线性代数/子空间和生成集/解答

解答

此练习推荐所有读者尝试。

问题 1

下列哪些 $2\!\times \!2$ 矩阵向量空间的子集在继承的运算下是子空间？对于每个是子空间的子集，参数化其描述。对于每个不是子空间的子集，给出一个失败的条件。

1. $\{{\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$
2. $\{{\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+b=0\}$
3. $\{{\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+b=5\}$
4. $\{{\begin{pmatrix}a&c\\0&b\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+b=0,c\in \mathbb {R} \}$

答案

根据 引理 2.9，要查看 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 的每个子集是否是子空间，我们只需要检查它是否非空且封闭。

1. 是的，很容易检查它是非空且封闭的。这是一个参数化。

   $\{a{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$

   顺便说一下，参数化也表明它是一个子空间，它被给出为两个矩阵集合的生成，而任何生成都是子空间。
2. 是的；很容易检查它是非空且封闭的。或者，如前一个答案中提到的，参数化的存在表明它是一个子空间。对于参数化，条件 $a+b=0$ 可以改写为 $a=-b$。然后我们有这个。

   $\{{\begin{pmatrix}-b&0\\0&b\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b\in \mathbb {R} \}=\{b{\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b\in \mathbb {R} \}$

3. 否。它在加法下不封闭。例如，

   ${\begin{pmatrix}5&0\\0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}5&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10&0\\0&0\end{pmatrix}}$

   不在这个集合中。（这个集合在标量乘法下也不封闭，例如，它不包含零矩阵。）
4. 是。

   $\{b{\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c\in \mathbb {R} \}$

此练习推荐所有读者尝试。

问题 2

这是否为 ${\mathcal {P}}_{2}$ 的子空间：$\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\,{\big |}\,a_{0}+2a_{1}+a_{2}=4\}$？如果是，那么参数化它的描述。

答案

否，它不封闭。特别地，它在标量乘法下不封闭，因为它不包含零多项式。

此练习推荐所有读者尝试。

问题 3

判断向量是否位于空间内的集合的生成空间内。

1. ${\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}}$，$\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\}$，在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中
2. $x-x^{3}$，$\{x^{2},2x+x^{2},x+x^{3}\}$，在 ${\mathcal {P}}_{3}$ 中
3. ${\begin{pmatrix}0&1\\4&2\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2&0\\2&3\end{pmatrix}}\}$, 在 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$

答案

1. 是的，解由

   $r_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+r_{2}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}}$

   $r_{1}=2$ 和 $r_{2}=1$.
2. 是的，解由 $r_{1}(x^{2})+r_{2}(2x+x^{2})+r_{3}(x+x^{3})=x-x^{3}$

   ${\begin{array}{*{3}{rc}r}&&2r_{2}&+&r_{3}&=&1\\r_{1}&+&r_{2}&&&=&0\\&&&&r_{3}&=&-1\end{array}}$

   给出 $-1(x^{2})+1(2x+x^{2})-1(x+x^{3})=x-x^{3}$.
3. 否；给定两个矩阵的任何组合在右上角都有一个零。

问题 4

在单变量实值函数的向量空间中，这些哪些是跨度 $[\{\cos ^{2}x,\sin ^{2}x\}]$ 的成员？

1. $f(x)=1$
2. $f(x)=3+x^{2}$
3. $f(x)=\sin x$
4. $f(x)=\cos(2x)$

答案

1. 是的，因为 $1\cdot \cos ^{2}x+1\cdot \sin ^{2}x=f(x)$。
2. 不，因为 $r_{1}\cos ^{2}x+r_{2}\sin ^{2}x=3+x^{2}$ 对所有 $x$ 都成立，没有标量解。 例如，将 $x$ 设置为 $0$ 和 $\pi$ 将得到两个方程：$r_{1}\cdot 1+r_{2}\cdot 0=3$ 和 $r_{1}\cdot 1+r_{2}\cdot 0=3+\pi ^{2}$，它们是不一致的。
3. 不，考虑将 $x$ 设置为 $\pi /2$ 和 $3\pi /2$ 时会发生什么。
4. 是的，$\cos(2x)=1\cdot \cos ^{2}(x)-1\cdot \sin ^{2}(x)$。

此练习推荐所有读者尝试。

问题 5

这些集合中哪些可以跨越 $\mathbb {R} ^{3}$？也就是说，这些集合中哪些具有这样的性质，即任何三维向量都可以表示为该集合元素的适当线性组合？

1. $\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}}\}$
2. $\{{\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\}$
3. $\{{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}}\}$
4. $\{{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}}\}$
5. $\{{\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}5\\1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}6\\0\\2\end{pmatrix}}\}$

答案

1. 是的，对于任何 $x,y,z\in \mathbb {R}$ 此等式

   $r_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+r_{2}{\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}}+r_{3}{\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$

