x^{n-1}\}\\&=\{a_{0}+\dots +a_{n}x^{n}\,{\big |}\,a_{1}=0,{\text{ and }}a_{2}=0,\ldots ,a_{n}=0\}\\&=\{a_{0}+0x+0x^{2}+\dots +0x^{n}\,{\big |}\,a_{0}\in \mathbb {R} \}\end{array}}

同理，

{\mathcal {N}}({\frac {d^{k}}{dx^{k}}})=\{a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}\,{\big |}\,a_{0},\dots ,a_{k-1}\in \mathbb {R} \}

当 $k\leq n$ 时。

问题 5

示例 2.7 将同态定义中的第一个条件重新表述为“和的投影是投影的和”。用相同的风格重新表述第二个条件。

答案

标量倍数的投影是投影的标量倍数。

问题 6

对于同态 $h:{\mathcal {P}}_{3}\to {\mathcal {P}}_{3}$ ，由 $h(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3})=a_{0}+(a_{0}+a_{1})x+(a_{2}+a_{3})x^{3}$ 给出，求出这些。

${\mathcal {N}}(h)$
$h^{-1}(2-x^{3})$
$h^{-1}(1+x^{2})$

答案

设置 $a_{0}+(a_{0}+a_{1})x+(a_{2}+a_{3})x^{3}=0+0x+0x^{2}+0x^{3}$ 得到 $a_{0}=0$ 以及 $a_{0}+a_{1}=0$ 和 $a_{2}+a_{3}=0$ ，因此零空间为 $\{-a_{3}x^{2}+a_{3}x^{3}\,{\big |}\,a_{3}\in \mathbb {R} \}$ .
设置 $a_{0}+(a_{0}+a_{1})x+(a_{2}+a_{3})x^{3}=2+0x+0x^{2}-x^{3}$ 得到 $a_{0}=2$ ，以及 $a_{1}=-2$ ，以及 $a_{2}+a_{3}=-1$ 。取 $a_{3}$ 作为参数，并将其重新命名为 $a_{3}=a$ ，得到以下集合描述 $\{2-2x+(-1-a)x^{2}+ax^{3}\,{\big |}\,a\in \mathbb {R} \}=\{(2-2x-x^{2})+a\cdot (-x^{2}+x^{3})\,{\big |}\,a\in \mathbb {R} \}$ .
此集合为空，因为 $h$ 的范围仅包含那些具有 $0x^{2}$ 项的多项式。

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问题 7

对于由以下公式给出的映射 $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$

f({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})=2x+y

绘制以下逆映射集合： $f^{-1}(-3)$ , $f^{-1}(0)$ 以及 $f^{-1}(1)$ 。

答案

所有逆映射都是斜率为 $-2$ 的直线。

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问题 8

这些对 ${\mathcal {P}}_{3}$ 的变换都是非奇异的。找到每个变换的逆函数。

$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mapsto a_{0}+a_{1}x+2a_{2}x^{2}+3a_{3}x^{3}$
$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mapsto a_{0}+a_{2}x+a_{1}x^{2}+a_{3}x^{3}$
$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mapsto a_{1}+a_{2}x+a_{3}x^{2}+a_{0}x^{3}$
$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mapsto a_{0}+(a_{0}+a_{1})x+(a_{0}+a_{1}+a_{2})x^{2}+(a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3})x^{3}$

答案

这些是逆映射。

$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mapsto a_{0}+a_{1}x+(a_{2}/2)x^{2}+(a_{3}/3)x^{3}$
$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mapsto a_{0}+a_{2}x+a_{1}x^{2}+a_{3}x^{3}$
$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mapsto a_{3}+a_{0}x+a_{1}x^{2}+a_{2}x^{3}$
$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mapsto a_{0}+(a_{1}-a_{0})x+(a_{2}-a_{1})x^{2}+(a_{3}-a_{2})x^{3}$

