线性代数/子空间和生成集

我们引入向量空间概念的例子之一是齐次线性方程组的解集。例如，我们在示例 1.4中看到了这样的空间，它是一个$\mathbb {R} ^{3}$的平面子集。在那里，向量空间$\mathbb {R} ^{3}$内部包含另一个向量空间，即平面。

定义 2.1

对于任何向量空间，子空间是指一个本身也是向量空间的子集，它继承了原空间的运算。

示例 2.2

前面小节中的平面，

$P=\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x+y+z=0\}$

是$\mathbb {R} ^{3}$的一个子空间。正如定义中所指出的，运算继承自更大的空间，也就是说，向量在$P$中的加法与它们在$\mathbb {R} ^{3}$中的加法相同。

${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}\\y_{1}+y_{2}\\z_{1}+z_{2}\end{pmatrix}}$

并且标量乘法也与它在$\mathbb {R} ^{3}$中相同。为了证明$P$是一个子空间，我们只需要注意到它是一个子集，然后验证它是一个空间。检查$P$是否满足向量空间定义中的条件是例行的。例如，对于加法封闭性，只需注意如果加数满足$x_{1}+y_{1}+z_{1}=0$和$x_{2}+y_{2}+z_{2}=0$，那么它们的和满足$(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})+(z_{1}+z_{2})=(x_{1}+y_{1}+z_{1})+(x_{2}+y_{2}+z_{2})=0$.

示例 2.3

在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，$x$-轴是一个子空间，其加法和标量乘法运算继承自向量空间。

${\begin{pmatrix}x_{1}\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}\\0\end{pmatrix}}\qquad r\cdot {\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rx\\0\end{pmatrix}}$

如上所述，为了验证它是一个子空间，我们只需要注意它是一个子集，然后检查它是否满足向量空间定义中的条件。例如，两个闭包条件都满足：（1）将两个第二分量为零的向量相加，结果是一个第二分量为零的向量；（2）将一个标量乘以一个第二分量为零的向量，结果是一个第二分量为零的向量。

例 2.4

$\mathbb {R} ^{2}$ 的另一个子空间是

$\{{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\}$

它的平凡子空间。

任何向量空间都有一个平凡子空间 $\{{\vec {0}}\,\}$。在另一个极端，任何向量空间本身也是一个子空间。 这两个是不真子空间。 其他的子空间是真子空间。

例 2.5

定义中的一个条件要求加法和标量乘法运算必须是继承自更大空间的运算，这一点很重要。考虑向量空间 $\mathbb {R} ^{1}$ 的子集 $\{1\}$。在运算 $1+1=1$ 和 $r\cdot 1=1$ 下，该集合是一个向量空间，具体来说，是一个平凡空间。但它不是 $\mathbb {R} ^{1}$ 的子空间，因为这些不是继承来的运算，因为当然 $\mathbb {R} ^{1}$ 有 $1+1=2$。

例 2.6

所有类型的向量空间，不仅仅是 $\mathbb {R} ^{n}$，都有子空间。三次多项式的向量空间 $\{a+bx+cx^{2}+dx^{3}\,{\big |}\,a,b,c,d\in \mathbb {R} \}$ 包含所有线性多项式的子空间 $\{m+nx\,{\big |}\,m,n\in \mathbb {R} \}$。

示例 2.7

另一个子空间的例子，不是从 $\mathbb {R} ^{n}$ 中得到的，来自于向量空间定义之后的例子。所有单变量实值函数的空间 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 有一个满足限制 $(d^{2}\,f/dx^{2})+f=0$ 的子空间。

示例 2.8

子空间本身是向量空间，必须满足封闭条件。集合 $\mathbb {R} ^{+}$ 不是向量空间 $\mathbb {R} ^{1}$ 的子空间，因为在继承的运算下，它在标量乘法下不封闭：如果 ${\vec {v}}=1$，那么 $-1\cdot {\vec {v}}\not \in \mathbb {R} ^{+}$。