   的解是 $r_{1}=x$，$r_{2}=y/2$，以及 $r_{3}=z/3$。
2. 是的，该等式

   $r_{1}{\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}}+r_{2}{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}+r_{3}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$

   得到以下结果

   ${\begin{array}{*{3}{rc}r}2r_{1}&+&r_{2}&&&=&x\\&&r_{2}&&&=&y\\r_{1}&&&+&r_{3}&=&z\\\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{-(1/2)\rho _{1}+\rho _{3}}}\;\;{\xrightarrow[{}]{(1/2)\rho _{2}+\rho _{3}}}\;{\begin{array}{*{3}{rc}r}2r_{1}&+&r_{2}&&&=&x\\&&r_{2}&&&=&y\\&&&&r_{3}&=&-(1/2)x+(1/2)y+z\\\end{array}}$

   因此，给定任何 $x$, $y$, 和 $z$，我们可以计算出 $r_{3}=(-1/2)x+(1/2)y+z$，$r_{2}=y$，和 $r_{1}=(1/2)x-(1/2)y$。
3. 不。特别地，向量

   ${\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

   不能表示为这两个给定向量的线性组合，因为这两个向量的第三个分量都是零。
4. 是的。方程

   $r_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}+r_{2}{\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}}+r_{3}{\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}}+r_{4}{\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$

   将导致以下简化。

   $\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&3&-1&2&x\\0&1&0&1&y\\1&0&0&5&z\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{3}}}\;{\xrightarrow[{}]{3\rho _{2}+\rho _{3}}}\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&3&-1&2&x\\0&1&0&1&y\\0&0&1&6&-x+3y+z\end{array}}\right)$

   该方程组有无穷多个解。例如，我们可以设定 $r_{4}$ 为零，并通过反向代入法求解 $r_{3}$，$r_{2}$ 和 $r_{1}$，用 $x$，$y$ 和 $z$ 表示。
5. 不。这个方程

   $r_{1}{\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}}+r_{2}{\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}}+r_{3}{\begin{pmatrix}5\\1\\2\end{pmatrix}}+r_{4}{\begin{pmatrix}6\\0\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$

   将导致以下简化。

   $\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}2&3&5&6&x\\1&0&1&0&y\\1&1&2&2&z\end{array}}\right){\xrightarrow[{-(1/2)\rho _{1}+\rho _{3}}]{-(1/2)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{-(1/3)\rho _{2}+\rho _{3}}}\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}2&3&5&6&x\\0&-3/2&-3/2&-3&-(1/2)x+y\\0&0&0&0&-(1/3)x-(1/3)y+z\end{array}}\right)$

   这表明并非所有三维向量都可以这样表示。只有满足约束条件的向量$-(1/3)x-(1/3)y+z=0$ 位于该跨度内。(要查看任何此类向量是否确实可表达，取 $r_{3}$ 和 $r_{4}$ 为零，并通过回代解出 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ 关于 $x$，$y$ 和 $z$。)

此练习推荐所有读者尝试。

问题 6

参数化每个子空间的描述。然后将每个子空间表示为跨度。

1. 三维行向量集合$\{{\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a-c=0\}$
2. 的${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 这个子集

   $\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+d=0\}$

3. 的${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 这个子集

   $\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,{\big |}\,2a-c-d=0{\text{ and }}a+3b=0\}$

4. 集合$\{a+bx+cx^{3}\,{\big |}\,a-2b+c=0\}$ 的${\mathcal {P}}_{3}$
5. 的${\mathcal {P}}_{2}$ 这个子集，即二次多项式$p$，使得 $p(7)=0$

答案

1. $\{{\begin{pmatrix}c&b&c\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c\in \mathbb {R} \}=\{b{\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}1&0&1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c\in \mathbb {R} \}$ 很明显，生成该集合的集合是 $\{{\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0&1\end{pmatrix}}\}$.
2. $\{{\begin{pmatrix}-d&b\\c&d\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c,d\in \mathbb {R} \}=\{b{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}+d{\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c,d\in \mathbb {R} \}$ 生成该空间的一个集合包含这三个矩阵。
3. 系统

   ${\begin{array}{*{4}{rc}r}a&+&3b&&&&&=&0\\2a&&&&-c&-&d&=&0\end{array}}$

   得到 $b=-(c+d)/6$ 和 $a=(c+d)/2$。所以一种描述是：

   $\{c{\begin{pmatrix}1/2&-1/6\\1&0\end{pmatrix}}+d{\begin{pmatrix}1/2&-1/6\\0&1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c,d\in \mathbb {R} \}$

