线性代数/值域和零空间

同构和同态都保留结构。不同之处在于同态不必满射，也不必单射。这意味着同态是一种更一般的映射，比同构受到的限制更少。我们将考察同态可能发生的，而同构由于额外限制而无法发生的现象。

我们首先考虑放弃满射要求的影响，即不要求同态在其陪域中满射。例如，单射映射 $\iota :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}$

不是同构，因为它不是满射。当然，作为一个函数，同态映射到某个集合，即它的值域；映射 $\iota$ 映射到 $xy$-平面，它是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的子集。

引理 2.1

在同态下，域中任何子空间的像都是陪域的子空间。特别地，整个空间的像，即同态的值域，是陪域的子空间。

证明

设 $h:V\to W$ 是线性变换，并且设 $S$ 是定义域 $V$ 的子空间。像 $h(S)$ 是陪域 $W$ 的子集。它是非空的，因为 $S$ 是非空的，因此要证明 $h(S)$ 是 $W$ 的子空间，我们只需要证明它在两个向量的线性组合下是封闭的。如果 $h({\vec {s}}_{1})$ 和 $h({\vec {s}}_{2})$ 是 $h(S)$ 的成员，那么 $c_{1}\cdot h({\vec {s}}_{1})+c_{2}\cdot h({\vec {s}}_{2})=h(c_{1}\cdot {\vec {s}}_{1})+h(c_{2}\cdot {\vec {s}}_{2})=h(c_{1}\cdot {\vec {s}}_{1}+c_{2}\cdot {\vec {s}}_{2})$ 也是 $h(S)$ 的成员，因为它是 $S$ 中的 $c_{1}\cdot {\vec {s}}_{1}+c_{2}\cdot {\vec {s}}_{2}$ 的像。

定义 2.2

值域 是同态 $h:V\to W$ 的

${\mathcal {R}}(h)=\{h({\vec {v}})\,{\big |}\,{\vec {v}}\in V\}$

有时记为 $h(V)$。值域空间的维数称为映射的**秩**。

(我们很快就会看到映射的秩与矩阵的秩之间的联系。)

例 2.3

回想一下，导数映射 $d/dx:{\mathcal {P}}_{3}\to {\mathcal {P}}_{3}$，由 $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mapsto a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}$ 是线性的。值域空间 ${\mathcal {R}}(d/dx)$ 是二次多项式集 $\{r+sx+tx^{2}\,{\big |}\,r,s,t\in \mathbb {R} \}$。因此，该映射的秩为 3。

例 2.4

对于该同态 $h:M_{2\!\times \!2}\to {\mathcal {P}}_{3}$

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto (a+b+2d)+0x+cx^{2}+cx^{3}$

值域中的图像向量可以具有任意常数项，必须具有 $x$ 系数为零，并且必须具有相同系数的 $x^{2}$ 作为 $x^{3}$。也就是说，值域空间是 ${\mathcal {R}}(h)=\{r+0x+sx^{2}+sx^{3}\,{\big |}\,r,s\in \mathbb {R} \}$，因此秩为 2。

先前结果表明，从同构的定义到同态的更一般定义，省略“满射”要求并没有本质上的区别。任何同态都是对其值域空间的满射。

但是，省略“单射”条件确实有区别。同态可能具有许多域元素映射到陪域中的一个元素。下面是关于集合之间多对一映射的“豆荚”草图。 它显示了陪域中的三个元素，每个元素都是域中许多成员的图像。

回顾一下，对于任何函数 $h:V\to W$，映射到 ${\vec {w}}\in W$ 的 $V$ 中元素的集合被称为 **逆像** $h^{-1}({\vec {w}})=\{{\vec {v}}\in V\,{\big |}\,h({\vec {v}})={\vec {w}}\}$。上面，左侧三个多元素集合是逆像。

示例 2.5

考虑投影 $\pi :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}$

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi }{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

