线性代数/自复合

线性代数
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本节可选，但本节和下一节的后续材料需要它。

线性变换 $t:V\to V$ ，因为它的定义域和陪域相同，所以可以迭代。^[1] 也就是说，可以定义 $t$ 与自身的复合，如 $t^{2}=t\circ t$ 和 $t^{3}=t\circ t\circ t$ 。

注意，线性变换函数的这种幂记号与我们之前用过的它们的平方矩阵表示的记号相吻合，因为如果 ${\rm {Rep}}_{B,B}(t)=T$ ，那么 ${\rm {Rep}}_{B,B}(t^{j})=T^{j}$ 。

例 1.1

对于导数映射 $d/dx:{\mathcal {P}}_{3}\to {\mathcal {P}}_{3}$ ，由

a+bx+cx^{2}+dx^{3}{\stackrel {d/dx}{\longmapsto }}b+2cx+3dx^{2}

二次方是二阶导数

a+bx+cx^{2}+dx^{3}{\stackrel {d^{2}/dx^{2}}{\longmapsto }}2c+6dx

三次方是三阶导数

a+bx+cx^{2}+dx^{3}{\stackrel {d^{3}/dx^{3}}{\longmapsto }}6d

任何更高的幂都是零映射。

例 1.2

$2\!\times \!2$ 矩阵空间的此变换

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\stackrel {t}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}b&a\\d&0\end{pmatrix}}

有二次方

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\stackrel {t^{2}}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}}

以及这个三次方。

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\stackrel {t^{3}}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}b&a\\0&0\end{pmatrix}}

之后， $t^{4}=t^{2}$ 以及 $t^{5}=t^{3}$ ，等等。

这些例子表明，随着迭代次数的增加，零元素会越来越多，直到最终稳定下来。以下结果对此进行了精确的阐述。

引理 1.3

对于任何变换 $t:V\to V$ ，其幂的像空间形成一个递降链

V\supseteq {\mathcal {R}}(t)\supseteq {\mathcal {R}}(t^{2})\supseteq \cdots

而核空间形成一个递增链。

\{{\vec {0}}\,\}\subseteq {\mathcal {N}}(t)\subseteq {\mathcal {N}}(t^{2})\subseteq \cdots

此外，存在一个 $k$ ，使得对于小于 $k$ 的幂，子集是真子集（如果 $j<k$ 那么 ${\mathcal {R}}(t^{j})\supset {\mathcal {R}}(t^{j+1})$ 并且 ${\mathcal {N}}(t^{j})\subset {\mathcal {N}}(t^{j+1})$ ），而对于大于 $k$ 的幂，这些集合是相等的（如果 $j\geq k$ 那么 ${\mathcal {R}}(t^{j})={\mathcal {R}}(t^{j+1})$ 并且 ${\mathcal {N}}(t^{j})={\mathcal {N}}(t^{j+1})$ ）。

证明

我们将处理值域部分，并将剩余部分留给问题 6。然而，请记住，对于任何映射，其值域的维数加上其零空间的维数等于其域的维数。因此，如果值域缩小，则零空间必须增大。

范围空间形成链条的原因很清楚，因为如果 ${\vec {w}}\in {\mathcal {R}}(t^{j+1})$ ，使得 ${\vec {w}}=t^{j+1}({\vec {v}})$ ，那么 ${\vec {w}}=t^{j}(\,t({\vec {v}})\,)$ ，因此 ${\vec {w}}\in {\mathcal {R}}(t^{j})$ 。为了验证“进一步”的性质，首先观察到，如果链条中的任意一对范围空间相等，即 ${\mathcal {R}}(t^{k})={\mathcal {R}}(t^{k+1})$ ，那么所有后续的范围空间也相等，即 ${\mathcal {R}}(t^{k+1})={\mathcal {R}}(t^{k+2})$ 等等。这是因为如果 $t:{\mathcal {R}}(t^{k+1})\to {\mathcal {R}}(t^{k+2})$ 与 $t:{\mathcal {R}}(t^{k})\to {\mathcal {R}}(t^{k+1})$ 具有相同的映射，也具有相同的定义域，因此它具有相同的范围： ${\mathcal {R}}(t^{k+1})={\mathcal {R}}(t^{k+2})$ （归纳法表明，这对于所有更高的幂都成立）。因此，如果范围空间链条不再严格递减，那么从该点开始，它将保持稳定。