下一个结果表明，示例 2.8 是典型的。子集不是子空间的唯一方式（如果它非空且使用继承的运算）是它不封闭。

引理 2.9

对于向量空间的非空子集 $S$，在继承的运算下，以下等价陈述。

1. $S$ 是该向量空间的子空间
2. $S$ 对向量对的线性组合封闭：对于任何向量 ${\vec {s}}_{1},{\vec {s}}_{2}\in S$ 和标量 $r_{1},r_{2}$，向量 $r_{1}{\vec {s}}_{1}+r_{2}{\vec {s}}_{2}$ 在 $S$ 中。
3. $S$ 对任意数量的向量的线性组合封闭：对于任何向量 ${\vec {s}}_{1},\ldots ,{\vec {s}}_{n}\in S$ 和标量 $r_{1},\ldots ,r_{n}$，向量 $r_{1}{\vec {s}}_{1}+\cdots +r_{n}{\vec {s}}_{n}$ 在 $S$ 中。

简而言之，子集成为子空间的方式是通过对线性组合的封闭性。

证明

"以下等价" 表示每对陈述都是等价的。

$(1)\!\iff \!(2)\qquad (2)\!\iff \!(3)\qquad (3)\!\iff \!(1)$

我们将通过建立 $(1)\implies (3)\implies (2)\implies (1)$ 来证明这种等价性。这种策略是通过注意到 $(1)\implies (3)$ 和 $(3)\implies (2)$ 很容易，因此我们只需要论证单个蕴含 $(2)\implies (1)$。

对于该论点，假设 $S$ 是向量空间 $V$ 的一个非空子集，并且 $S$ 在向量对的组合下封闭。我们将通过检查条件来证明 $S$ 是一个向量空间。

The first item in the vector space definition has five conditions. First, for closure under addition, if ${\vec {s}}_{1},{\vec {s}}_{2}\in S$ then ${\vec {s}}_{1}+{\vec {s}}_{2}\in S$, as ${\vec {s}}_{1}+{\vec {s}}_{2}=1\cdot {\vec {s}}_{1}+1\cdot {\vec {s}}_{2}$. Second, for any ${\vec {s}}_{1},{\vec {s}}_{2}\in S$, because addition is inherited from $V$, the sum ${\vec {s}}_{1}+{\vec {s}}_{2}$ in $S$ equals the sum ${\vec {s}}_{1}+{\vec {s}}_{2}$ in $V$, and that equals the sum ${\vec {s}}_{2}+{\vec {s}}_{1}$ in $V$ (because $V$ is a vector space, its addition is commutative), and that in turn equals the sum ${\vec {s}}_{2}+{\vec {s}}_{1}$ in $S$. The argument for the third condition is similar to that for the second. For the fourth, consider the zero vector of $V$ and note that closure of $S$ under linear combinations of pairs of vectors gives that (where ${\vec {s}}$ is any member of the nonempty set $S$) $0\cdot {\vec {s}}+0\cdot {\vec {s}}={\vec {0}}$ is in $S$; showing that ${\vec {0}}$ acts under the inherited operations as the additive identity of $S$ is easy. The fifth condition is satisfied because for any ${\vec {s}}\in S$, closure under linear combinations shows that the vector $0\cdot {\vec {0}}+(-1)\cdot {\vec {s}}$ is in $S$; showing that it is the additive inverse of ${\vec {s}}$ under the inherited operations is routine.

项目 2 的检查类似，将在 问题 13 中给出。

我们通常使用 $(2)\implies (1)$ 来证明子集是一个子空间。

备注 2.10

在本节开头，我们引入了向量空间，它是一组可以进行线性组合的集合。上述结果说明了这一点。

向量空间定义有十个条件，但其中八个条件（非封闭性条件）只是保证将这些运算称为“加法”和“标量乘法”是合理的。上述证明检查了这些条件是否从周围的向量空间继承，前提是非空集 $S$ 满足 引理 2.9 的语句 (2)（例如，$S$ 中的加法交换律直接来自于 $V$ 中的加法交换律）。因此，在这个语境下，这种“合理”的意义会自动满足。