这是一个多对一的同态。在这种情况下，逆像集是域中的一条垂直向量线。

示例 2.6

这个同态 $h:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{1}$

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\stackrel {h}{\longmapsto }}x+y$

也是多对一的；对于一个固定的 $w\in \mathbb {R} ^{1}$，逆像 $h^{-1}(w)$

是平面向量集合，它们的成分加起来等于 $w$。

以上示例只与我们考虑函数，特别是多对一函数有关。它们显示了逆像作为与像向量 ${\vec {w}}$ 相关的向量集合。但是，这些不仅仅是任意函数，它们是同态；两个保存条件对关系说明了什么？

在通过放弃一对一条件将同构推广到同态时，我们失去了我们直观地描述为：域“与”范围“相同”的属性。也就是说，我们失去了域与范围以一对一的方式完美对应。

我们将保留，正如下面的示例所示，同态描述了一种方式，其中域“类似于”或“类似于”范围。

示例 2.7

我们可以把 $\mathbb {R} ^{3}$ 想象成像 $\mathbb {R} ^{2}$ 一样，只是向量多了一个分量。也就是说，我们将具有分量 $x$，$y$ 和 $z$ 的向量，看作是具有分量 $x$ 和 $y$ 的向量。在定义投影映射 $\pi$ 时，我们将明确哪些定义域成员与哪些陪域成员相关联。

如果我们将 $\mathbb {R} ^{2}$ 看作是 $xy$ 平面，该平面位于 $\mathbb {R} ^{3}$ 内。 (当然，$\mathbb {R} ^{2}$ 是一个二维向量集，而 $xy$ 平面是一个三维向量集，其第三个分量为零，但两者之间存在明显的对应关系。) 然后，$\pi ({\vec {v}})$ 是 ${\vec {v}}$ 在平面上的“影子”，加法保持性质表明：

${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}$ 在 ${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}$ 上方	加上	${\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}$ 在 ${\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}$ 上方	等于	${\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\y_{1}+y_{2}\\z_{1}+z_{2}\end{pmatrix}}$ 在 ${\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}\\y_{1}+y_{2}\end{pmatrix}}$ 上方

简而言之，$\pi ({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})$ 的投影等于$\pi ({\vec {v}}_{1})+\pi ({\vec {v}}_{2})$ 的投影之和。（标量乘法的保留有类似的解释。）

通过分离两个空间，将陪域 $\mathbb {R} ^{2}$ 移动到右边，给出了一个更丑陋的图片，但它更忠实于“豆子”草图。

在这个图中，映射到 ${\vec {w}}_{1}$ 的向量位于定义域的垂直线上（只显示一个这样的向量，用灰色表示）。将这种逆像的任何成员称为“${\vec {w}}_{1}$ 向量”。类似地，有一条“${\vec {w}}_{2}$ 向量”的垂直线和一条“${\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}$ 向量”的垂直线。现在，$\pi$ 具有这样的性质：如果 $\pi ({\vec {v}}_{1})={\vec {w}}_{1}$ 且 $\pi ({\vec {v}}_{2})={\vec {w}}_{2}$，则 $\pi ({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})=\pi ({\vec {v}}_{1})+\pi ({\vec {v}}_{2})={\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}$。这意味着向量类可以相加，即任何一个${\vec {w}}_{1}$ 向量加上任何一个${\vec {w}}_{2}$ 向量等于一个${\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}$ 向量。（类似的结论也适用于标量乘法下的向量类。）

因此，尽管这两个空间 $\mathbb {R} ^{3}$ 和 $\mathbb {R} ^{2}$ 不是同构的，$\pi$ 描述了一种它们相似的方式：$\mathbb {R} ^{3}$ 中的向量与 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的相关向量一样——向量像它们的投影一样相加。

例 2.8

同态可以用来表达空间之间比前一个更微妙的类比。对于映射

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\stackrel {h}{\longmapsto }}x+y$

