线性代数/线性方程组

线性方程组

线性代数中一个重要的问题是求解域 F 上 n 个变量的 m 个线性方程组

$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=b_{1}$
$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2}$
...
$a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n}=b_{m}$.

其中所有 $a_{ij}$ 都是域的元素。

线性方程组的例子：线性系统 (2):

$2x_{1}-x_{2}+1.5x_{3}=8$

$x_{1}-4x_{3}=-7$

一个解是数字列表 $\left(s_{1},s_{2},...,s_{n}\right)$，当将值 $s_{1},s_{2},...s_{n}$ 分别代入 $x_{1},...,x_{n}$ 时，使得每个方程都成立。例如， $\left(5,6.5,3\right)$ 是系统 (2) 的解，因为当将这些值分别代入 (2) 中的 $x_{1},x_{2},x_{3}$ 时，方程简化为 $8=8$ 和 $-7=-7$。

所有可能解的集合称为线性方程组的解集。两个线性方程组如果具有相同的解集，则称为等价。也就是说，第一个方程组的每个解都是第二个方程组的解，反之亦然。

求解一个有两个变量的线性方程组的解集很容易，因为这与求两条直线的交点相同。一个典型问题是

$x_{1}-3x_{2}=-1$

$-x_{1}+4x_{2}=3$

我们将这两条直线的图形分别表示为 $l_{1}$ 和 $l_{2}$。一对数字 $\left(x_{1},x_{2}\right)$ 满足系统中的两个方程，当且仅当点 $\left(x_{1},x_{2}\right)$ 同时位于 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 上。在上面的系统中，解是单个点 $\left(5,2\right)$，正如您在图 1 中很容易看到的那样。

图 1：恰好一个解

当然，两条直线并不一定在一个点相交，它们可能是平行的，或者它们可能重合，并在直线上的每个点“相交”。图 2 和图 3 显示了可视化此现象的图形。

图 2：无解

图 3：无穷多个解

如果一个线性方程组具有一个解或无穷多个解，则该方程组被称为相容的；如果一个方程组无解，则该方程组被称为不相容的。

在线性代数中，我们关注三个问题

1. 一个线性方程组是相容的还是不相容的？
2. 如果是相容的，解集中有多少个元素？
3. 解集是什么？

动机

线性方程组在科学和数学中很常见。这两个来自高中科学的例子说明了它们是如何出现的。

第一个例子来自物理学。假设我们给定三个物体，其中一个已知质量为 2 千克，要求我们找到未知质量。假设进一步用米尺进行实验得到以下两个平衡。

由于每个天平左侧力矩的总和等于右侧力矩的总和（物体的力矩是其质量乘以它到天平平衡点的距离），因此这两个天平给出了这个由两个方程组成的系统。

$40h+15c=100$

$25c=50+50h$

线性方程组的第二个例子来自化学。在受控条件下，我们可以混合甲苯 C₇H₈ 和硝酸 HNO₃，以生成三硝基甲苯 C₇H₅O₆N₃ 以及副产物水（条件必须严格控制，因为三硝基甲苯更广为人知的名字是炸药）。这些成分应该以什么比例混合？反应前每种元素的原子数

$x\,{\rm {C}}_{7}{\rm {H}}_{8}\ +\ y\,{\rm {H}}{\rm {N}}{\rm {O}}_{3}\longrightarrow z\,{\rm {C}}_{7}{\rm {H}}_{5}{\rm {O}}_{6}{\rm {N}}_{3}\ +\ w\,{\rm {H}}_{2}{\rm {O}}$