   这表明生成该子空间的一个集合包含这两个矩阵。
4. 表达式 $a=2b-c$ 给出 $\{(2b-c)+bx+cx^{3}\,{\big |}\,b,c\in \mathbb {R} \}=\{b(2+x)+c(-1+x^{3})\,{\big |}\,b,c\in \mathbb {R} \}$。所以这个子空间是集合 $\{2+x,-1+x^{3}\}$ 的生成空间。
5. 集合 $\{a+bx+cx^{2}\,{\big |}\,a+7b+49c=0\}$ 可参数化为 $\{b(-7+x)+c(-49+x^{2})\,{\big |}\,b,c\in \mathbb {R} \}$，具有生成集 $\{-7+x,-49+x^{2}\}$。

此练习推荐所有读者尝试。

问题 7

找到一个生成给定空间中给定子空间的集合。（提示：参数化每个向量。）

1. 在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的 $xz$ 平面
2. 在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的 $\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,3x+2y+z=0\}$
3. 在 $\mathbb {R} ^{4}$ 中的 $\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\,{\big |}\,2x+y+w=0{\text{ and }}y+2z=0\}$
4. $\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\,{\big |}\,a_{0}+a_{1}=0{\text{ and }}a_{2}-a_{3}=0\}$ 在 ${\mathcal {P}}_{3}$
5. 集合 ${\mathcal {P}}_{4}$ 在空间 ${\mathcal {P}}_{4}$
6. ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 在 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$

答案

每个给出的答案都只是许多可能答案中的一个。

1. 我们可以用这种方式参数化

   $\{{\begin{pmatrix}x\\0\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,z\in \mathbb {R} \}=\{x{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+z{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,z\in \mathbb {R} \}$

   这给了我们一个生成集。

   $\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\}$

2. 求解的一种方法是将 $x$ 表示为 $-(2/3)y-(1/3)z$ 以获得这种参数化。

   $\{{\begin{pmatrix}-(2/3)y-(1/3)z\\y\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y,z\in \mathbb {R} \}=\{y{\begin{pmatrix}-2/3\\1\\0\end{pmatrix}}+z{\begin{pmatrix}-1/3\\0\\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y,z\in \mathbb {R} \}$

   并得到一个生成集。

   $\{{\begin{pmatrix}-2/3\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1/3\\0\\1\end{pmatrix}}\}$

3. 一种方法是注意到 $x$ 和 $z$ 取决于 $y$ 和 $w$，但它们相互独立，建议选择 $y$ 和 $w$ 作为自由变量。然后重新表达 $x=-(1/2)y-(1/2)w$ 和 $z=-(1/2)y$ 来获得这个参数化。

   $\{{\begin{pmatrix}-(1/2)y-(1/2)w\\y\\-(1/2)y\\w\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y,w\in \mathbb {R} \}=\{y{\begin{pmatrix}-1/2\\1\\-1/2\\0\end{pmatrix}}+w{\begin{pmatrix}-1/2\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y,w\in \mathbb {R} \}$

   因此，一个可能的生成集为。

   $\{{\begin{pmatrix}-1/2\\1\\-1/2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1/2\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\}$

4. 再次，作为一种方法，重新表达 $a_{0}=-a_{1}$ 和 $a_{2}=a_{3}$ 以获得参数化。

   $\{-a_{1}+a_{1}x+a_{3}x^{2}+a_{3}x^{3}\,{\big |}\,a_{1},a_{3}\in \mathbb {R} \}=\{a_{1}(-1+x)+a_{3}(x^{2}+x^{3})\,{\big |}\,a_{1},a_{3}\in \mathbb {R} \}\}$

   这为生成集提供了以下结果。

   $\{-1+x,\,x^{2}+x^{3}\}$

5. 由于没有限制，我们可以直接获得生成集，跳过参数化。

   $\{1,\,x,\,x^{2},\,x^{3},\,x^{4}\}$

6. 与上一子问题相同的原因，我们可以跳过参数化并立即获得生成集。

   $\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\}$

问题 8

是否 $\mathbb {R} ^{2}$ 是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的子空间？

答案

从技术上讲，不是。 $\mathbb {R} ^{3}$ 的子空间是三维向量的集合，而 $\mathbb {R} ^{2}$ 是二维向量的集合。尽管如此， $\mathbb {R} ^{2}$ “就像” $\mathbb {R} ^{3}$ 的这个子空间。

$\{{\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,y\in \mathbb {R} \}$

此练习推荐所有读者尝试。

问题 9

判断每个集合是否为一个实值单变量函数的向量空间的子空间。

1. 偶函数 $\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,{\big |}\,f(-x)=f(x){\text{ for all }}x\}$。例如，该集合的两个成员是 $f_{1}(x)=x^{2}$ 和 $f_{2}(x)=\cos(x)$。
2. 奇函数 $\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,{\big |}\,f(-x)=-f(x){\text{ for all }}x\}$。两个成员是 $f_{3}(x)=x^{3}$ 和 $f_{4}(x)=\sin(x)$。

