线性代数/简化阶梯形

在开发高斯消元法的方法后，我们观察到它可以以不止一种方式完成。一个例子是我们有时必须交换行，并且可以选择不止一行。另一个例子是，从这个矩阵

${\begin{pmatrix}2&2\\4&3\end{pmatrix}}$

高斯消元法可以推导出这些阶梯形矩阵中的任何一个。

${\begin{pmatrix}2&2\\0&-1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}2&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

第一个结果来自 $-2\rho _{1}+\rho _{2}$. 第二个来自 $(1/2)\rho _{1}$ 和 $-4\rho _{1}+\rho _{2}$。第三个来自 $-2\rho _{1}+\rho _{2}$ 然后是 $2\rho _{2}+\rho _{1}$（在第一个主元之后，矩阵已经处于阶梯形，因此第二个是额外的工作，但这仍然是一个合法的行操作）。

高斯消元法阶梯形结果不唯一的事实让我们留下了一些问题。一个线性系统的任何两个阶梯形版本是否会有相同数量的自由变量？事实上，它们是否会有完全相同的自由变量？在本节中，我们将对这两个问题都回答“是”。我们将做更多的事情来回答这些问题。我们将提供一种方法来判断一个线性系统是否可以通过行操作从另一个线性系统推导出。这两个问题的答案将从这个更大的结果中得出。