来自 例 2.6 固定范围 $\mathbb {R}$ 中的两个数字 $w_{1},w_{2}$。一个映射到 $w_{1}$ 的 ${\vec {v}}_{1}$ 的分量加起来等于 $w_{1}$，也就是说，逆像 $h^{-1}(w_{1})$ 是端点在对角线 $x+y=w_{1}$ 上的向量的集合。称这些为“$w_{1}$ 向量”。类似地，我们有“$w_{2}$ 向量”和“$w_{1}+w_{2}$ 向量”。那么加法保持属性说

一个“$w_{1}$ 向量”	加上	一个“$w_{2}$ 向量”	等于	一个“$w_{1}+w_{2}$ 向量”。

换句话说，如果将一个 $w_{1}$ 向量加到一个 $w_{2}$ 向量上，则结果被 $h$ 映射到一个 $w_{1}+w_{2}$ 向量。简而言之，和的像就是像的和。更简短地说， $h({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})=h({\vec {v}}_{1})+h({\vec {v}}_{2})$。（标量乘法条件的保留也有类似的重述。）

例 2.9

逆像是除了直线以外的结构。对于线性映射 $h:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}$

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x\\x\end{pmatrix}}$

逆映像集是平面 $x=0$，$x=1$ 等等，垂直于 $x$ 轴。

我们不会描述我们使用的每一个同态都是一个类比，因为我们对“在……方面相似”的正式理解是“存在一个同态，使得……”。然而，同态之间的同态表达了域中的向量如何落入类似于范围中的向量的类，这是一个很好的看待同态的方式。

我们不会将我们看到的所有同态都像上面那样处理的另一个原因是，许多向量空间难以绘制（例如，多项式空间）。然而，从我们能够绘制的那些空间中获得见解并没有什么不好，尤其是在这些见解扩展到所有向量空间时。我们从三个例子中获得了两点这样的见解：2.7、2.8 和 2.9。

首先，在这三个例子中，逆像是直线或平面，即线性曲面。特别是，范围的零向量的逆像是经过原点的直线或平面——域的子空间。

引理 2.10

对于任何同态，范围的子空间的逆像是域的子空间。特别地，范围的平凡子空间的逆像是域的子空间。

证明

Let $h:V\to W$ be a homomorphism and let $S$ be a subspace of the rangespace $h$. Consider $h^{-1}(S)=\{{\vec {v}}\in V\,{\big |}\,h({\vec {v}})\in S\}$, the inverse image of the set $S$. It is nonempty because it contains ${\vec {0}}_{V}$, since $h({\vec {0}}_{V})={\vec {0}}_{W}$, which is an element $S$, as $S$ is a subspace. To show that $h^{-1}(S)$ is closed under linear combinations, let ${\vec {v}}_{1}$ and ${\vec {v}}_{2}$ be elements, so that $h({\vec {v}}_{1})$ and $h({\vec {v}}_{2})$ are elements of $S$, and then $c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}$ is also in the inverse image because $h(c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2})=c_{1}h({\vec {v}}_{1})+c_{2}h({\vec {v}}_{2})$ is a member of the subspace $S$.

定义 2.11

线性映射 $h:V\to W$ 的**零空间**或**核**是 $0_{W}$ 的逆像

${\mathcal {N}}(h)=h^{-1}({\vec {0}}_{W})=\{{\vec {v}}\in V\,{\big |}\,h({\vec {v}})={\vec {0}}_{W}\}.$

零空间的维数是映射的**零度**。

例 2.12

来自示例 2.3 的映射具有以下零空间 ${\mathcal {N}}(d/dx)=\{a_{0}+0x+0x^{2}+0x^{3}\,{\big |}\,a_{0}\in \mathbb {R} \}$.