但是链条必须停止递减。每个范围空间都是它前面范围空间的子空间。为了成为一个真子空间，它必须具有严格更低的维数（见问题 4）。这些空间是有限维的，因此链条只能下降有限步，也就是说，幂 $k$ 最多为 $V$ 的维数。

示例 1.4

示例 1.1 中的导数映射 $a+bx+cx^{2}+dx^{3}{\stackrel {d/dx}{\longmapsto }}b+2cx+3dx^{2}$ 具有以下范围空间链条

{\mathcal {P}}_{3}\supset {\mathcal {P}}_{2}\supset {\mathcal {P}}_{1}\supset {\mathcal {P}}_{0}\supset \{{\vec {0}}\,\}=\{{\vec {0}}\,\}=\cdots

以及这个零空间链。

\{{\vec {0}}\,\}\subset {\mathcal {P}}_{0}\subset {\mathcal {P}}_{1}\subset {\mathcal {P}}_{2}\subset {\mathcal {P}}_{3}={\mathcal {P}}_{3}=\cdots

例 1.5

变换 $\pi :\mathbb {C} ^{3}\to \mathbb {C} ^{3}$ 将前两个坐标投影到

{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi }{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\0\end{pmatrix}}

有 $\mathbb {C} ^{3}\supset {\mathcal {R}}(\pi )={\mathcal {R}}(\pi ^{2})=\cdots$ 和 $\{{\vec {0}}\,\}\subset {\mathcal {N}}(\pi )={\mathcal {N}}(\pi ^{2})=\cdots \,$ 。

例 1.6

令 $t:{\mathcal {P}}_{2}\to {\mathcal {P}}_{2}$ 为映射 $c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}\mapsto 2c_{0}+c_{2}x.$ 正如引理所述，在迭代过程中，值域会缩小

{\mathcal {R}}(t^{0})={\mathcal {P}}_{2}\quad {\mathcal {R}}(t)=\{a+bx\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {C} \}\quad {\mathcal {R}}(t^{2})=\{a\,{\big |}\,a\in \mathbb {C} \}

然后稳定 ${\mathcal {R}}(t^{2})={\mathcal {R}}(t^{3})=\cdots$ ，而零空间则不断增长。

{\mathcal {N}}(t^{0})=\{0\}\quad {\mathcal {N}}(t)=\{cx\,{\big |}\,c\in \mathbb {C} \}\quad {\mathcal {N}}(t^{2})=\{cx+d\,{\big |}\,c,d\in \mathbb {C} \}

然后稳定 ${\mathcal {N}}(t^{2})={\mathcal {N}}(t^{3})=\cdots$ 。

此图说明了引理 1.3。横轴表示变换的幂 $j$ 。纵轴表示 $t^{j}$ 的值域空间的维度，即高于零的距离，因此也表示零空间的维度，即低于灰色水平线的距离，因为两者相加等于域的维度 $n$ 。

如图所示，在迭代过程中，秩会下降，随之而来的是零度的增加，直到两者达到稳定状态。这个状态必须在第 $n$ 次迭代时达到。稳定状态高于零的距离是广义值域空间的维度，而低于 $n$ 的距离是广义零空间的维度。

定义 1.7

令 $t$ 是一个在 $n$ 维空间上的变换。广义值域空间（或值域空间的闭包）是 ${\mathcal {R}}_{\infty }(t)={\mathcal {R}}(t^{n})$ 。广义零空间（或零空间的闭包）是 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t)={\mathcal {N}}(t^{n})$ 。

练习

问题 1

给出零变换和恒等变换的范围空间和零空间链。

问题 2

对于每个映射，给出范围空间链和零空间链，以及广义范围空间和广义零空间。

$t_{0}:{\mathcal {P}}_{2}\to {\mathcal {P}}_{2}$ , $a+bx+cx^{2}\mapsto b+cx^{2}$
$t_{1}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ ,
${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\\a\end{pmatrix}}$
$t_{2}:{\mathcal {P}}_{2}\to {\mathcal {P}}_{2}$ , $a+bx+cx^{2}\mapsto b+cx+ax^{2}$
$t_{3}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ ,
${\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a\\a\\b\end{pmatrix}}$