例如，对于第二个映射，题目中给出的映射将 $0+1x+2x^{2}+3x^{3}\mapsto 0+2x+1x^{2}+3x^{3}$ ，然后上面的逆映射将 $0+2x+1x^{2}+3x^{3}\mapsto 0+1x+2x^{2}+3x^{3}$ 。因此该映射实际上是自逆的。

问题 9

描述由 ${\vec {v}}\mapsto 2{\vec {v}}$ 给出的变换的零空间和值域。

答案

对于任何向量空间 $V$ ，零空间

\{{\vec {v}}\in V\,{\big |}\,2{\vec {v}}={\vec {0}}\}

是平凡的，而值域

\{{\vec {w}}\in V\,{\big |}\,{\vec {w}}=2{\vec {v}}{\text{ for some }}{\vec {v}}\in V\}

是全部的 $V$ ，因为每个向量 ${\vec {w}}$ 都是某个其他向量的两倍，具体来说，它就是 $(1/2){\vec {w}}$ 的两倍。（因此，这种变换实际上是一个自同构。）

问题 10

列出所有可能的 $({\text{rank}}(h),{\text{nullity}}(h))$ 对，这些对是来自 $\mathbb {R} ^{5}$ 到 $\mathbb {R} ^{3}$ 的线性映射可能的。

答案

因为秩加上零度等于域的维数（这里为 5），而秩最多为 3，所以可能的对是： $(3,2)$ ， $(2,3)$ ， $(1,4)$ 和 $(0,5)$ 。想出线性映射来证明每对都是可能的非常容易。

问题 11

微分映射 $d/dx:{\mathcal {P}}_{n}\to {\mathcal {P}}_{n}$ 有逆吗？

答案

没有（除非 ${\mathcal {P}}_{n}$ 是平凡的），因为两个多项式 $f_{0}(x)=0$ 和 $f_{1}(x)=1$ 有相同的导数；一个映射必须是一对一的才能有逆。

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问题 12

求映射 $h:{\mathcal {P}}_{n}\to \mathbb {R}$ 的零度，该映射由下式给出：

a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}\mapsto \int _{x=0}^{x=1}a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}\,dx.

答案

零空间如下。

\{a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}\,{\big |}\,a_{0}(1)+{\frac {\displaystyle a_{1}}{\displaystyle 2}}(1^{2})+\dots +{\frac {\displaystyle a_{n}}{\displaystyle n+1}}(1^{n+1})=0\}

=\{a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}\,{\big |}\,a_{0}+(a_{1}/2)+\dots +(a_{n+1}/n+1)=0\}

因此，零度为 $n$ .

问题 13

证明同态映射是满射当且仅当它的秩等于它的陪域的维数。
由此得出，当两个向量空间的维数相同时，同态映射是一对一当且仅当它是满射。

答案

一个方向是显然的：如果同态映射是满射，那么它的值域就是陪域，因此它的秩等于它的陪域的维数。另一个方向，假设映射的秩等于陪域的维数。那么映射的值域是陪域的子空间，并且它的维数等于陪域的维数。因此，映射的值域必须等于陪域，并且映射是满射。（之所以“因此”，是因为值域中存在一个线性无关子集，其大小等于陪域的维数，但陪域中任何这样的线性无关子集都必须是陪域的基，因此值域等于陪域。）
根据定理 2.21，同态映射是一对一当且仅当它的零度为零。因为秩加零度等于定义域的维数，所以同态映射是一对一当且仅当它的秩等于定义域的维数。但这个定义域和陪域具有相同的维数，因此映射是一对一当且仅当它是满射。

问题 14

证明线性映射是非奇异当且仅当它保持线性无关性。

答案

我们正在证明 $h:V\to W$ 是非奇异的当且仅当对于 $V$ 中的每个线性无关子集 $S$ ， $W$ 中的子集 $h(S)=\{h({\vec {s}})\,{\big |}\,{\vec {s}}\in S\}$ 是线性无关的。