示例 2.13

来自示例 2.4 的映射具有以下零空间。

${\mathcal {N}}(h)=\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&-(a+b)/2\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$

现在从上面的图片中得到第二个见解。在示例 2.7 中，每条垂直线都被压缩到一个点—— $\pi$，从定义域到值域，将所有这些一维垂直线“归零”，使值域比定义域少一个维度。类似地，在示例 2.8 中，二维定义域被映射到一维值域，方法是将定义域分解成线（这里，它们是对角线），并将每条线压缩成值域中的单个成员。最后，在示例 2.9 中，定义域分解成平面，这些平面被“归零”，因此映射从三维定义域开始，但以一维值域结束——该映射“减去”了两个维度。（请注意，在这个第三个例子中，陪域是二维的，但映射的值域只有一维，而我们感兴趣的是值域的维度。）

定理 2.14

线性映射的秩加上它的零度等于它的定义域的维度。

证明

令 $h:V\to W$ 是线性映射，并令 $B_{N}=\langle {\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{k}\rangle$ 是零空间的基。将其扩展到整个定义域的基 $B_{V}=\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{k},{\vec {\beta }}_{k+1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$。我们将证明 $B_{R}=\langle h({\vec {\beta }}_{k+1}),\dots ,h({\vec {\beta }}_{n})\rangle$ 是值域空间的基。然后通过计算这些基的大小得出结果。

为了证明 $B_{R}$ 线性无关，考虑方程 $c_{k+1}h({\vec {\beta }}_{k+1})+\dots +c_{n}h({\vec {\beta }}_{n})={\vec {0}}_{W}$。这表明 $h(c_{k+1}{\vec {\beta }}_{k+1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})={\vec {0}}_{W}$，因此 $c_{k+1}{\vec {\beta }}_{k+1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ 属于 $h$ 的零空间。由于 $B_{N}$ 是该零空间的基底，存在满足该关系的标量 $c_{1},\dots ,c_{k}\in \mathbb {R}$。

$c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{k}{\vec {\beta }}_{k}=c_{k+1}{\vec {\beta }}_{k+1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$

但 $B_{V}$ 是 $V$ 的基底，因此每个标量都等于零。因此，$B_{R}$ 线性无关。

为了说明 $B_{R}$ 跨越了值域，考虑 $h({\vec {v}})\in {\mathcal {R}}(h)$ 并将 ${\vec {v}}$ 写成 $B_{V}$ 中成员的线性组合，即 ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$。这给了我们 $h({\vec {v}})=h(c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})=c_{1}h({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{k}h({\vec {\beta }}_{k})+c_{k+1}h({\vec {\beta }}_{k+1})+\dots +c_{n}h({\vec {\beta }}_{n})$， 由于 ${\vec {\beta }}_{1}$， ...， ${\vec {\beta }}_{k}$ 位于零空间，我们有 $h({\vec {v}})={\vec {0}}+\dots +{\vec {0}}+c_{k+1}h({\vec {\beta }}_{k+1})+\dots +c_{n}h({\vec {\beta }}_{n})$。 因此，$h({\vec {v}})$ 是 $B_{R}$ 中成员的线性组合，因此 $B_{R}$ 跨越该空间。

示例 2.15

其中 $h:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{4}$ 是

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\stackrel {h}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}x\\0\\y\\0\end{pmatrix}}$

值域和零空间分别是

${\mathcal {R}}(h)=\{{\begin{pmatrix}a\\0\\b\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}\quad {\text{and}}\quad {\mathcal {N}}(h)=\{{\begin{pmatrix}0\\0\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,z\in \mathbb {R} \}$

因此，$h$ 的秩为 2，零度为 1。

例 2.16

如果 $t:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 是线性变换 $x\mapsto -4x,$ 那么值域是 ${\mathcal {R}}(t)=\mathbb {R} ^{1}$，因此 $t$ 的秩为 1，零度为 0。