在向我们保证这个词的第一个意义得到满足的同时，该结果也引起了我们对“合理”的第二个意义的注意。它与剩余的两个条件，即封闭条件相关。在上面，语句 (1) 中的两个独立的封闭条件在语句 (2) 中被合并成一个条件，即在两个向量的所有线性组合下封闭，然后在语句 (3) 中扩展到在任意多个向量的组合下封闭。后两个语句表示，我们总是可以理解像 $r_{1}{\vec {s}}_{1}+r_{2}{\vec {s}}_{2}$ 这样的表达式，而不受 $r$ 的限制——这些表达式是“合理的”，因为所描述的向量是定义好的，并且属于集合 $S$。

这种第二个意义表明，理解向量空间的一种好方法是将其视为不受限制的线性组合的集合。接下来的两个例子将给出一些空间，并用这种方式描述它们。也就是说，在这些例子中，我们会进行参数化，就像我们在第一章中描述齐次线性方程组的解集那样。

示例 2.11

$\mathbb {R} ^{3}$ 的这个子集

$S=\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x-2y+z=0\}$

在列向量的通常加法和标量乘法运算下是一个子空间（它是非空且在两个向量的线性组合下封闭的检查与 示例 2.2 中的检查相同）。为了进行参数化，我们可以将 $x-2y+z=0$ 视为一个只有一个方程的线性方程组，并将主变量表示为自由变量 $x=2y-z$。

$S=\{{\begin{pmatrix}2y-z\\y\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y,z\in \mathbb {R} \}=\{y{\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}+z{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y,z\in \mathbb {R} \}$

现在子空间被描述为这两个向量的任意线性组合的集合。当然，无论哪种描述，这都是通过原点的平面。

例 2.12

这是$2\!\times \!2$ 矩阵的一个子空间

$L=\{{\begin{pmatrix}a&0\\b&c\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+b+c=0\}$

（检查它是非空的并且在线性组合下封闭很容易）。要参数化，将条件表示为$a=-b-c$。

$L=\{{\begin{pmatrix}-b-c&0\\b&c\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c\in \mathbb {R} \}=\{b{\begin{pmatrix}-1&0\\1&0\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c\in \mathbb {R} \}$

如上所述，我们已经将子空间描述为任意线性组合的集合（巧合的是，也是两个元素的集合）。

参数化是一种简单的技术，但它很重要。我们将在以后经常使用它。

定义 2.13

向量空间中非空子集$S$ 的生成空间（或线性闭包）是来自$S$ 的向量的所有线性组合的集合。

$[S]=\{c_{1}{\vec {s}}_{1}+\cdots +c_{n}{\vec {s}}_{n}\,{\big |}\,c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {R} {\text{ and }}{\vec {s}}_{1},\ldots ,{\vec {s}}_{n}\in S\}$

向量空间的空子集的生成空间是平凡子空间。

表示跨度的符号并不完全标准。这里使用的方括号很常见，但"${\mbox{span}}(S)$" 和 "${\mbox{sp}}(S)$" 也很常见。

注记 2.14

在第一章中，我们证明了齐次线性方程组的解集可以写成 $\{c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\cdots +c_{k}{\vec {\beta }}_{k}\,{\big |}\,c_{1},\ldots ,c_{k}\in \mathbb {R} \}$，我们将它描述为由 ${\vec {\beta }}$ 生成的集合。现在我们有了技术术语；我们称之为集合 $\{{\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{k}\}$ 的“跨度”。

还记得那个证明中的“棘手点”的讨论吗？空集的跨度被定义为集合 $\{{\vec {0}}\}$，因为我们遵循一个约定，即零个向量的线性组合之和为 ${\vec {0}}$。此外，将空集的跨度定义为平凡子空间是一种便利，因为它可以避免像下一个结果这样的结果出现令人厌烦的例外情况。

引理 2.15

在向量空间中，任何子集的跨度都是一个子空间。

证明

将子集称为 $S$。如果 $S$ 为空，则根据定义，其跨度为平凡子空间。如果 $S$ 不为空，则根据 引理 2.9，我们只需要检查跨度 $[S]$ 是否在线性组合下封闭。对于来自该跨度的两个向量，${\vec {v}}=c_{1}{\vec {s}}_{1}+\cdots +c_{n}{\vec {s}}_{n}$ 和 ${\vec {w}}=c_{n+1}{\vec {s}}_{n+1}+\cdots +c_{m}{\vec {s}}_{m}$，线性组合

