线性代数/求和与标量积/解答

解答

建议所有读者练习此题。

问题 1

如果定义，请执行指示的操作。

1. ${\begin{pmatrix}5&-1&2\\6&1&1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2&1&4\\3&0&5\end{pmatrix}}$
2. $6\cdot {\begin{pmatrix}2&-1&-1\\1&2&3\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}}$
4. $4{\begin{pmatrix}1&2\\3&-1\end{pmatrix}}+5{\begin{pmatrix}-1&4\\-2&1\end{pmatrix}}$
5. $3{\begin{pmatrix}2&1\\3&0\end{pmatrix}}+2{\begin{pmatrix}1&1&4\\3&0&5\end{pmatrix}}$

解答

1. ${\begin{pmatrix}7&0&6\\9&1&6\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}12&-6&-6\\6&12&18\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}4&2\\0&6\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}-1&28\\2&1\end{pmatrix}}$
5. 未定义。

问题 2

证明定理 1.5。

1. 证明矩阵加法表示线性映射的加法。
2. 证明矩阵标量乘法表示线性映射的标量乘法。

解答

以通常的方式表示域向量 ${\vec {v}}\in V$ 和映射 $g,h:V\to W$，相对于基底 $B,D$。

1. $(g+h)\,({\vec {v}})=g({\vec {v}})+h({\vec {v}})$ 的表示

   ${\bigl (}(g_{1,1}v_{1}+\dots +g_{1,n}v_{n}){\vec {\delta }}_{1}+\cdots +(g_{m,1}v_{1}+\dots +g_{m,n}v_{n}){\vec {\delta }}_{m}{\bigr )}$

   $+{\bigl (}(h_{1,1}v_{1}+\cdots +h_{1,n}v_{n}){\vec {\delta }}_{1}+\cdots +(h_{m,1}v_{1}+\dots +h_{m,n}v_{n}){\vec {\delta }}_{m}{\bigr )}$

   重新分组

   $=((g_{1,1}+h_{1,1})v_{1}+\dots +(g_{1,1}+h_{1,n})v_{n})\cdot {\vec {\delta }}_{1}+\cdots +((g_{m,1}+h_{m,1})v_{1}+\dots +(g_{m,n}+h_{m,n})v_{n})\cdot {\vec {\delta }}_{m}$

   等于 $g({\vec {v}})$ 和 $h({\vec {v}})$ 表示的逐项加和。
2. $(r\cdot h)\,({\vec {v}})=r\cdot {\bigl (}h({\vec {v}}){\bigr )}$ 的表示

   $r\cdot {\bigl (}(h_{1,1}v_{1}+h_{1,2}v_{2}+\dots +h_{1,n}v_{n}){\vec {\delta }}_{1}+\dots +(h_{m,1}v_{1}+h_{m,2}v_{2}+\dots +h_{m,n}v_{n}){\vec {\delta }}_{m}{\bigr )}$

   $=(rh_{1,1}v_{1}+\dots +rh_{1,n}v_{n})\cdot {\vec {\delta }}_{1}+\dots +(rh_{m,1}v_{1}+\dots +rh_{m,n}v_{n})\cdot {\vec {\delta }}_{m}$

   是 $r$ 与 $h$ 的表示的逐项乘积。

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问题 3

证明每个，其中操作定义，$G$，$H$，和 $J$ 是矩阵，$Z$ 是零矩阵，$r$ 和 $s$ 是标量。

1. 矩阵加法是交换律的 $G+H=H+G$.
2. 矩阵加法是结合律的 $G+(H+J)=(G+H)+J$.
3. 零矩阵是加法单位元 $G+Z=G$.
4. $0\cdot G=Z$
5. $(r+s)G=rG+sG$
6. 矩阵有加法逆元 $G+(-1)\cdot G=Z$.
7. $r(G+H)=rG+rH$
8. $(rs)G=r(sG)$

解答

首先，很容易逐个元素验证这些性质。例如，写出

$G={\begin{pmatrix}g_{1,1}&\ldots &g_{1,n}\\\vdots &&\vdots \\g_{m,1}&\ldots &g_{m,n}\end{pmatrix}}\qquad H={\begin{pmatrix}h_{1,1}&\ldots &h_{1,n}\\\vdots &&\vdots \\h_{m,1}&\ldots &h_{m,n}\end{pmatrix}}$