推论 2.17

线性映射的秩小于或等于域的维数。当且仅当映射的零度为零时，等号成立。

我们知道，两个空间之间存在同构，当且仅当它们的维数相等。这里我们看到，为了使同态存在，值域的维数必须小于或等于域的维数。例如，不存在从 $\mathbb {R} ^{2}$ 到 $\mathbb {R} ^{3}$ 的满射同态。存在许多从 $\mathbb {R} ^{2}$ 到 $\mathbb {R} ^{3}$ 的同态，但没有一个是满射到整个三维空间的。

线性映射的陪域维数可能严格小于定义域维数（例 2.3 中，${\mathcal {P}}_{3}$ 上的导数变换的定义域维数为 4，而陪域维数为 3）。因此，在同态下，定义域中的线性无关集可能映射到陪域中的线性相关集（例如，导数将 $\{1,x,x^{2},x^{3}\}$ 映射到 $\{0,1,2x,3x^{2}\}$）。也就是说，在同态下，线性无关性可能会丢失。相反，线性相关性仍然保持。

引理 2.18

在线性映射下，线性相关集的像仍然是线性相关集。

证明

假设 $c_{1}{\vec {v}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {v}}_{n}={\vec {0}}_{V}$，其中一些 $c_{i}$ 不为零。然后，因为 $h(c_{1}{\vec {v}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {v}}_{n})=c_{1}h({\vec {v}}_{1})+\dots +c_{n}h({\vec {v}}_{n})$ 并且因为 $h({\vec {0}}_{V})={\vec {0}}_{W}$，我们有 $c_{1}h({\vec {v}}_{1})+\dots +c_{n}h({\vec {v}}_{n})={\vec {0}}_{W}$，其中一些 $c_{i}$ 不为零。

什么时候线性无关性不会丢失？一个显而易见的充分条件是同态是同构。这个条件也是必要的；参见 问题 14。我们将通过观察到一个一对一同态是从其定义域到其陪域的同构来结束本节的讨论，比较同态和同构。

定义 2.19

一对一的线性映射称为非奇异。

（在下一节中，我们将看到这个“非奇异”在映射和矩阵中的使用之间的联系。）

例 2.20

这个非奇异同态 $\iota :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\stackrel {\iota }{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}$

这给出了$\mathbb {R} ^{2}$ 与 $xy$ 平面的明显对应关系，该平面位于 $\mathbb {R} ^{3}$ 中。

之前的观察使我们能够将一些关于同构的结果应用到这种情况下。

定理 2.21

在$n$ 维向量空间 $V$ 中，这些

1. $h$ 是非奇异的，也就是说，一对一的
2. $h$ 有线性逆
3. ${\mathcal {N}}(h)=\{{\vec {0}}\,\}$，也就是说，${\text{nullity}}\,(h)=0$
4. $\mathop {\mbox{rank}} (h)=n$
5. 如果 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 是 $V$ 的基，那么 $\langle h({\vec {\beta }}_{1}),\dots ,h({\vec {\beta }}_{n})\rangle$ 是 ${\mathcal {R}}(h)$ 的基

是关于线性映射 $h:V\to W$ 的等价陈述。

证明

我们首先将证明 $1\Longleftrightarrow 2$。然后我们将证明 $1\implies 3\implies 4\implies 5\implies 2$。

对于 $1\Longrightarrow 2$，假设线性映射 $h$ 是一对一的，因此有逆映射。该逆映射的定义域是 $h$ 的值域，因此该定义域中两个元素的线性组合具有以下形式：$c_{1}h({\vec {v}}_{1})+c_{2}h({\vec {v}}_{2})$。对该组合，逆映射 $h^{-1}$ 给出以下结果。

${\begin{array}{rl}h^{-1}(c_{1}h({\vec {v}}_{1})+c_{2}h({\vec {v}}_{2}))&=h^{-1}(h(c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}))\\&=h^{-1}\circ h\,(c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2})\\&=c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}\\&=c_{1}h^{-1}\circ h\,({\vec {v}}_{1})+c_{2}h^{-1}\circ h\,({\vec {v}}_{2})\\&=c_{1}\cdot h^{-1}(h({\vec {v}}_{1}))+c_{2}\cdot h^{-1}(h({\vec {v}}_{2}))\end{array}}$