一半很简单 - 根据定理 2.21，如果 $h$ 是奇异的，那么它的零空间是非平凡的（包含的不止零向量）。所以，如果 ${\vec {v}}\neq {\vec {0}}_{V}$ 在该零空间中，单元素集合 $\{{\vec {v\,}}\}$ 是线性无关的，而它的像 $\{h({\vec {v}})\}=\{{\vec {0}}_{W}\}$ 不是。

对于另一半，假设 $h$ 是非奇异的，因此根据定理 2.21 它的零空间是平凡的。然后对于任何 ${\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{n}\in V$ ，关系

{\vec {0}}_{W}=c_{1}\cdot h({\vec {v}}_{1})+\dots +c_{n}\cdot h({\vec {v}}_{n})=h(c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {v}}_{n})

意味着关系 $c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {v}}_{n}={\vec {0}}_{V}$ 。因此，如果 $V$ 的一个子集是线性无关的，那么它在 $W$ 中的像也是线性无关的。

注意：该陈述是说线性映射是非奇异的，当且仅当它为所有集合保留线性无关性（即，如果一个集合是线性无关的，那么它的像也是线性无关的）。奇异映射可能保留某些线性无关集合。例如，从 $\mathbb {R} ^{3}$ 到 $\mathbb {R} ^{2}$ 的这个奇异映射。

{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x+y+z\\0\end{pmatrix}}

线性无关性在这个集合中被保留

\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\}\mapsto \{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\}

以及（在更复杂的例子中）对于这个集合也是如此：

\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\}\mapsto \{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\}

（回顾一下，在集合中，重复元素不会出现两次）。然而，有一些集合在该映射下不保持线性无关性；

\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}}\}\mapsto \{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}\}

因此，并非所有集合都保持线性无关性。

问题 15

推论 2.17 指出，要从一个向量空间 $V$ 到另一个向量空间 $W$ 有一个满同态，那么 $W$ 的维数必须小于或等于 $V$ 的维数。证明该条件也是充分的；利用定理 1.9 来证明，如果 $W$ 的维数小于或等于 $V$ 的维数，那么存在从 $V$ 到 $W$ 的满同态。

答案

(我们使用定理 1.9中的符号。) 固定 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 为 $V$ 的一个基，并固定 $\langle {\vec {w}}_{1},\ldots ,{\vec {w}}_{k}\rangle$ 为 $W$ 的一个基。如果 $W$ 的维数 $k$ 小于或等于 $V$ 的维数 $n$ ，则该定理给出了一个从 $V$ 到 $W$ 的线性映射，该映射以这种方式确定。

{\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {w}}_{1},\,\dots ,\,{\vec {\beta }}_{k}\mapsto {\vec {w}}_{k}\quad {\text{and}}\quad {\vec {\beta }}_{k+1}\mapsto {\vec {w}}_{k},\,\dots ,\,{\vec {\beta }}_{n}\mapsto {\vec {w}}_{k}

我们只需要验证这个映射是满射的。

任何 $W$ 的元素都可以写成基向量 $c_{1}\cdot {\vec {w}}_{1}+\dots +c_{k}\cdot {\vec {w}}_{k}$ 的线性组合。这个向量是在上述映射下 $c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{k}\cdot {\vec {\beta }}_{k}+0\cdot {\vec {\beta }}_{k+1}\dots +0\cdot {\vec {\beta }}_{n}$ 的像。因此，这个映射是满射的。

问题 16

设 $h:V\to \mathbb {R}$ 是一个同态，但不是零同态。证明：如果 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 是零空间的基，如果 ${\vec {v}}\in V$ 不在零空间中，那么 $\langle {\vec {v}},{\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 是整个定义域 $V$ 的基。

答案

假设 $h$ 不是零映射，因此存在一个向量 ${\vec {v}}\in V$ 不在零空间。注意 $\langle h({\vec {v}})\rangle$ 是 $\mathbb {R}$ 的一个基，因为它是一个大小为 1 的 $\mathbb {R}$ 线性无关子集。因此 $h$ 是满射，因为对于任何 $r\in \mathbb {R}$ 都有 $r=c\cdot h({\vec {v}})$ 对于某个标量 $c$ ，因此 $r=h(c{\vec {v}})$ .