答案

当然，加法和标量乘法运算是在封闭空间中继承的。

1. 这是一个子空间。它不为空，因为它至少包含了给出的两个示例函数。它是封闭的，因为如果 $f_{1},f_{2}$ 是偶函数，并且 $c_{1},c_{2}$ 是标量，那么我们有以下关系。

   $(c_{1}f_{1}+c_{2}f_{2})\,(-x)=c_{1}\,f_{1}(-x)+c_{2}\,f_{2}(-x)=c_{1}\,f_{1}(x)+c_{2}\,f_{2}(x)=(c_{1}f_{1}+c_{2}f_{2})\,(x)$

2. 这也是一个子空间；检验方法类似于前面的方法。

问题 10

例 2.16 指出，对于任何向量空间 $V$ 中的任何向量 ${\vec {v}}$，集合 $\{r\cdot {\vec {v}}\,{\big |}\,r\in \mathbb {R} \}$ 是 $V$ 的子空间。 （这当然只是单元素集合 $\{{\vec {v}}\}$ 的生成空间。）任何这样的子空间都必须是真子空间吗，还是可以是假子空间呢？

答案

它可以是假子空间。如果 ${\vec {v}}={\vec {0}}$，那么这就是一个平凡子空间。在另一个极端，如果向量空间是 $\mathbb {R} ^{1}$ 且 ${\vec {v}}\neq {\vec {0}}\,$，那么这个子空间就是整个 $\mathbb {R} ^{1}$。

问题 11

向量空间定义后的一个例子表明，齐次线性方程组的解集是一个向量空间。在本节的术语中，它是 $\mathbb {R} ^{n}$ 的子空间，其中方程组有 $n$ 个变量。非齐次线性方程组的解集是否构成子空间（在继承的运算下）？

答案

不，这样的集合不是封闭的。首先，它不包含零向量。

问题 12

例 2.19 表明 $\mathbb {R} ^{3}$ 有无数个子空间。每一个非平凡空间都有无数个子空间吗？

答案

不。 $\mathbb {R} ^{1}$ 的唯一子空间是空间本身及其平凡子空间。 $\mathbb {R}$ 的任何子空间 $S$ 如果包含一个非零元素 ${\vec {v}}$，就必须包含其所有标量倍数的集合 $\{r\cdot {\vec {v}}\,{\big |}\,r\in \mathbb {R} \}$。但这个集合就是整个 $\mathbb {R}$。

问题 13

完成引理 2.9 的证明。

答案

项目 (1) 在文本中已检查。

项目 (2) 有五个条件。首先，对于闭包，如果 $c\in \mathbb {R}$ 且 ${\vec {s}}\in S$ 则 $c\cdot {\vec {s}}\in S$ 因为 $c\cdot {\vec {s}}=c\cdot {\vec {s}}+0\cdot {\vec {0}}$。其次，因为 $S$ 中的运算继承自 $V$，对于 $c,d\in \mathbb {R}$ 且 ${\vec {s}}\in S$，标量积 $(c+d)\cdot {\vec {s}}\,$ 在 $S$ 中等于在 $V$ 中的积 $(c+d)\cdot {\vec {s}}\,$，而这等于 $c\cdot {\vec {s}}+d\cdot {\vec {s}}\,$ 在 $V$ 中，这等于 $c\cdot {\vec {s}}+d\cdot {\vec {s}}\,$ 在 $S$ 中。

第三、第四和第五个条件的检查类似于刚才给出的第二个条件的检查。

问题 14

证明每个向量空间只有一个平凡子空间。

答案

前面小节中的一个练习表明，每个向量空间只有一个零向量（即，只有一个向量是空间的加法单位元）。但是，一个平凡空间只有一个元素，而这个元素一定是这个（唯一的）零向量。

此练习推荐所有读者尝试。

习题 15

证明对于向量空间的任何子集 $S$，其生成空间的生成空间等于其生成空间 $[[S]]=[S]$。（提示。$[S]$ 的元素是 $S$ 的元素的线性组合。 $[[S]]$ 的元素是 $S$ 的元素的线性组合的线性组合。）

答案

正如提示所述，基本原因是第一章中的线性组合引理。为了完整地证明，我们将展示两个集合之间的相互包含关系。

第一个包含关系 $[[S]]\supseteq [S]$ 是一个更一般的事实（也是显而易见的），即对于向量空间的任何子集 $T$，$[T]\supseteq T$ 的一个特例。