因此，一对一线性映射的逆映射一定是线性的。但这同时也说明了 $1\Longrightarrow 2$ 的推论，因为逆映射本身必须是一对一的。

在剩余的推论中，$1\implies 3$ 成立，因为任何同态映射 ${\vec {0}}_{V}$ 到 ${\vec {0}}_{W}$，但一对一映射最多将 $V$ 中的一个元素映射到 ${\vec {0}}_{W}$。

接下来，$3\implies 4$ 为真，因为秩加零度等于域的维数。

对于 $4\implies 5$，为了证明 $\langle h({\vec {\beta }}_{1}),\dots ,h({\vec {\beta }}_{n})\rangle$ 是值域空间的基，我们只需要证明它是一个生成集，因为假设值域的维数为 $n$。考虑 $h({\vec {v}})\in {\mathcal {R}}(h)$。将 ${\vec {v}}$ 表示为基元素的线性组合得到 $h({\vec {v}})=h(c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+c_{2}{\vec {\beta }}_{2}+\cdots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})$，得到 $h({\vec {v}})=c_{1}h({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}h({\vec {\beta }}_{n})$，如预期的那样。

最后，对于$5\implies 2$ 推论，假设$\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 是$V$ 的基，使得$\langle h({\vec {\beta }}_{1}),\dots ,h({\vec {\beta }}_{n})\rangle$ 是${\mathcal {R}}(h)$ 的基。那么每一个${\vec {w}}\in {\mathcal {R}}(h)$ 都有一个唯一的表示${\vec {w}}=c_{1}h({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}h({\vec {\beta }}_{n})$。定义一个从${\mathcal {R}}(h)$ 到$V$ 的映射：

${\vec {w}}\;\mapsto \;c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+c_{2}{\vec {\beta }}_{2}+\cdots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$

（表示的唯一性使它定义良好）。检查它是线性的，并且它是$h$ 的逆，很容易。

我们现在已经看到线性映射是如何展现域的结构与值域的结构类似的。这样的映射可以被认为是将域空间组织成值域中点的逆像。在映射是一对一的特殊情况下，每个逆像是单个点，并且该映射是域和值域之间的同构。

练习

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问题 1

设$h:{\mathcal {P}}_{3}\to {\mathcal {P}}_{4}$ 由$p(x)\mapsto x\cdot p(x)$ 给出。以下哪些在零空间中？哪些在值域中？

1. $x^{3}$
2. $0$
3. $7$
4. $12x-0.5x^{3}$
5. $1+3x^{2}-x^{3}$

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问题 2

求每个映射的零空间、零度、值域和秩。

1. $h:\mathbb {R} ^{2}\to {\mathcal {P}}_{3}$ 由下式给出

   ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\mapsto a+ax+ax^{2}$

2. $h:{\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}\to \mathbb {R}$ 由下式给出

   ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto a+d$

3. $h:{\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}\to {\mathcal {P}}_{2}$ 由下式给出

   ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto a+b+c+dx^{2}$

4. 零映射 $Z:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{4}$

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问题 3

求每个映射的零度。

1. $h:\mathbb {R} ^{5}\to \mathbb {R} ^{8}$ 的秩为 5
2. $h:{\mathcal {P}}_{3}\to {\mathcal {P}}_{3}$ 的秩为 1
3. $h:\mathbb {R} ^{6}\to \mathbb {R} ^{3}$, 一个满射
4. $h:{\mathcal {M}}_{3\!\times \!3}\to {\mathcal {M}}_{3\!\times \!3}$, 满射