因此， $h$ 的秩为 1。因为零度被给出为 $n$ ， $h$ 定义域（向量空间 $V$ ）的维度为 $n+1$ 。我们可以通过证明 $\{{\vec {v}},{\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\}$ 线性无关来结束证明，因为它是一个大小为 $n+1$ 的维度为 $n+1$ 空间的子集。因为 $\{{\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\}$ 线性无关，我们只需要证明 ${\vec {v}}$ 不是其他向量的线性组合。但是， $c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}={\vec {v}}$ 将会得到 $-{\vec {v}}+c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}={\vec {0}}$ ，并对两边应用 $h$ 将会得到矛盾。

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问题 17

回顾一下，零空间是定义域的子集，值域是陪域的子集。它们一定是不同的吗？是否存在同态，其零空间和值域具有非平凡的交集？

答案

是的。对于由

{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\stackrel {h}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}0\\x\end{pmatrix}}

我们有这个。

{\mathcal {N}}(h)=\{{\begin{pmatrix}0\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y\in \mathbb {R} \}={\mathcal {R}}(h)

备注。 我们将在第五章详细讨论这个问题。

问题 18

证明一个生成空间的像等于像的生成空间。也就是说，当 $h:V\to W$ 是线性变换时，证明如果 $S$ 是 $V$ 的一个子集，那么 $h([S])$ 等于 $[h(S)]$ 。这推广了引理 2.1，因为它表明如果 $U$ 是 $V$ 的任何子空间，那么它的像 $\{h({\vec {u}})\,{\big |}\,{\vec {u}}\in U\}$ 是 $W$ 的子空间，因为集合 $U$ 的生成空间就是 $U$ 。

答案

这只是一个简单的计算问题。

{\begin{array}{rl}h([S])&=\{h(c_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {s}}_{n})\,{\big |}\,c_{1},\dots ,c_{n}\in \mathbb {R} {\text{ and }}{\vec {s}}_{1},\dots ,{\vec {s}}_{n}\in S\}\\&=\{c_{1}h({\vec {s}}_{1})+\dots +c_{n}h({\vec {s}}_{n})\,{\big |}\,c_{1},\dots ,c_{n}\in \mathbb {R} {\text{ and }}{\vec {s}}_{1},\dots ,{\vec {s}}_{n}\in S\}\\&=[h(S)]\end{array}}

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问题 19

证明对于任何线性映射 $h:V\to W$ 和任何 ${\vec {w}}\in W$ ，集合 $h^{-1}({\vec {w}})$ 的形式为
$\{{\vec {v}}+{\vec {n}}\,{\big |}\,{\vec {n}}\in {\mathcal {N}}(h)\}$
对于 ${\vec {v}}\in V$ 且 $h({\vec {v}})={\vec {w}}$ （如果 $h$ 不是满射，那么这个集合可能是空的）。这样的集合是 ${\mathcal {N}}(h)$ 的一个 **陪集**，记为 ${\vec {v}}+{\mathcal {N}}(h)$ 。
考虑映射 $t:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ ，其定义为
${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\stackrel {t}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}$
对于一些标量 $a$ , $b$ , $c$ , 和 $d$ 。证明 $t$ 是线性的。
从前两项中推论出，对于任何形式为
${\begin{array}{*{2}{rc}r}ax&+&by&=&e\\cx&+&dy&=&f\end{array}}$
的线性系统，解集可以写成（向量是 $\mathbb {R} ^{2}$ 的成员）
$\{{\vec {p}}+{\vec {h}}\,{\big |}\,{\vec {h}}{\text{ satisfies the associated homogeneous system}}\}$
其中 ${\vec {p}}$ 是该线性系统的一个特解（如果没有特解，则上述集合为空）。
证明该映射 $h:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ 是线性的。
${\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a_{1,1}x_{1}+\dots +a_{1,n}x_{n}\\\vdots \\a_{m,1}x_{1}+\dots +a_{m,n}x_{n}\end{pmatrix}}$
对于任何标量 $a_{1,1}$ , ..., $a_{m,n}$ 。扩展上一项中的结论。
证明第 $k$ 阶导数映射是 ${\mathcal {P}}_{n}$ 的线性变换，对于每个 $k$ 。证明此映射是该空间的线性变换。
$f\mapsto {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}f+c_{k-1}{\frac {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}f+\dots +c_{1}{\frac {d}{dx}}f+c_{0}f$
对于任何标量 $c_{k}$ ，...， $c_{0}$ 。得出与上述类似的结论。