$p\cdot (c_{1}{\vec {s}}_{1}+\cdots +c_{n}{\vec {s}}_{n})+r\cdot (c_{n+1}{\vec {s}}_{n+1}+\cdots +c_{m}{\vec {s}}_{m})$

$=pc_{1}{\vec {s}}_{1}+\cdots +pc_{n}{\vec {s}}_{n}+rc_{n+1}{\vec {s}}_{n+1}+\cdots +rc_{m}{\vec {s}}_{m}$

($p$, $r$ 是标量) 是 $S$ 元素的线性组合，因此属于 $[S]$（可能一些 ${\vec {s}}_{i}$ 在构成 ${\vec {v}}$ 时与 ${\vec {w}}$ 中的一些 ${\vec {s}}_{j}$ 相等，但这并不重要）。

引理的逆命题也成立：任何子空间都是某个集合的生成空间，因为子空间显然是其成员集合的生成空间。因此，向量空间的子集是子空间当且仅当它是生成空间。这符合我们对向量空间的直观理解，即向量空间可以看作一个可以进行线性组合的集合。

综合起来，引理 2.9 和 引理 2.15 表明向量空间子集 $S$ 的生成空间是包含 $S$ 中所有成员的最小子空间。

示例 2.16

在任何向量空间 $V$ 中，对于任何向量 ${\vec {v}}$，集合 $\{r\cdot {\vec {v}}\,{\big |}\,r\in \mathbb {R} \}$ 是 $V$ 的子空间。例如，对于任何向量 ${\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{3}$，包含该向量的经过原点的直线，$\{k{\vec {v}}\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}$ 是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的子空间。即使当 ${\vec {v}}$ 为零向量时，该子空间也是退化的直线，即平凡子空间。

示例 2.17

该集合的生成空间是整个 $\mathbb {R} ^{2}$。

$\{{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\}$

为了验证这一点，我们必须证明 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的任何成员都是这两个向量的线性组合。因此，我们问：对于哪些向量（具有实数分量 $x$ 和 $y$）存在标量 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 使得以下等式成立？

$c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

高斯消元法

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{2}{rc}r}c_{1}&+&c_{2}&=&x\\c_{1}&-&c_{2}&=&y\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}c_{1}&+&c_{2}&=&x\\&&-2c_{2}&=&-x+y\end{array}}\end{array}}$

使用回代法可得 $c_{2}=(x-y)/2$ 和 $c_{1}=(x+y)/2$。这两个等式表明，对于任何我们开始的 $x$ 和 $y$，都存在合适的系数 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 使上述向量方程成立。例如，对于 $x=1$ 和 $y=2$，系数 $c_{2}=-1/2$ 和 $c_{1}=3/2$ 就满足要求。也就是说，$\mathbb {R} ^{2}$ 中的任何向量都可以写成两个给定向量的线性组合。

由于跨度是子空间，并且我们知道理解子空间的一个好方法是参数化其描述，因此我们可以尝试以这种方式理解集合的跨度。

示例 2.18

考虑在 ${\mathcal {P}}_{2}$ 中，集合 $\{3x-x^{2},2x\}$ 的生成空间。根据生成空间的定义，它是这两个向量所有无限制线性组合的集合： $\{c_{1}(3x-x^{2})+c_{2}(2x)\,{\big |}\,c_{1},c_{2}\in \mathbb {R} \}$。显然，在这个生成空间中的多项式必须有零常数项。这个必要条件也是充分的吗？

我们问：对于 ${\mathcal {P}}_{2}$ 中的哪些成员 $a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$，存在 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 使得 $a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=c_{1}(3x-x^{2})+c_{2}(2x)$？由于多项式相等当且仅当它们的系数相等，我们正在寻找 $a_{2}$，$a_{1}$ 和 $a_{0}$ 满足这些条件。