必须等于反应后的原子数。将此原理分别应用于元素 C、H、N 和 O，便得到了这个方程组。

${\begin{matrix}7x=7z\\8x+1y=5z+2w\\1y=3z\\3y=6z+1w\end{matrix}}$

要完成这些例子中的每一个，都需要解一个方程组。在每个方程组中，方程只包含变量的一阶项。本章将介绍线性方程组。我们将在后面解决它们。

矩阵表示法

线性方程组的必要信息可以用一个称为矩阵的矩形数组来描述。给定方程组

$3x_{1}+5x_{2}+2x_{3}=0$

$x_{1}-8x_{2}=10$

$-2x_{2}+x_{3}=-8$

将每个变量的系数对齐成列，我们得到了一个称为系数矩阵（或系数矩阵）的矩阵。系数矩阵如下所示

${\begin{bmatrix}3&&5&&2\\1&&-8&&0\\0&&-2&&1\end{bmatrix}}$

如果您查看线性方程的定义（1），这将是有意义的。第二行包含一个零，因为第二个方程可以写成 $x_{1}-8x_{2}+0x_{3}=10$

我们还有一个称为增广矩阵的矩阵，对于同一个系统，它看起来像这样

${\begin{bmatrix}3&&5&&2&&0\\1&&-8&&0&&10\\0&&-2&&1&&-8\end{bmatrix}}$

一个方程组的增广矩阵由系数矩阵组成，并添加一列，包含来自方程右边的常数。再次查看线性方程的定义（1），如果它没有意义。

矩阵的大小告诉我们它有多少行和列。上面的增广矩阵有 3 行和 4 列，因此它被称为 3x4（读作“3 行 4 列”）矩阵。m 和 n 是正整数，一个m x n 矩阵是一个包含 m 行和 n 列的矩形数字数组。矩阵表示法将简化线性方程组的计算。

初等行变换

有三种初等行变换

1. 替换
2. 互换
3. 缩放

以下是三种不同操作的解释和示例。在本章线性方程组中，我们已经使用了所有这些操作，除了缩放。

需要记住的一点是，所有操作都可以应用于所有矩阵，而不仅仅是源自线性系统的矩阵。

替换

用自身加上另一行的倍数来替换一行。对行替换更常见的解释是“将另一行的倍数加到一行上”。

例如，我们给定了线性系统

$x_{1}+4x_{2}=3$

$2x_{1}+2x_{2}=4$

可以用矩阵表示法，作为增广矩阵，写成如下形式

${\begin{bmatrix}1&&4&&3\\2&&2&&4\end{bmatrix}}$

现在我们决定消除方程式 2 中的 $x_{1}$ 项，这可以通过将方程式 1 的 -2 倍加到方程式 2 来实现

${\begin{matrix}-2*[equation\ 1]:&-2x_{1}-8x_{2}=-6\\{\underline {+[equation\ 2]:}}&{\underline {2x_{1}+2x_{2}=4}}\\\left[new\ equation\ 2\right]:&-6x_{2}=-2\end{matrix}}$

这给了我们矩阵

${\begin{bmatrix}1&&4&&3\\0&&-6&&-2\end{bmatrix}}$

互换

交换两行。

例如，我们给定了矩阵

${\begin{bmatrix}1&&2&&3\\2&&3&&1\end{bmatrix}}$

在这里，我们在两行上执行了交换操作

${\begin{bmatrix}2&&3&&1\\1&&2&&3\end{bmatrix}}$

当您尝试解决线性系统时，此操作非常有用，并且可以看出通过交换两行会更容易解决。这是一个广泛使用的操作，即使它看起来很奇怪且不太实用。

缩放

将一行中的所有条目乘以非零常数。

例如，我们给定了矩阵

${\begin{bmatrix}1&&2&&3\\2&&3&&1\end{bmatrix}}$

现在，通过乘以 -2，在第一行上执行了缩放操作

${\begin{bmatrix}-2&&-4&&-6\\2&&3&&1\end{bmatrix}}$

求解线性系统

求解线性方程组的基本策略是用等效方程组（即具有相同解集的另一个方程组）替换一个方程组，使其更容易求解。这可以通过使用 $x_{1}$ 从第一个方程中消去 $x_{1}$ 在其他方程中的项，使用 $x_{2}$ 从第二个方程中消去 $x_{2}$ 在其他方程中的项，依此类推，直到你得到一个非常简单的等效方程组。有三种操作用于简化一个方程组。你可以用一个方程加上另一个方程的倍数来替换一个方程，我们可以交换两个方程，以及用一个非零常数乘以一个方程中的所有项。在这个例子中，我们可以看到为什么这些操作不会改变方程组的解集。