答案

We will show that the two sets are equal $h^{-1}({\vec {w}})=\{{\vec {v}}+{\vec {n}}\,{\big |}\,{\vec {n}}\in {\mathcal {N}}(h)\}$ by mutual inclusion. For the $\{{\vec {v}}+{\vec {n}}\,{\big |}\,{\vec {n}}\in {\mathcal {N}}(h)\}\subseteq h^{-1}({\vec {w}})$ direction, just note that $h({\vec {v}}+{\vec {n}})=h({\vec {v}})+h({\vec {n}})$ equals ${\vec {w}}$ , and so any member of the first set is a member of the second. For the $h^{-1}({\vec {w}})\subseteq \{{\vec {v}}+{\vec {n}}\,{\big |}\,{\vec {n}}\in {\mathcal {N}}(h)\}$ direction, consider ${\vec {u}}\in h^{-1}({\vec {w}})$ . Because $h$ is linear, $h({\vec {u}})=h({\vec {v}})$ implies that $h({\vec {u}}-{\vec {v}})={\vec {0}}$ . We can write ${\vec {u}}-{\vec {v}}$ as ${\vec {n}}$ , and then we have that ${\vec {u}}\in \{{\vec {v}}+{\vec {n}}\,{\big |}\,{\vec {n}}\in {\mathcal {N}}(h)\}$ , as desired, because ${\vec {u}}={\vec {v}}+({\vec {u}}-{\vec {v}})$ .
此检查是例行公事。
这是直接的。
对于线性检查，简而言之，其中 $c,d$ 是标量， ${\vec {x}},{\vec {y}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 有分量 $x_{1},\dots ,x_{n}$ 和 $y_{1},\dots ,y_{n}$ ，我们有这个。
${\begin{array}{rl}h(c\cdot {\vec {x}}+d\cdot {\vec {y}})&={\begin{pmatrix}a_{1,1}(cx_{1}+dy_{1})+\dots +a_{1,n}(cx_{n}+dy_{n})\\\vdots \\a_{m,1}(cx_{1}+dy_{1})+\dots +a_{m,n}(cx_{n}+dy_{n})\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a_{1,1}cx_{1}+\dots +a_{1,n}cx_{n}\\\vdots \\a_{m,1}cx_{1}+\dots +a_{m,n}cx_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}a_{1,1}dy_{1}+\dots +a_{1,n}dy_{n}\\\vdots \\a_{m,1}dy_{1}+\dots +a_{m,n}dy_{n}\end{pmatrix}}\\&=c\cdot h({\vec {x}})+d\cdot h({\vec {y}})\end{array}}$
适当的结论是 ${\text{General}}={\text{Particular}}+{\text{Homogeneous}}$ .
根据微积分中的法则，导数的每个幂都是线性的。
${\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(f(x)+g(x))={\frac {d^{k}}{dx^{k}}}f(x)+{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x)\quad {\text{and}}\quad {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}rf(x)=r{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}f(x)$
因此，给定的映射是空间的线性变换，因为根据引理 1.16，线性映射的任何线性组合也是线性映射。适当的结论是 ${\text{General}}={\text{Particular}}+{\text{Homogeneous}}$ ，其中相关的齐次微分方程的常数为 $0$ .