${\begin{array}{*{2}{rc}r}-c_{1}&&&=&a_{2}\\3c_{1}&+&2c_{2}&=&a_{1}\\&&0&=&a_{0}\end{array}}$

高斯消元法得出$c_{1}=-a_{2}$，$c_{2}=(3/2)a_{2}+(1/2)a_{1}$，以及$0=a_{0}$。因此，该空间中多项式唯一的条件是我们已知的条件——只要$a_{0}=0$，我们就可以给出合适的系数$c_{1}$和$c_{2}$来描述多项式$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}$，使其属于该空间。例如，对于多项式$0-4x+3x^{2}$，系数$c_{1}=-3$和$c_{2}=5/2$就可以。所以，给定集合的生成空间是$\{a_{1}x+a_{2}x^{2}\,{\big |}\,a_{1},a_{2}\in \mathbb {R} \}$。

顺便说一下，这表明集合$\{x,x^{2}\}$也生成此子空间。一个空间可以有多个生成集。另外两个生成此子空间的集合是$\{x,x^{2},-x+2x^{2}\}$和$\{x,x+x^{2},x+2x^{2},\ldots \,\}$。（当然，我们通常更喜欢使用只有几个成员的生成集。）

例 2.19

这些是我们现在知道的 $\mathbb {R} ^{3}$ 的子空间，即平凡子空间、过原点的直线、过原点的平面以及整个空间（当然，图中只显示了无穷多个子空间中的一部分）。在下一节中，我们将证明$\mathbb {R} ^{3}$没有其他类型的子空间，因此实际上这张图显示了所有子空间。

子集被描述为集合的跨度，使用最少的成员数量，并显示与其超集相连。请注意，这些子空间自然地分成不同的级别——一个级别的平面，另一个级别的线，等等——根据最小尺寸跨度集中有多少个向量。

在本章中，我们已经看到，为了研究线性组合的性质，正确的环境是一个对这些组合封闭的集合。在第一小节中，我们介绍了这样的集合，即向量空间，并且我们看到了许多例子。在本小节中，我们看到了更多空间，这些空间恰好是其他空间的子空间。在我们看到的所有多样性中，我们都看到了一个共同点。示例 2.19 说明了这一点：向量空间和子空间最好理解为跨度，尤其是作为少量向量的跨度。下一节研究最小化的跨度集。

练习

建议所有读者练习这道题。

问题 1

在$2\!\times \!2$矩阵的向量空间中，哪些子集是继承运算下的子空间？对于每个是子空间的，参数化其描述。对于每个不是子空间的，给出失败的条件。

1. $\{{\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$
2. $\{{\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+b=0\}$
3. $\{{\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+b=5\}$
4. $\{{\begin{pmatrix}a&c\\0&b\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+b=0,c\in \mathbb {R} \}$

建议所有读者练习这道题。

问题 2

这是${\mathcal {P}}_{2}$的子空间吗：$\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\,{\big |}\,a_{0}+2a_{1}+a_{2}=4\}$? 如果是，请参数化其描述。

建议所有读者练习这道题。

问题 3

判断该向量是否在空间内部的集合的跨度内。

1. ${\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}}$，$\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\}$，在$\mathbb {R} ^{3}$
2. $x-x^{3}$，$\{x^{2},2x+x^{2},x+x^{3}\}$，在${\mathcal {P}}_{3}$
3. ${\begin{pmatrix}0&1\\4&2\end{pmatrix}}$，$\{{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2&0\\2&3\end{pmatrix}}\}$，在${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$

问题 4

在由一个实变量的实值函数组成的向量空间中，以下哪些是$[\{\cos ^{2}x,\sin ^{2}x\}]$的线性组合？

1. $f(x)=1$
2. $f(x)=3+x^{2}$
3. $f(x)=\sin x$
4. $f(x)=\cos(2x)$

建议所有读者练习这道题。

问题 5

以下哪些集合可以生成$\mathbb {R} ^{3}$？也就是说，以下哪些集合具有这样的性质：任何三维向量都可以表示为该集合元素的适当线性组合？

1. $\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}}\}$
2. $\{{\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\}$
3. $\{{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}}\}$
4. $\{{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}}\}$
5. $\{{\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}5\\1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}6\\0\\2\end{pmatrix}}\}$