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问题 4

求微分变换 $d/dx:{\mathcal {P}}_{n}\to {\mathcal {P}}_{n}$ 的零空间？求二阶导数作为 ${\mathcal {P}}_{n}$ 的变换的零空间？第 $k$ 阶导数？

问题 5

例 2.7 将同态定义中的第一个条件重新表述为“一个和的影子是影子的和”。以同样的方式重新表述第二个条件。

问题 6

对于由 $h(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3})=a_{0}+(a_{0}+a_{1})x+(a_{2}+a_{3})x^{3}$ 给出的同态 $h:{\mathcal {P}}_{3}\to {\mathcal {P}}_{3}$，求这些。

1. ${\mathcal {N}}(h)$
2. $h^{-1}(2-x^{3})$
3. $h^{-1}(1+x^{2})$

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问题 7

对于由下式给出的映射 $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$

$f({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})=2x+y$

绘制以下逆像集：$f^{-1}(-3)$, $f^{-1}(0)$ 和 $f^{-1}(1)$。

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问题 8

这些 ${\mathcal {P}}_{3}$ 的变换都是非奇异的。找到每个变换的逆函数。

1. $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mapsto a_{0}+a_{1}x+2a_{2}x^{2}+3a_{3}x^{3}$
2. $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mapsto a_{0}+a_{2}x+a_{1}x^{2}+a_{3}x^{3}$
3. $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mapsto a_{1}+a_{2}x+a_{3}x^{2}+a_{0}x^{3}$
4. $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mapsto a_{0}+(a_{0}+a_{1})x+(a_{0}+a_{1}+a_{2})x^{2}+(a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3})x^{3}$

问题 9

描述由 ${\vec {v}}\mapsto 2{\vec {v}}$ 给出的变换的零空间和值域。

问题 10

列出所有可能的线性映射对 $({\text{rank}}(h),{\text{nullity}}(h))$，它们是来自 $\mathbb {R} ^{5}$ 到 $\mathbb {R} ^{3}$ 的线性映射。

问题 11

微分映射 $d/dx:{\mathcal {P}}_{n}\to {\mathcal {P}}_{n}$ 有逆吗？

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问题 12

找到由 $h:{\mathcal {P}}_{n}\to \mathbb {R}$ 给出的映射的零度，其中

$a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}\mapsto \int _{x=0}^{x=1}a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}\,dx.$

问题 13

1. 证明一个同态是满射当且仅当它的秩等于其陪域的维数。
2. 由此得出，一个维数相同的向量空间之间的同态是一对一当且仅当它满射。

问题 14

证明一个线性映射是非奇异的当且仅当它保持线性无关。

问题 15

推论 2.17 指出，要从向量空间 $V$ 到向量空间 $W$ 存在一个满射同态，$W$ 的维数必须小于或等于 $V$ 的维数。证明这个条件也是充分的；用 定理 1.9 证明，如果 $W$ 的维数小于或等于 $V$ 的维数，那么从 $V$ 到 $W$ 存在一个满射同态。

问题 16

令 $h:V\to \mathbb {R}$ 是一个同态，但不是零同态。证明如果 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 是零空间的基，如果 ${\vec {v}}\in V$ 不在零空间内，那么 $\langle {\vec {v}},{\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 是整个定义域 $V$ 的基。

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问题 17

回顾零空间是定义域的子集，值域是陪域的子集。它们是否必然不同？是否存在同态使其零空间和值域有非平凡的交集？

问题 18

证明一个子空间的像等于像的子空间。也就是说，当 $h:V\to W$ 是线性变换时，证明如果 $S$ 是 $V$ 的子集，则 $h([S])$ 等于 $[h(S)]$。这推广了 引理 2.1，因为它表明，如果 $U$ 是 $V$ 的任何子空间，那么它的像 $\{h({\vec {u}})\,{\big |}\,{\vec {u}}\in U\}$ 是 $W$ 的子空间，因为集合 $U$ 的子空间就是 $U$。