对于另一个包含关系，即 $[[S]]\subseteq [S]$，取 $m$ 个来自 $[S]$ 的向量，即 $c_{1,1}{\vec {s}}_{1,1}+\cdots +c_{1,n_{1}}{\vec {s}}_{1,n_{1}}$，...，$c_{1,m}{\vec {s}}_{1,m}+\cdots +c_{1,n_{m}}{\vec {s}}_{1,n_{m}}$，并注意到这些向量的任何线性组合

$r_{1}(c_{1,1}{\vec {s}}_{1,1}+\cdots +c_{1,n_{1}}{\vec {s}}_{1,n_{1}})+\cdots +r_{m}(c_{1,m}{\vec {s}}_{1,m}+\cdots +c_{1,n_{m}}{\vec {s}}_{1,n_{m}})$

是 $S$ 元素的线性组合。

$=(r_{1}c_{1,1}){\vec {s}}_{1,1}+\cdots +(r_{1}c_{1,n_{1}}){\vec {s}}_{1,n_{1}}+\cdots +(r_{m}c_{1,m}){\vec {s}}_{1,m}+\cdots +(r_{m}c_{1,n_{m}}){\vec {s}}_{1,n_{m}}$

因此它属于 $[S]$。也就是说，简单地回忆一下，线性组合的线性组合（$S$ 的成员）是一个线性组合（再次是 $S$ 的成员）。

问题 16

我们见过的所有子空间都以某种方式在它们的描述中使用了零。例如，例 2.3 中的子空间包含来自 $\mathbb {R} ^{2}$ 的所有向量，其第二个分量为零。相反，来自 $\mathbb {R} ^{2}$ 的第二个分量为一的向量集合不构成子空间（它在标量乘法下不封闭）。另一个例子是 例 2.2，其中对向量的条件是三个分量加起来为零。如果条件是三个分量加起来为一，那么它就不是子空间（同样，它将无法封闭）。本练习表明，对零的依赖并非严格必要。考虑集合

$\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x+y+z=1\}$

在这些运算下。

${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}-1\\y_{1}+y_{2}\\z_{1}+z_{2}\end{pmatrix}}\qquad r{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rx-r+1\\ry\\rz\end{pmatrix}}$

1. 证明它不是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的子空间。（提示：参考 例 2.5）。
2. 证明它是一个向量空间。注意，根据前一项，引理 2.9 不适用。
3. 证明 $\mathbb {R} ^{3}$ 的任何子空间必须经过原点，因此 $\mathbb {R} ^{3}$ 的任何子空间必须包含零在它的描述中。反之是否成立？$\mathbb {R} ^{3}$ 中包含原点的任何子集，当赋予继承的运算时，会变成子空间吗？

答案

1. 它不是子空间，因为这些不是继承的运算。一方面，在这个空间里，

   $0\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

   而这当然不适用于 $\mathbb {R} ^{3}$。
2. 我们可以将证明对加法封闭的论证和证明对标量乘法封闭的论证结合成一个论证，来证明对两个向量的线性组合封闭。如果 $r_{1},r_{2},x_{1},x_{2},y_{1},y_{2},z_{1},z_{2}$ 属于 $\mathbb {R}$，那么

   $r_{1}{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+r_{2}{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r_{1}x_{1}-r_{1}+1\\r_{1}y_{1}\\r_{1}z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}r_{2}x_{2}-r_{2}+1\\r_{2}y_{2}\\r_{2}z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r_{1}x_{1}-r_{1}+r_{2}x_{2}-r_{2}+1\\r_{1}y_{1}+r_{2}y_{2}\\r_{1}z_{1}+r_{2}z_{2}\end{pmatrix}}$

   (请注意，在这个空间中，加法的定义是第一个分量组合成$(r_{1}x_{1}-r_{1}+1)+(r_{2}x_{2}-r_{2}+1)-1$，所以最后一个向量第一个分量不是 "$+2$"). 将最后一个向量的三个分量相加得到$r_{1}(x_{1}-1+y_{1}+z_{1})+r_{2}(x_{2}-1+y_{2}+z_{2})+1=r_{1}\cdot 0+r_{2}\cdot 0+1=1$。大多数其他条件的检查都很容易（尽管运算的奇特性使它们不那么常规）。加法的交换律是这样的。

   ${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}-1\\y_{1}+y_{2}\\z_{1}+z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{2}+x_{1}-1\\y_{2}+y_{1}\\z_{2}+z_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}$

   加法的结合律有

   $({\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}})+{\begin{pmatrix}x_{3}\\y_{3}\\z_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(x_{1}+x_{2}-1)+x_{3}-1\\(y_{1}+y_{2})+y_{3}\\(z_{1}+z_{2})+z_{3}\end{pmatrix}}$

   而

   ${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+({\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{3}\\y_{3}\\z_{3}\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}x_{1}+(x_{2}+x_{3}-1)-1\\y_{1}+(y_{2}+y_{3})\\z_{1}+(z_{2}+z_{3})\end{pmatrix}}$