那么，根据定义，我们有

$G+H={\begin{pmatrix}g_{1,1}+h_{1,1}&\ldots &g_{1,n}+h_{1,n}\\\vdots &&\vdots \\g_{m,1}+h_{m,1}&\ldots &g_{m,n}+h_{m,n}\end{pmatrix}}\qquad H+G={\begin{pmatrix}h_{1,1}+g_{1,1}&\ldots &h_{1,n}+g_{1,n}\\\vdots &&\vdots \\h_{m,1}+g_{m,1}&\ldots &h_{m,n}+g_{m,n}\end{pmatrix}}$

两者相等，因为它们的元素相等 $g_{i,j}+h_{i,j}=h_{i,j}+g_{i,j}$。也就是说，每个性质都很容易通过使用 定义 1.3 来验证。

然而，每个性质也容易从代表映射的角度理解，可以通过应用 定理 1.5 以及定义。

1. 两个映射 $g+h$ 和 $h+g$ 相等，因为 $g({\vec {v}})+h({\vec {v}})=h({\vec {v}})+g({\vec {v}})$，因为加法在任何向量空间中都是可交换的。由于映射相同，它们必须具有相同的代表。
2. 与上一个答案类似，只是这里应用了向量空间加法是结合律的。
3. 如前所述，但这里我们注意到 $g({\vec {v}})+z({\vec {v}})=g({\vec {v}})+{\vec {0}}=g({\vec {v}})$.
4. 应用 $0\cdot g({\vec {v}})={\vec {0}}=z({\vec {v}})$.
5. 应用 $(r+s)\cdot g({\vec {v}})=r\cdot g({\vec {v}})+s\cdot g({\vec {v}})$.
6. 将前两条应用于 $r=1$ 和 $s=-1$.
7. 应用 $r\cdot (g({\vec {v}})+h({\vec {v}}))=r\cdot g({\vec {v}})+r\cdot h({\vec {v}})$.
8. 应用 $(rs)\cdot g({\vec {v}})=r\cdot (s\cdot g({\vec {v}}))$.

问题 4

固定定义域和陪域空间。通常，同一个矩阵可以根据不同的基表示不同的映射。但是，证明零矩阵只表示零映射。还有其他这样的矩阵吗？

解答

对于任何 $V,W$ 以及其基 $B,D$，（适当大小的）零矩阵表示该映射。

${\vec {\beta }}_{1}\mapsto 0\cdot {\vec {\delta }}_{1}+\dots +0\cdot {\vec {\delta }}_{m}\quad \cdots \quad {\vec {\beta }}_{n}\mapsto 0\cdot {\vec {\delta }}_{1}+\dots +0\cdot {\vec {\delta }}_{m}$

这是零映射。

没有其他矩阵能表示唯一一个映射。因为，假设 $H$ 不是零矩阵。那么它有一个非零元素；假设 $h_{i,j}\neq 0$。关于基底 $B,D$，它表示 $h_{1}:V\to W$，它将

${\vec {\beta }}_{j}\mapsto h_{1,j}{\vec {\delta }}_{1}+\dots +h_{i,j}{\vec {\delta }}_{i}+\dots +h_{m,j}{\vec {\delta }}_{m}$

并且关于 $B,2\cdot D$，它也表示 $h_{2}:V\to W$，它将

${\vec {\beta }}_{j}\mapsto h_{1,j}\cdot (2{\vec {\delta }}_{1})+\dots +h_{i,j}\cdot (2{\vec {\delta }}_{i})+\dots +h_{m,j}\cdot (2{\vec {\delta }}_{m})$

(符号 $2\cdot D$ 意味着将 D 中的所有成员都乘以 2)。这些映射很容易被证明是不相等的。

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问题 5

令 $V$ 和 $W$ 是维度分别为 $n$ 和 $m$ 的向量空间。证明空间 $\mathop {\mathcal {L}} (V,W)$ (从 $V$ 到 $W$ 的线性映射) 与 ${\mathcal {M}}_{m\!\times \!n}$ 同构。

解答

为 $V$ 和 $W$ 固定基底 $B$ 和 $D$，并考虑 ${\mbox{Rep}}_{B,D}:\mathop {\mathcal {L}} (V,W)\to {\mathcal {M}}_{m\!\times \!n}$，将每个线性映射与表示该映射的矩阵相关联 $h\mapsto {\rm {Rep}}_{B,D}(h)$。从上一节我们知道（在固定基底的情况下）矩阵对应于线性映射，因此表示映射是一对一的且满射。它保持线性运算由 定理 1.5给出。