问题 20

证明对于任何秩为一的变换 $t:V\to V$ ，通过将该算子自身复合得到的映射 $t\circ t:V\to V$ 满足 $t\circ t=r\cdot t$ ，其中 $r$ 为某个实数。

答案

因为 $t$ 的秩为 1， $t$ 的值域是一个一维集合。将 $\langle h({\vec {v}})\rangle$ 作为基（对于一些适当的 ${\vec {v}}$ ），我们有对于每一个 ${\vec {w}}\in V$ ，图像 $h({\vec {w}})\in V$ 是这个基向量的倍数 - 与每个 ${\vec {w}}$ 存在一个标量 $c_{\vec {w}}$ 使得 $t({\vec {w}})=c_{\vec {w}}t({\vec {v}})$ 。将 $t$ 应用于该方程的两边，并将 $r$ 设为 $c_{t({\vec {v}})}$

t\circ t({\vec {w}})=t(c_{\vec {w}}\cdot t({\vec {v}}))=c_{\vec {w}}\cdot t\circ t({\vec {v}})=c_{\vec {w}}\cdot c_{t({\vec {v}})}\cdot t({\vec {v}})=c_{\vec {w}}\cdot r\cdot t({\vec {v}})=r\cdot c_{\vec {w}}\cdot t({\vec {v}})=r\cdot t({\vec {w}})

得到我们想要的结果。

问题 21

证明对于任何维数为 $n$ 的空间 $V$ ，**对偶空间**

\mathop {\mathcal {L}} (V,\mathbb {R} )=\{h:V\to \mathbb {R} \,{\big |}\,h{\text{ is linear}}\}

与 $\mathbb {R} ^{n}$ 同构。通常用 $V^{\ast }$ 表示。由此可知 $V^{\ast }\cong V$ .

答案

在 $V$ 中固定一个基底 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 。我们将证明以下映射

h{\stackrel {\Phi }{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}h({\vec {\beta }}_{1})\\\vdots \\h({\vec {\beta }}_{n})\end{pmatrix}}

是从 $V^{\ast }$ 到 $\mathbb {R} ^{n}$ 的同构映射。

为了证明 $\Phi$ 是单射，假设 $h_{1}$ 和 $h_{2}$ 是 $V^{\ast }$ 中的元素，使得 $\Phi (h_{1})=\Phi (h_{2})$ 。则

{\begin{pmatrix}h_{1}({\vec {\beta }}_{1})\\\vdots \\h_{1}({\vec {\beta }}_{n})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}h_{2}({\vec {\beta }}_{1})\\\vdots \\h_{2}({\vec {\beta }}_{n})\end{pmatrix}}

因此， $h_{1}({\vec {\beta }}_{1})=h_{2}({\vec {\beta }}_{1})$ ，等等。但同态是由其对基的映射决定的，因此 $h_{1}=h_{2}$ ，因此 $\Phi$ 是单射。

为了证明 $\Phi$ 是满射，考虑

{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}

对于 $x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R}$ 。从 $V$ 到 $\mathbb {R}$ 的此函数 $h$

c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}{\stackrel {h}{\longmapsto }}c_{1}x_{1}+\dots +c_{n}x_{n}

显然是线性的，并且被 $\Phi$ 映射到 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的给定向量，因此 $\Phi$ 是满射。

映射 $\Phi$ 还保留结构：其中

{\begin{array}{rl}c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}&{\stackrel {h_{1}}{\longmapsto }}c_{1}h_{1}({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}h_{1}({\vec {\beta }}_{n})\\c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}&{\stackrel {h_{2}}{\longmapsto }}c_{1}h_{2}({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}h_{2}({\vec {\beta }}_{n})\end{array}}

我们有

{\begin{array}{rl}(r_{1}h_{1}+r_{2}h_{2})(c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})&=c_{1}(r_{1}h_{1}({\vec {\beta }}_{1})+r_{2}h_{2}({\vec {\beta }}_{1}))+\dots +c_{n}(r_{1}h_{1}({\vec {\beta }}_{n})+r_{2}h_{2}({\vec {\beta }}_{n}))\\&=r_{1}(c_{1}h_{1}({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}h_{1}({\vec {\beta }}_{n}))+r_{2}(c_{1}h_{2}({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}h_{2}({\vec {\beta }}_{n}))\end{array}}

所以 $\Phi (r_{1}h_{1}+r_{2}h_{2})=r_{1}\Phi (h_{1})+r_{2}\Phi (h_{2})$ .

