线性代数/自复合/解答

解答

问题 1

给出零变换和恒等变换的范围空间和零空间链。

解答

对于零变换，无论空间是什么，范围空间链都是$V\supset \{{\vec {0}}\}=\{{\vec {0}}\}=\cdots \,$，而零空间链是$\{{\vec {0}}\}\subset V=V=\cdots \,$。对于恒等变换，链是$V=V=V=\cdots$ 和 $\{{\vec {0}}\}=\{{\vec {0}}\}=\cdots \,$。

问题 2

对于每个映射，给出范围空间链、零空间链、广义范围空间和广义零空间。

1. $t_{0}:{\mathcal {P}}_{2}\to {\mathcal {P}}_{2}$，$a+bx+cx^{2}\mapsto b+cx^{2}$
2. $t_{1}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$,

   ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\\a\end{pmatrix}}$

3. $t_{2}:{\mathcal {P}}_{2}\to {\mathcal {P}}_{2}$，$a+bx+cx^{2}\mapsto b+cx+ax^{2}$
4. $t_{3}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$,

   ${\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a\\a\\b\end{pmatrix}}$

解答

1. 迭代 $t_{0}$ 两次 $a+bx+cx^{2}\mapsto b+cx^{2}\mapsto cx^{2}$ 得

   $a+bx+cx^{2}{\stackrel {t_{0}^{2}}{\longmapsto }}cx^{2}$

   任何更高幂都是相同映射。因此，虽然 ${\mathcal {R}}(t_{0})$ 是没有线性项的二次多项式的空间 $\{p+rx^{2}\,{\big |}\,p,r\in \mathbb {C} \}$，而 ${\mathcal {R}}(t_{0}^{2})$ 是纯二次多项式的空间 $\{rx^{2}\,{\big |}\,r\in \mathbb {C} \}$，这是链稳定的地方 ${\mathcal {R}}_{\infty }(t_{0})=\{rx^{2}\,{\big |}\,n\in \mathbb {C} \}$。至于零空间，${\mathcal {N}}(t_{0})$ 是纯线性二次多项式的空间 $\{qx\,{\big |}\,q\in \mathbb {C} \}$，而 ${\mathcal {N}}(t_{0}^{2})$ 是没有 $x^{2}$ 项的二次多项式的空间 $\{p+qx\,{\big |}\,p,q\in \mathbb {C} \}$，这就是结束的地方 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t_{0})={\mathcal {N}}(t_{0}^{2})$.
2. 二次方

   ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}{\stackrel {t_{1}}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}0\\a\end{pmatrix}}{\stackrel {t_{1}}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

   是零映射。因此，值域空间链

   $\mathbb {R} ^{2}\supset \{{\begin{pmatrix}0\\p\end{pmatrix}}\,{\big |}\,p\in \mathbb {C} \}\supset \{{\vec {0}}\,\}=\cdots$

   和零空间链

   $\{{\vec {0}}\,\}\subset \{{\begin{pmatrix}q\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,q\in \mathbb {C} \}\subset \mathbb {R} ^{2}=\cdots$

   的长度都是 2。广义值域空间是平凡子空间，广义零空间是整个空间。
3. 该映射的迭代循环如下：

   $a+bx+cx^{2}{\stackrel {t_{2}}{\longmapsto }}b+cx+ax^{2}{\stackrel {t_{2}}{\longmapsto }}c+ax+bx^{2}{\stackrel {t_{2}}{\longmapsto }}a+bx+cx^{2}\;\cdots$

   值域空间和零空间链是平凡的。

   ${\mathcal {P}}_{2}={\mathcal {P}}_{2}=\cdots \qquad \{{\vec {0}}\,\}=\{{\vec {0}}\,\}=\cdots$

   因此，显然，广义空间为 ${\mathcal {R}}_{\infty }(t_{2})={\mathcal {P}}_{2}$ 和 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t_{2})=\{{\vec {0}}\,\}$.
4. 我们有

   ${\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a\\a\\b\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a\\a\\a\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a\\a\\a\end{pmatrix}}\mapsto \cdots$