建议所有读者练习这道题。

问题 6

参数化每个子空间的描述。然后将每个子空间表示为一个跨度。

1. 三列行向量的子集 $\{{\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a-c=0\}$
2. ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 的这个子集

   $\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+d=0\}$

3. ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 的这个子集

   $\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,{\big |}\,2a-c-d=0{\text{ and }}a+3b=0\}$

4. ${\mathcal {P}}_{3}$的子集 $\{a+bx+cx^{3}\,{\big |}\,a-2b+c=0\}$
5. 二次多项式集合 ${\mathcal {P}}_{2}$ 的子集，其中二次多项式 $p$ 满足 $p(7)=0$

建议所有读者练习这道题。

问题 7

找出给定空间中给定子空间的生成集。（提示：对每个元素进行参数化。）

1. $\mathbb {R} ^{3}$ 中的 $xz$ 平面
2. $\mathbb {R} ^{3}$ 中的 $\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,3x+2y+z=0\}$
3. $\mathbb {R} ^{4}$ 中的 $\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\,{\big |}\,2x+y+w=0{\text{ and }}y+2z=0\}$
4. ${\mathcal {P}}_{3}$ 中的 $\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\,{\big |}\,a_{0}+a_{1}=0{\text{ and }}a_{2}-a_{3}=0\}$
5. 空间 ${\mathcal {P}}_{4}$ 中的集合 ${\mathcal {P}}_{4}$
6. ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 中的 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$

问题 8

$\mathbb {R} ^{2}$ 是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的子空间吗？

建议所有读者练习这道题。

问题 9

确定每个集合是否为一个实值单变量函数向量空间的子空间。

1. 偶函数 $\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,{\big |}\,f(-x)=f(x){\text{ for all }}x\}$. 例如，这个集合中的两个元素是 $f_{1}(x)=x^{2}$ 和 $f_{2}(x)=\cos(x)$.
2. 奇函数 $\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,{\big |}\,f(-x)=-f(x){\text{ for all }}x\}$. 两个元素是 $f_{3}(x)=x^{3}$ 和 $f_{4}(x)=\sin(x)$.

问题 10

示例 2.16 指出，对于向量空间 $V$ 中的任何向量 ${\vec {v}}$，集合 $\{r\cdot {\vec {v}}\,{\big |}\,r\in \mathbb {R} \}$ 是 $V$ 的子空间。 （当然，这仅仅是单元素集合 $\{{\vec {v}}\}$ 的生成子空间。）这样的子空间必须是真子空间，还是它可以是假子空间？

问题 11

向量空间定义后的一个例子表明，齐次线性方程组的解集是一个向量空间。用本小节的术语来说，它是 $\mathbb {R} ^{n}$ 的子空间，其中方程组具有 $n$ 个变量。非齐次线性方程组的情况如何；它的解集在继承的运算下是否构成子空间？

问题 12

示例 2.19 表明 $\mathbb {R} ^{3}$ 具有无穷多个子空间。每个非平凡空间都具有无穷多个子空间吗？

问题 13

完成 引理 2.9 的证明。

问题 14

证明每个向量空间只有一个平凡子空间。

建议所有读者练习这道题。

问题 15

证明对于向量空间的任何子集 $S$，子空间的生成等于生成 $[[S]]=[S]$。（提示：$[S]$ 的成员是 $S$ 的成员的线性组合。 $[[S]]$ 的成员是 $S$ 的成员的线性组合的线性组合。）

问题 16

我们所看到的所有子空间都以某种方式在它们的描述中使用了零。例如，示例 2.3 中的子空间包含来自 $\mathbb {R} ^{2}$ 的所有向量，其第二个分量为零。相反，来自 $\mathbb {R} ^{2}$ 的第二个分量为 1 的向量集合不构成子空间（它在标量乘法下不封闭）。另一个例子是 示例 2.2，其中向量上的条件是三个分量加起来为零。如果条件是三个分量加起来为 1，那么它就不是一个子空间（同样，它将不能封闭）。本练习表明，对零的依赖不是严格必要的。考虑集合

