线性代数/行和列运算

基本行运算

有三种基本行运算

1. 替换
2. 交换
3. 缩放

以下是三种不同运算的解释和示例。在线性方程组这一章节中，我们已经使用过所有这些运算，除了缩放。

需要记住的一点是，所有运算都可以应用于所有矩阵，而不仅仅是应用于线性系统派生的矩阵。

替换

用自身加上另一行乘以一个倍数来替换一行。对行替换的更常见的说法是“将另一行乘以一个倍数加到一行”。

例如，我们得到一个线性系统

$x_{1}+4x_{2}=3$

$2x_{1}+2x_{2}=4$

这可以写成矩阵形式，作为一个增广矩阵，像这样

${\begin{bmatrix}1&&4&&3\\2&&2&&4\end{bmatrix}}$

现在我们决定消除方程 2 中的$x_{1}$ 项；这可以通过将方程 1 乘以 -2 加到方程 2 来实现

${\begin{matrix}-2*[equation\ 1]:&-2x_{1}-8x_{2}=-6\\{\underline {+[equation\ 2]:}}&{\underline {2x_{1}+2x_{2}=4}}\\\left[new\ equation\ 2\right]:&-6x_{2}=-2\end{matrix}}$

这给我们矩阵

${\begin{bmatrix}1&&4&&3\\0&&-6&&-2\end{bmatrix}}$

交换

交换两行。

例如，我们得到矩阵

${\begin{bmatrix}1&&2&&3\\2&&3&&1\end{bmatrix}}$

这里我们对两行进行了交换运算。

${\begin{bmatrix}2&&3&&1\\1&&2&&3\end{bmatrix}}$

当您尝试求解一个线性系统，并发现通过交换两行来求解会更容易时，这是一个有用的运算。这是一个广泛使用的运算，即使它看起来很奇怪，而且不常用。

缩放

将一行中的所有元素乘以一个非零常数。

例如，我们得到矩阵

${\begin{bmatrix}1&&2&&3\\2&&3&&1\end{bmatrix}}$

现在，通过乘以 -2 对第一行进行了缩放运算

${\begin{bmatrix}-2&&-4&&-6\\2&&3&&1\end{bmatrix}}$