   因此，值域空间的链为

   $\mathbb {R} ^{3}\supset \{{\begin{pmatrix}p\\p\\r\end{pmatrix}}\,{\big |}\,p,r\in \mathbb {C} \}\supset \{{\begin{pmatrix}p\\p\\p\end{pmatrix}}\,{\big |}\,p\in \mathbb {C} \}=\cdots$

   和零空间链

   $\{{\vec {0}}\,\}\subset \{{\begin{pmatrix}0\\0\\r\end{pmatrix}}\,{\big |}\,r\in \mathbb {C} \}\subset \{{\begin{pmatrix}0\\q\\r\end{pmatrix}}\,{\big |}\,q,r\in \mathbb {C} \}=\cdots$

   每个链的长度都是 2。广义空间是每个链中最后显示的空间。

问题 3

证明函数复合是结合的 $(t\circ t)\circ t=t\circ (t\circ t)$ 因此我们可以写成 $t^{3}$ 无需指定分组。

解答

每个都映射 $x\mapsto t(t(t(x)))$.

问题 4

检查一个子空间的维数必须小于或等于其超空间的维数。检查如果子空间是真子空间（子空间不等于超空间），则其维数严格小于。（这在 引理 1.3 的证明中使用。）

解答

回顾一下，如果 $W$ 是 $V$ 的子空间，那么 $W$ 的任何基底 $B_{W}$ 都可以被扩展成 $V$ 的一个基底 $B_{V}$。由此第一句话是直接的。第二句话也不难：$W$ 是 $B_{W}$ 的生成空间，如果 $W$ 是一个真子空间，那么 $V$ 不是 $B_{W}$ 的生成空间，所以 $B_{V}$ 必须比 $B_{W}$ 多至少一个向量。

问题 5

证明，如果变换 $t$ 是非奇异的，则广义值域 ${\mathcal {R}}_{\infty }(t)$ 是整个空间，广义零空间 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t)$ 是平凡的。这是否也是“当且仅当”？

解答

它是“当且仅当”。我们之前已经看到，线性映射是非奇异的，当且仅当它保持维数，也就是说，它的值域的维数等于它的定义域的维数。对于一个变换 $t:V\to V$，这意味着该映射是非奇异的，当且仅当它是满射的：${\mathcal {R}}(t)=V$（因此 ${\mathcal {R}}(t^{2})=V$，等等）。

问题 6

验证 引理 1.3 的零空间部分。

解答

零空间形成链，因为如果${\vec {v}}\in {\mathcal {N}}(t^{j})$，那么$t^{j}({\vec {v}})={\vec {0}}$，并且$t^{j+1}({\vec {v}})=t(\,t^{j}({\vec {v}})\,)=t({\vec {0}})={\vec {0}}$，因此${\vec {v}}\in {\mathcal {N}}(t^{j+1})$。

现在，零空间的“进一步”属性来自于它对值域空间成立这一事实，以及之前的练习。因为${\mathcal {R}}(t^{j})$的维数加上${\mathcal {N}}(t^{j})$的维数等于起始空间$V$的维数$n$，当值域空间的维数停止下降时，零空间的维数也停止下降。之前的练习表明，从这个点$k$开始，链中的包含关系不再是真包含——零空间是相等的。

问题 7

给出三维空间上一个变换的例子，其值域维数为 2。它的零空间是什么？迭代你的例子，直到值域空间和零空间稳定下来。

解答

（当然，很多例子都是正确的，但这里有一个。）一个例子是实数三元组上的移位算子$(x,y,z)\mapsto (0,x,y)$。零空间是所有以两个零开始的三元组。该映射在三次迭代后稳定下来。

问题 8

证明线性变换的值域空间和零空间不需要是不相交的。它们什么时候是不相交的？

解答

微分算子$d/dx:{\mathcal {P}}_{1}\to {\mathcal {P}}_{1}$的值域空间和零空间相同。对于它们不相交的例子——除了零向量之外——考虑恒等映射（或任何非奇异映射）。