$\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x+y+z=1\}$

在这些运算下。

${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}-1\\y_{1}+y_{2}\\z_{1}+z_{2}\end{pmatrix}}\qquad r{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rx-r+1\\ry\\rz\end{pmatrix}}$

1. 证明它不是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的子空间。（提示：参见 示例 2.5）。
2. 证明它是一个向量空间。注意，根据前一项，引理 2.9 不适用。
3. 证明 $\mathbb {R} ^{3}$ 的任何子空间都必须经过原点，因此 $\mathbb {R} ^{3}$ 的任何子空间都必须在描述中包含零。反之成立吗？$\mathbb {R} ^{3}$ 中包含原点的任何子集在给定继承运算后是否成为子空间？

问题 17

我们可以给出这样一种约定，即零个向量的和等于零向量的理由。考虑这三个向量的和 ${\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{3}$.

1. 这三个向量的和与前两个向量的和之间有什么区别？
2. 前一个和与仅第一个向量的和之间有什么区别？
3. 一个向量的和与零个向量的和之间应该有什么区别？
4. 那么零个向量的和的定义应该是什么？

问题 18

空间是由它的子空间决定的吗？也就是说，如果两个向量空间具有相同的子空间，这两个向量空间是否必须相等？

问题 19

1. 给出一个在标量乘法下封闭但在加法下不封闭的集合。
2. 给出一个在加法下封闭但在标量乘法下不封闭的集合。
3. 给出一个既不在标量乘法下封闭也不在加法下封闭的集合。

问题 20

证明一组向量的生成空间不依赖于该集合中向量的排列顺序。

问题 21

哪个平凡子空间是空集的生成空间？是

$\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\}\subseteq \mathbb {R} ^{3},\quad {\text{or}}\quad \{0+0x\}\subseteq {\mathcal {P}}_{1},$

还是其他一些子空间？

问题 22

证明如果一个向量在集合的生成空间内，那么将该向量添加到集合中不会使生成空间变大。这是否是“充分必要条件”？

建议所有读者练习这道题。

问题 23

子空间是子集，因此我们自然会考虑“是…的子空间”与通常的集合运算之间的相互作用。

1. 如果 $A,B$ 是向量空间的子空间，那么 $A\cap B$ 是否一定是子空间？永远吗？有时吗？从不？
2. $A\cup B$ 是否一定是子空间？
3. 如果 $A$ 是一个子空间，那么它的补集是否一定是子空间？

(提示。尝试 示例 2.19 中的一些测试子空间。）

建议所有读者练习这道题。

问题 24

集合的跨度是否取决于封闭空间？也就是说，如果 $W$ 是 $V$ 的子空间，并且 $S$ 是 $W$ 的子集（因此也是 $V$ 的子集），$S$ 在 $W$ 中的跨度是否与 $S$ 在 $V$ 中的跨度不同？

问题 25

"是...的子空间"关系是否具有传递性？也就是说，如果 $V$ 是 $W$ 的子空间，并且 $W$ 是 $X$ 的子空间，那么 $V$ 必须是 $X$ 的子空间吗？

建议所有读者练习这道题。

问题 26

因为 "跨度" 是集合上的一个操作，所以我们自然地考虑它如何与常见的集合运算交互。

1. 如果 $S\subseteq T$ 是向量空间的子集，那么 $[S]\subseteq [T]$ 吗？总是？有时？从不？
2. 如果 $S,T$ 是向量空间的子集，那么 $[S\cup T]=[S]\cup [T]$ 吗？
3. 如果 $S,T$ 是向量空间的子集，那么 $[S\cap T]=[S]\cap [T]$ 吗？
4. 补集的跨度是否等于跨度的补集？

问题 27

在不单独处理空集的情况下，重新证明 引理 2.15。

问题 28

找到一个在**线性组合下闭合**的结构，但它**不是**向量空间。（备注。这是一个有点技巧性的问题。）

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