问题 22

证明任何线性映射都是秩为 1 的映射的和。

答案

令 $h:V\to W$ 为线性映射，并固定 $V$ 的一个基底 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 。考虑这 $n$ 个从 $V$ 到 $W$ 的映射。

h_{1}({\vec {v}})=c_{1}\cdot h({\vec {\beta }}_{1}),\quad h_{2}({\vec {v}})=c_{2}\cdot h({\vec {\beta }}_{2}),\quad \ldots \quad ,h_{n}({\vec {v}})=c_{n}\cdot h({\vec {\beta }}_{n})

对于任意 ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ 。很明显， $h$ 是所有 $h_{i}$ 的和。我们只需要检查每个 $h_{i}$ 是否是线性映射：令 ${\vec {u}}=d_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +d_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ ，我们有 $h_{i}(r{\vec {v}}+s{\vec {u}})=rc_{i}+sd_{i}=rh_{i}({\vec {v}})+sh_{i}({\vec {u}})$ .

问题 23

“同态于”是一种等价关系吗？（提示：难点在于为引号中的短语确定合适的含义。）

答案

答案是肯定的（很明显）或否定的（几乎很明显）。

如果 $V$ "同态于" $W$ 表示存在一个从 $V$ 到（但不必是映上） $W$ 的同态，那么由于零映射总是存在的，因此每个空间都同态于任何其他空间。

如果 $V$ "同态于" $W$ 表示存在一个从 $V$ 到 $W$ 的映上同态，那么该关系不是一个等价关系。例如，存在一个从 $\mathbb {R} ^{3}$ 到 $\mathbb {R} ^{2}$ 的映上同态（投影就是一个），但是不存在从 $\mathbb {R} ^{2}$ 到 $\mathbb {R} ^{3}$ 的同态（根据推论 2.17），因此该关系不是自反的。^[1]

问题 24

证明线性映射 $t:V\to V$ 的幂的像空间和零空间形成下降

V\supseteq {\mathcal {R}}(t)\supseteq {\mathcal {R}}(t^{2})\supseteq \ldots

和上升

\{{\vec {0}}\}\subseteq {\mathcal {N}}(t)\subseteq {\mathcal {N}}(t^{2})\subseteq \ldots

链。同时证明，如果 $k$ 满足 ${\mathcal {R}}(t^{k})={\mathcal {R}}(t^{k+1})$ ，那么所有后续的值域都是相等的： ${\mathcal {R}}(t^{k})={\mathcal {R}}(t^{k+1})={\mathcal {R}}(t^{k+2})\ldots \,$ 。类似地，如果 ${\mathcal {N}}(t^{k})={\mathcal {N}}(t^{k+1})$ ，那么 ${\mathcal {N}}(t^{k})={\mathcal {N}}(t^{k+1})={\mathcal {N}}(t^{k+2})=\ldots \,$ 。

答案

它们构成链是显而易见的。对于其余部分，我们这里证明 ${\mathcal {R}}(t^{j+1})={\mathcal {R}}(t^{j})$ 意味着 ${\mathcal {R}}(t^{j+2})={\mathcal {R}}(t^{j+1})$ 。然后归纳法适用。

假设 ${\mathcal {R}}(t^{j+1})={\mathcal {R}}(t^{j})$ 。那么 $t:{\mathcal {R}}(t^{j+1})\to {\mathcal {R}}(t^{j+2})$ 与 $t:{\mathcal {R}}(t^{j})\to {\mathcal {R}}(t^{j+1})$ 是同一个映射，具有相同的定义域。因此，它具有相同的范围： ${\mathcal {R}}(t^{j+2})={\mathcal {R}}(t^{j+1})$ 。

↑ 关于等价关系的更多信息在附录中。

[1] 关于等价关系的更多信息在附录中。

[1]