回顾一下,对于两个具有相同定义域和陪域的映射
和
,映射和
的定义如下。

最简单的方法是通过一个例子来理解映射的表示如何结合起来表示映射和。
- 例1.1
假设
分别用基底
和
用这些矩阵表示。

那么,对于任何用
表示的
,计算
的表示

给出了
的表示形式。

因此,
的运算可以用这个矩阵向量乘积来描述。

此矩阵是原始矩阵的逐项加和,例如,
的
项是
的
项和
的
项的总和。
表示映射的标量倍数的方式相同。
- 定义 1.3
两个相同大小矩阵的和是它们的逐项加和。矩阵的标量倍数是逐项标量乘法的结果。
- 备注 1.4
这些扩展了我们在第一章中定义的向量加法和标量乘法运算。
标量乘法的显著特例是乘以零。对于任何映射
是零同态,对于任何矩阵
是零矩阵。
- 例 1.6
从任何三维空间到任何二维空间的零映射由
零矩阵表示

无论使用哪个定义域和陪域基。
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- 问题 2
证明 定理 1.5.
- 证明矩阵加法代表线性映射的加法。
- 证明矩阵标量乘法代表线性映射的标量乘法。
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- 问题 4
固定域和陪域空间。一般来说,一个矩阵可以表示相对于不同基的许多不同的映射。但是,证明零矩阵只表示零映射。还有其他这样的矩阵吗?
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- 问题 10
- 矩阵秩如何与标量乘法相互作用——秩为
的矩阵的标量积的秩是否小于
?大于? - 矩阵秩如何与矩阵加法相互作用——秩为
的矩阵的和的秩是否小于
?大于?
解决方案