   它们是相等的。关于这个加法运算的单位元按以下方式工作

   ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+1-1\\y+0\\z+0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$

   加法逆元也是类似的。

   ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-x+2\\-y\\-z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+(-x+2)-1\\y-y\\z-z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

   标量乘法的条件也很容易。对于第一个条件，

   $(r+s){\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(r+s)x-(r+s)+1\\(r+s)y\\(r+s)z\end{pmatrix}}$

   而

   $r{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rx-r+1\\ry\\rz\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}sx-s+1\\sy\\sz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(rx-r+1)+(sx-s+1)-1\\ry+sy\\rz+sz\end{pmatrix}}$

   并且两者相等。第二个条件比较

   $r\cdot ({\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}})=r\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}-1\\y_{1}+y_{2}\\z_{1}+z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r(x_{1}+x_{2}-1)-r+1\\r(y_{1}+y_{2})\\r(z_{1}+z_{2})\end{pmatrix}}$

   与

   $r{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+r{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rx_{1}-r+1\\ry_{1}\\rz_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}rx_{2}-r+1\\ry_{2}\\rz_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(rx_{1}-r+1)+(rx_{2}-r+1)-1\\ry_{1}+ry_{2}\\rz_{1}+rz_{2}\end{pmatrix}}$

   并且它们是相等的。对于第三个条件，

   $(rs){\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rsx-rs+1\\rsy\\rsz\end{pmatrix}}$

   而

   $r(s{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}})=r({\begin{pmatrix}sx-s+1\\sy\\sz\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}r(sx-s+1)-r+1\\rsy\\rsz\end{pmatrix}}$

   并且两者相等。对于乘以$1$ 的标量乘法，我们得到：

   $1\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1x-1+1\\1y\\1z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$

   因此，这两个运算满足向量空间的所有条件。备注。理解这个向量空间的一种方法是将其视为$\mathbb {R} ^{3}$ 中的一个平面

   $P=\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x+y+z=0\}$

   沿$x$ 轴从原点移动了$1$。然后加法变为：要添加此空间中的两个成员，

   ${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}},\;{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}$

   (使得$x_{1}+y_{1}+z_{1}=1$ 且 $x_{2}+y_{2}+z_{2}=1$)，将它们沿$x$ 轴移动$1$，将它们放置在$P$ 中，并像往常一样相加，

   ${\begin{pmatrix}x_{1}-1\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}-1\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}-2\\y_{1}+y_{2}\\z_{1}+z_{2}\end{pmatrix}}\qquad {\text{(in }}P{\text{)}}$

   然后沿$x$ 轴将结果再移回$1$。

   ${\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}-1\\y_{1}+y_{2}\\z_{1}+z_{2}\end{pmatrix}}.$

   标量乘法类似。
3. 为了使子空间在继承的标量乘法下封闭，其中${\vec {v}}$ 是该子空间的成员，

   $0\cdot {\vec {v}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

   也必须是成员。反之则不成立。以下是一个包含原点的$\mathbb {R} ^{3}$ 的子集

   $\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\}$

   (这个子集只有两个元素)但它不是一个子空间。

问题 17

我们可以为零个向量之和等于零向量的约定提供一个理由。考虑以下三个向量之和 ${\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{3}$.

1. 这三个向量之和与前两个向量之和有什么区别？
2. 前一个和与仅第一个向量之和有什么区别？
3. 前一个包含一个向量的和与不包含任何向量的和之间应该有什么区别？
4. 所以不包含任何向量的和的定义应该是什么？

答案

1. $({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{3})-({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})={\vec {v}}_{3}$
2. $({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})-({\vec {v}}_{1})={\vec {v}}_{2}$
3. 当然，${\vec {v}}_{1}$.
4. 将这个包含一个向量的和减去本身，得到 (${\vec {v}}_{1})-{\vec {v}}_{1}={\vec {0}}$.

问题 18

一个空间是由它的子空间决定的吗？也就是说，如果两个向量空间有相同的子空间，这两个空间必须相等吗？

答案

是的；任何空间都是它自身的子空间，所以每个空间都包含另一个。

问题 19

1. 给出一个在标量乘法下封闭但在加法下不封闭的集合。
2. 给出一个在加法下封闭但在标量乘法下不封闭的集合。
3. 给出一个在两者下都不封闭的集合。

答案

1. 在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，$x$ 轴和 $y$ 轴的并集是 1。
2. 作为 $\mathbb {R} ^{1}$ 的子集，整数集是 1。
3. $\mathbb {R} ^{2}$ 的子集 $\{{\vec {v}}\}$ 是 1，其中 ${\vec {v}}$ 是任何非零向量。