示例 1：求解以下线性方程组

$x_{1}-2x_{2}+x_{3}=0$

$2x_{2}-8x_{3}=8$

$-4x_{1}+5x_{2}+9x_{3}=-9$

该方程组的增广矩阵为

${\begin{bmatrix}1&&-2&&1&&0\\0&&2&&-8&&8\\-4&&5&&9&&-9\end{bmatrix}}$

我们首先想要保留 $x_{1}$ 在第一个方程中，并从其他方程中消去它。

为了实现这一点，我们将第一个方程的 4 倍加到第三个方程。

${\begin{matrix}4*[equation\ 1]:&4x_{1}-8x_{2}+4x_{3}=0\\{\underline {+[equation\ 3]:}}&{\underline {-4x_{1}+5x_{2}+9x_{3}=-9}}\\\left[new\ equation\ 3\right]:&-3x_{2}+13x_{3}=-9\end{matrix}}$

此计算结果将写回原第三个方程的位置。

${\begin{matrix}x_{1}-2x_{2}+x_{3}=0\\2x_{2}-8x_{3}=8\\-3x_{2}+13x_{3}=-9\end{matrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&&-2&&1&&0\\0&&2&&-8&&8\\0&&-3&&13&&-9\end{bmatrix}}$

接下来我们要做的是用 ${\frac {1}{2}}$ 乘以方程 2，以获得 $x_{2}$ 的系数为 1，这将简化下一步的计算

${\begin{matrix}x_{1}-2x_{2}+x_{3}=0\\x_{2}-4x_{3}=4\\-3x_{2}+13x_{3}=-9\end{matrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&&-2&&1&&0\\0&&1&&-4&&4\\0&&-3&&13&&-9\end{bmatrix}}$

现在，我们利用方程 2 中的 $x_{2}$ 来消去方程 3 中的 $-3x_{2}$

${\begin{matrix}3*[equation\ 2]:&3x_{2}-12x_{3}=12\\{\underline {+[equation\ 3]:}}&{\underline {-3x_{2}+13x_{3}=-9}}\\\left[new\ equation\ 3\right]:&x_{3}=3\end{matrix}}$

新的线性系统具有三角形形式，称为阶梯形，看起来像这样

${\begin{matrix}x_{1}-2x_{2}+x_{3}=0\\x_{2}-4x_{3}=4\\x_{3}=3\end{matrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&&-2&&1&&0\\0&&1&&-4&&4\\0&&0&&1&&3\end{bmatrix}}$

下一步是利用方程 3 中的 $x_{3}$ 来消去方程 1 和 2 中的 $x_{3}$ 和 $-4x_{3}$。

${\begin{matrix}-1*[equation\ 3]:&-x_{3}=-3\\{\underline {+[equation\ 1]:}}&{\underline {x_{1}-2x_{2}+x_{3}=0}}\\\left[new\ equation\ 1\right]:&x_{1}-2x_{2}=-3\end{matrix}}\qquad \qquad {\begin{matrix}4*[equation\ 3]:&4x_{3}=12\\{\underline {+[equation\ 2]:}}&{\underline {x_{2}-4x_{3}=4}}\\\left[new\ equation\ 2\right]:&x_{2}=16\end{matrix}}$

现在，这个系统看起来像这样

${\begin{matrix}x_{1}-2x_{2}=-3\\x_{2}=16\\x_{3}=3\end{matrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&&-2&&0&&-3\\0&&1&&0&&16\\0&&0&&1&&3\end{bmatrix}}$

现在，我们距离获得线性系统解只有一步之遥。最后一步是将方程 2 的 2 倍加到方程 1。这样，我们得到一个线性系统，它具有 简化行阶梯形式

${\begin{matrix}x_{1}=29\\x_{2}=16\\x_{3}=3\end{matrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&&0&&0&&29\\0&&1&&0&&16\\0&&0&&1&&3\end{bmatrix}}$

现在，线性系统已求解，表明原始系统的唯一解是 $(29,16,3)$。但是，由于涉及大量的计算，建议您检查您的工作。这可以通过将解代入原始系统来完成

$(29)-2(16)+(3)=29-32+3=0$

$2(16)-8(3)=32-24=8$

$-4(29)+5(16)+9(3)=-116+80+27=-9$

这表明我们找到的解是正确的，因此是原始线性系统的解。