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习题 19

1. 证明对于任何线性映射 $h:V\to W$ 和任何 ${\vec {w}}\in W$，集合 $h^{-1}({\vec {w}})$ 具有以下形式

   $\{{\vec {v}}+{\vec {n}}\,{\big |}\,{\vec {n}}\in {\mathcal {N}}(h)\}$

   对于 ${\vec {v}}\in V$，其中 $h({\vec {v}})={\vec {w}}$（如果 $h$ 不是满射，那么这个集合可能为空）。这样一个集合是 ${\mathcal {N}}(h)$ 的 **陪集**，记作 ${\vec {v}}+{\mathcal {N}}(h)$。
2. 考虑映射 $t:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$，由

   ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\stackrel {t}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}$

   给出，其中 $a$，$b$，$c$，$d$ 是标量。证明 $t$ 是线性的。
3. 从前面两项得出，对于任何形式为

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}ax&+&by&=&e\\cx&+&dy&=&f\end{array}}$

   的线性方程组，解集可以写成（向量是 $\mathbb {R} ^{2}$ 的元素）

   $\{{\vec {p}}+{\vec {h}}\,{\big |}\,{\vec {h}}{\text{ satisfies the associated homogeneous system}}\}$

   其中 ${\vec {p}}$ 是该线性系统的特解（如果不存在特解，则上述集合为空）。
4. 证明这个映射 $h:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ 是线性的。

   ${\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a_{1,1}x_{1}+\dots +a_{1,n}x_{n}\\\vdots \\a_{m,1}x_{1}+\dots +a_{m,n}x_{n}\end{pmatrix}}$

   对于任何标量 $a_{1,1}$，...，$a_{m,n}$。扩展上一项的结论。
5. 证明 $k$阶导数映射对于每个 $k$ 都是 ${\mathcal {P}}_{n}$ 的线性变换。证明该映射是该空间的线性变换。

   $f\mapsto {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}f+c_{k-1}{\frac {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}f+\dots +c_{1}{\frac {d}{dx}}f+c_{0}f$

   对于任何标量 $c_{k}$，...，$c_{0}$。得出类似上面的结论。

问题 20

证明对于任何秩为1的变换 $t:V\to V$，由该算子自身复合得到的映射 $t\circ t:V\to V$ 满足 $t\circ t=r\cdot t$，其中 $r$ 是某个实数。

问题 21

证明对于任何维数为 $n$ 的空间 $V$，对偶空间

$\mathop {\mathcal {L}} (V,\mathbb {R} )=\{h:V\to \mathbb {R} \,{\big |}\,h{\text{ is linear}}\}$

与 $\mathbb {R} ^{n}$ 同构。它通常表示为 $V^{\ast }$。由此得出结论 $V^{\ast }\cong V$.

问题 22

证明任何线性映射都是秩为一的映射的和。

问题 23

"同态于" 是否是一种等价关系？ (提示： 困难在于决定引号中的短语的适当含义。)

问题 24

证明线性映射 $t:V\to V$ 的幂的像空间和零空间形成下降

$V\supseteq {\mathcal {R}}(t)\supseteq {\mathcal {R}}(t^{2})\supseteq \ldots$

和上升

$\{{\vec {0}}\}\subseteq {\mathcal {N}}(t)\subseteq {\mathcal {N}}(t^{2})\subseteq \ldots$

链。还表明如果$k$ 使得${\mathcal {R}}(t^{k})={\mathcal {R}}(t^{k+1})$ 那么所有后续的范围空间都是相等的：${\mathcal {R}}(t^{k})={\mathcal {R}}(t^{k+1})={\mathcal {R}}(t^{k+2})\ldots \,$。类似地，如果${\mathcal {N}}(t^{k})={\mathcal {N}}(t^{k+1})$ 那么${\mathcal {N}}(t^{k})={\mathcal {N}}(t^{k+1})={\mathcal {N}}(t^{k+2})=\ldots \,$。

解决方案