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问题 6

证明从前面的问题可以得出，对于任意六个变换 $t_{1},\dots ,t_{6}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$，存在标量 $c_{1},\dots ,c_{6}\in \mathbb {R}$ 使得 $c_{1}t_{1}+\dots +c_{6}t_{6}$ 是零映射。（提示：这是一个有点误导性的问题。）

解答

固定基底并用 $2\!\times \!2$ 矩阵表示变换。矩阵空间 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 的维度为四，因此上述六元素集合线性相关。根据之前的练习，这种相关性可以推广到映射的相关性。(误导之处在于变换只有六个，而不是五个，因此我们有比需要更多的变换来证明相关性的存在。)

问题 7

方阵的迹是指主对角线上的元素之和（$1,1$ 元素加上 $2,2$ 元素，等等；我们将在第五章看到迹的意义)。证明 ${\mbox{trace}}(H+G)={\mbox{trace}}(H)+{\mbox{trace}}(G)$。对于标量乘法，是否存在类似的结果？

解答

和的迹等于迹的和是因为 ${\text{trace}}(H+G)$ 和 ${\text{trace}}(H)+{\text{trace}}(G)$ 都是 $h_{1,1}+g_{1,1}$ 与 $h_{2,2}+g_{2,2}$ 等等的和。对于标量乘法，我们有 ${\mbox{trace}}(r\cdot H)=r\cdot {\mbox{trace}}(H)$；证明很简单。因此，迹映射是从 ${\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}$ 到 $\mathbb {R}$ 的同态。

问题 8

回顾一下，矩阵 $M$ 的转置是另一个矩阵，它的 $i,j$ 项是 $j,i$ 项 $M$。验证这些恒等式。

1. ${{(G+H)}^{\rm {trans}}}={{G}^{\rm {trans}}}+{{H}^{\rm {trans}}}$
2. ${{(r\cdot H)}^{\rm {trans}}}=r\cdot {{H}^{\rm {trans}}}$

解答

1. $i,j$ 项 ${{(G+H)}^{\rm {trans}}}$ 是 $g_{j,i}+h_{j,i}$。这也是 $i,j$ 项 ${{G}^{\rm {trans}}}+{{H}^{\rm {trans}}}$。
2. $i,j$ 项 ${{(r\cdot H)}^{\rm {trans}}}$ 是 $rh_{j,i}$，这也是 $i,j$ 项 $r\cdot {{H}^{\rm {trans}}}$。

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问题 9

如果每个 $i,j$ 项等于 $j,i$ 项，也就是说，如果矩阵等于它的转置，那么一个方阵是对称的。

1. 证明对于任何 $H$，矩阵 $H+{{H}^{\rm {trans}}}$ 是对称的。每个对称矩阵都有这种形式吗？
2. 证明 $n\!\times \!n$ 对称矩阵的集合是 ${\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}$ 的子空间。

解答

1. 对于 $H+{{H}^{\rm {trans}}}$，$i,j$ 项是 $h_{i,j}+h_{j,i}$，$j,i$ 项是 $h_{j,i}+h_{i,j}$。这两个相等，因此 $H+{{H}^{\rm {trans}}}$ 是对称的。每个对称矩阵都有这种形式，因为它可以写成 $H=(1/2)\cdot (H+{{H}^{\rm {trans}}})$。
2. 对称矩阵的集合非空，因为它包含零矩阵。显然，对称矩阵的标量倍数是对称的。两个对称矩阵的和 $H+G$ 是对称的，因为 $h_{i,j}+g_{i,j}=h_{j,i}+g_{j,i}$（因为 $h_{i,j}=h_{j,i}$ 并且 $g_{i,j}=g_{j,i}$）。因此子集是非空且在继承的操作下是封闭的，所以它是一个子空间。

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问题 10

1. 矩阵秩如何与标量乘法交互 - 秩为 $n$ 的矩阵的标量积是否可以小于 $n$？大于？
2. 矩阵秩如何与矩阵加法交互？秩为$n$ 的矩阵之和可以有小于$n$ 的秩吗？大于呢？

解答

1. 标量乘法不会改变矩阵的秩，除非乘以零，这会导致矩阵的秩为零。（这从书中的第一个定理得出，即用非零标量乘以一行不会改变相关线性方程组的解集。）
2. 秩为$n$ 的矩阵之和可以有小于$n$ 的秩。例如，对于任何矩阵$H$，和$H+(-1)\cdot H$ 的秩为零。秩为$n$ 的矩阵之和可以有大于$n$ 的秩。以下是秩为一的矩阵，它们相加得到秩为二的矩阵。

   ${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$