问题 20

证明一组向量的张成不依赖于向量在该组中的排列顺序。

答案

因为向量空间加法是可交换的，所以重新排列求和项不会改变线性组合。

问题 21

哪个平凡子空间是空集的张成？是

$\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\}\subseteq \mathbb {R} ^{3},\quad {\text{or}}\quad \{0+0x\}\subseteq {\mathcal {P}}_{1},$

还是其他子空间？

答案

我们总是考虑包含空间中的张成。

问题 22

证明如果一个向量在一个集合的张成中，那么将该向量添加到该集合中不会使张成变大。这是否也是“当且仅当”？

答案

它是“当且仅当”。

对于“当”，设 $S$ 是向量空间 $V$ 的子集，并假设 ${\vec {v}}\in S$ 满足 ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {s}}_{n}$，其中 $c_{1},\ldots ,c_{n}$ 是标量，${\vec {s}}_{1},\ldots ,{\vec {s}}_{n}\in S$。我们必须证明 $[S\cup \{{\vec {v}}\}]=[S]$。

包含方向显而易见，$[S]\subseteq [S\cup \{{\vec {v}}\}]$ 是显而易见的。对于另一个方向，$[S\cup \{{\vec {v}}\}]\subseteq [S]$，请注意，如果一个向量在左侧集合中，那么它将具有形式$d_{0}{\vec {v}}+d_{1}{\vec {t}}_{1}+\dots +d_{m}{\vec {t}}_{m}$，其中$d$ 是标量，而${\vec {t}}\,$ 位于$S$ 中。将它重写为$d_{0}(c_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {s}}_{n})+d_{1}{\vec {t}}_{1}+\cdots +d_{m}{\vec {t}}_{m}$，并注意结果是$S$ 的跨度的成员。

“当且仅当”是明显成立的——添加${\vec {v}}$ 会扩展跨度，使其至少包含${\vec {v}}$。

此练习推荐所有读者尝试。

问题 23

子空间是子集，因此我们自然会考虑“是…的子空间”如何与通常的集合运算相互作用。

1. 如果$A,B$ 是向量空间的子空间，那么$A\cap B$ 必须是子空间吗？总是吗？有时吗？从不吗？
2. 那么$A\cup B$ 必须是子空间吗？
3. 如果$A$ 是一个子空间，那么它的补集必须是子空间吗？

(提示。尝试示例 2.19 中的一些测试子空间。）

答案

1. 始终假设 $A,B$ 是 $V$ 的子空间。注意，它们的交集不为空，因为两者都包含零向量。如果 ${\vec {w}},{\vec {v}}\in A\cap B$ 且 $r,s$ 是标量，那么 $r{\vec {v}}+s{\vec {w}}\in A$，因为每个向量都在 $A$ 中，因此线性组合也在 $A$ 中，并且 $r{\vec {v}}+s{\vec {w}}\in B$ 也是出于同样的原因。因此，交集是封闭的。现在 引理 2.19 适用。
2. 有时（更准确地说，只有当 $A\subseteq B$ 或 $B\subseteq A$）。为了看出答案不总是“始终”，可以取 $V$ 为 $\mathbb {R} ^{2}$，取 $A$ 为 $x$ 轴，取 $B$ 为 $y$ 轴。注意，

   ${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\in A{\text{ and }}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\in B\quad {\text{but}}\quad {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\not \in A\cup B$

   由于和既不在 $A$ 中，也不在 $B$ 中。答案不是“从不”，因为如果 $A\subseteq B$ 或 $B\subseteq A$，那么显然 $A\cup B$ 是一个子空间。为了表明只有当一个子空间包含另一个子空间时，$A\cup B$ 是一个子空间，我们假设 $A\not \subseteq B$ 并且 $B\not \subseteq A$，并证明并集不是子空间。假设 $A$ 不是 $B$ 的子集意味着存在一个 ${\vec {a}}\in A$，其中 ${\vec {a}}\not \in B$。另一个假设给出了一个 ${\vec {b}}\in B$，其中 ${\vec {b}}\not \in A$。考虑 ${\vec {a}}+{\vec {b}}$。注意和不是 $A$ 的元素，否则 $({\vec {a}}+{\vec {b}})-{\vec {a}}$ 将会出现在 $A$ 中，而它并没有。类似地，和也不是 $B$ 的元素。因此和不是 $A\cup B$ 的元素，因此并集不是子空间。
3. 从不。因为 $A$ 是一个子空间，它包含零向量，因此 $A$ 的补集不包含零向量。没有零向量，补集就不能是一个向量空间。

此练习推荐所有读者尝试。

问题 24

一组向量的生成空间是否取决于包围空间？也就是说，如果 $W$ 是 $V$ 的子空间，并且 $S$ 是 $W$ 的子集（因此也是 $V$ 的子集），$S$ 在 $W$ 中的生成空间是否可能与 $S$ 在 $V$ 中的生成空间不同吗？

答案

一组向量的生成空间不取决于包围空间。$S$ 中的向量的线性组合，无论我们将其看作是 $W$ 的运算还是 $V$ 的运算，都会得到相同的和，因为 $W$ 的运算继承自 $V$。

问题 25

"是...的子空间" 关系是否具有传递性？也就是说，如果 $V$ 是 $W$ 的子空间，并且 $W$ 是 $X$ 的子空间，$V$ 一定是 $X$ 的子空间吗？

答案

这是; 应用 引理 2.19。 (你必须考虑以下情况。 假设 $B$ 是向量空间 $V$ 的一个子空间，并且假设 $A\subseteq B\subseteq V$ 是一个子空间。 $A$ 从哪个空间继承其运算？答案是它并不重要 - $A$ 在任何情况下都会继承相同的运算。)

此练习推荐所有读者尝试。

问题 26

因为“生成集”是集合上的运算，我们自然会考虑它如何与通常的集合运算交互。

1. 如果 $S\subseteq T$ 是向量空间的子集，那么 $[S]\subseteq [T]$ 是否成立？总是？有时？从不？
2. 如果 $S,T$ 是向量空间的子集，那么 $[S\cup T]=[S]\cup [T]$ 是否成立？
3. 如果 $S,T$ 是向量空间的子集，那么 $[S\cap T]=[S]\cap [T]$ 是否成立？
4. 生成集的补集是否等于生成集的补集？

答案

1. 总是；如果 $S\subseteq T$，那么 $S$ 中元素的线性组合也是 $T$ 中元素的线性组合。
2. 有时（更准确地说，当且仅当 $S\subseteq T$ 或 $T\subseteq S$）。答案不是“总是”，如 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的这个例子所示

   $S=\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\},\quad T=\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\}$

   因为这一点。

   ${\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\in [S\cup T]\qquad {\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\not \in [S]\cup [T]$

   答案不是“从不”，因为如果其中一个集合包含另一个集合，则等式就很明显。我们可以通过假设 $S\not \subseteq T$（这意味着存在一个向量 ${\vec {s}}\in S$，其中 ${\vec {s}}\not \in T$）和 $T\not \subseteq S$（得到一个 ${\vec {t}}\in T$，其中 ${\vec {t}}\not \in S$）来描述等式，并注意到 ${\vec {s}}+{\vec {t}}\in [S\cup T]$，并证明 ${\vec {s}}+{\vec {t}}\not \in [S]\cup [T]$。
3. 有时。显然 $[S\cap T]\subseteq [S]\cap [T]$，因为来自 $S\cap T$ 的向量的任何线性组合都是来自 $S$ 的向量的组合，也是来自 $T$ 的向量的组合。相反的包含并不总是成立。例如，在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，取

   $S=\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\},\quad T=\{{\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}\}$

   这样 $[S]\cap [T]$ 是 $x$ 轴，但 $[S\cap T]$ 是平凡子空间。精确地描述何时等式成立是很困难的。显然，如果其中一个集合包含另一个集合，则等式成立，但这并不仅仅是这个例子在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的“当且仅当”。

   $S=\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\},\quad T=\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\}$

4. 永远不会，因为补集的生成空间是一个子空间，而生成空间的补集不是（它不包含零向量）。

问题 27

在不单独处理空集的情况下，重新证明 引理 2.15。

答案

将子集称为 $S$。根据 引理 2.9，我们需要检查 $[S]$ 是否对线性组合封闭。如果 $c_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {s}}_{n},c_{n+1}{\vec {s}}_{n+1}+\dots +c_{m}{\vec {s}}_{m}\in [S]$ 那么对于任何 $p,r\in \mathbb {R}$ 我们有

$p\cdot (c_{1}{\vec {s}}_{1}+\cdots +c_{n}{\vec {s}}_{n})+r\cdot (c_{n+1}{\vec {s}}_{n+1}+\cdots +c_{m}{\vec {s}}_{m})=pc_{1}{\vec {s}}_{1}+\cdots +pc_{n}{\vec {s}}_{n}+rc_{n+1}{\vec {s}}_{n+1}+\cdots +rc_{m}{\vec {s}}_{m}$

它是 $[S]$ 的元素。（注。 如果集合 $S$ 为空，则“如果...那么...”语句为空真。）

问题 28

找到一个在线性组合下封闭但不是向量空间的结构。（注。 这有点像个陷阱问题。）

答案

要实现这一点，必须违反其中一个关于加法和标量乘法运算的合理性的条件。考虑 $\mathbb {R} ^{2}$，使用这些运算。

${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\qquad r{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

集合 $\mathbb {R} ^{2}$ 在这些运算下是封闭的。但它不是向量空间。

$1\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$