线性代数/求和与标量积

线性代数
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回顾一下，对于两个具有相同定义域和陪域的映射 $f$ 和 $g$ ，映射和 $f+g$ 的定义如下。

{\vec {v}}\;{\stackrel {f+g}{\longmapsto }}\;f({\vec {v}})+g({\vec {v}})

最简单的方法是通过一个例子来理解映射的表示如何结合起来表示映射和。

例1.1

假设 $f,g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$ 分别用基底 $B$ 和 $D$ 用这些矩阵表示。

F={\rm {Rep}}_{B,D}(f)={\begin{pmatrix}1&3\\2&0\\1&0\end{pmatrix}}_{B,D}\qquad G={\rm {Rep}}_{B,D}(g)={\begin{pmatrix}0&0\\-1&-2\\2&4\end{pmatrix}}_{B,D}

那么，对于任何用 $B$ 表示的 ${\vec {v}}\in V$ ，计算 $f({\vec {v}})+g({\vec {v}})$ 的表示

{\begin{pmatrix}1&3\\2&0\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\-1&-2\\2&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1v_{1}+3v_{2}\\2v_{1}+0v_{2}\\1v_{1}+0v_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0v_{1}+0v_{2}\\-1v_{1}-2v_{2}\\2v_{1}+4v_{2}\end{pmatrix}}

给出了 $f+g\,({\vec {v}})$ 的表示形式。

{\begin{pmatrix}(1+0)v_{1}+(3+0)v_{2}\\(2-1)v_{1}+(0-2)v_{2}\\(1+2)v_{1}+(0+4)v_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1v_{1}+3v_{2}\\1v_{1}-2v_{2}\\3v_{1}+4v_{2}\end{pmatrix}}

因此， $f+g$ 的运算可以用这个矩阵向量乘积来描述。

{\begin{pmatrix}1&3\\1&-2\\3&4\end{pmatrix}}_{B,D}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}_{B}={\begin{pmatrix}1v_{1}+3v_{2}\\1v_{1}-2v_{2}\\3v_{1}+4v_{2}\end{pmatrix}}_{D}

此矩阵是原始矩阵的逐项加和，例如， $1,1$ 的 ${\rm {Rep}}_{B,D}(f+g)$ 项是 $1,1$ 的 $F$ 项和 $1,1$ 的 $G$ 项的总和。

表示映射的标量倍数的方式相同。

示例 1.2

如果 $t$ 是一个由以下表示的变换：

{\rm {Rep}}_{B,D}(t)={\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}_{B,D}\quad {\text{so that}}\quad {\vec {v}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}_{B}\mapsto {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{1}+v_{2}\end{pmatrix}}_{D}=t({\vec {v}})

那么标量倍数映射 $5t$ 以这种方式作用。

{\vec {v}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}_{B}\;\longmapsto \;{\begin{pmatrix}5v_{1}\\5v_{1}+5v_{2}\end{pmatrix}}_{D}=5\cdot t({\vec {v}})

因此，这是表示 $5t$ 的矩阵。

{\rm {Rep}}_{B,D}(5t)={\begin{pmatrix}5&0\\5&5\end{pmatrix}}_{B,D}

定义 1.3

两个相同大小矩阵的和是它们的逐项加和。矩阵的标量倍数是逐项标量乘法的结果。

备注 1.4

这些扩展了我们在第一章中定义的向量加法和标量乘法运算。

定理 1.5

令 $h,g:V\to W$ 是相对于基 $B,D$ 由矩阵 $H$ 和 $G$ 表示的线性映射，并令 $r$ 为一个标量。那么映射 $h+g:V\to W$ 相对于 $B,D$ 由 $H+G$ 表示，映射 $r\cdot h:V\to W$ 相对于 $B,D$ 由 $rH$ 表示。

证明

问题 2；将以上例子进行推广。

标量乘法的显著特例是乘以零。对于任何映射 $0\cdot h$ 是零同态，对于任何矩阵 $0\cdot H$ 是零矩阵。

例 1.6

从任何三维空间到任何二维空间的零映射由 $2\!\times \!3$ 零矩阵表示

Z={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}

无论使用哪个定义域和陪域基。

练习

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问题 1

执行以下操作，如果定义的话。

${\begin{pmatrix}5&-1&2\\6&1&1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2&1&4\\3&0&5\end{pmatrix}}$
$6\cdot {\begin{pmatrix}2&-1&-1\\1&2&3\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}}$
$4{\begin{pmatrix}1&2\\3&-1\end{pmatrix}}+5{\begin{pmatrix}-1&4\\-2&1\end{pmatrix}}$
$3{\begin{pmatrix}2&1\\3&0\end{pmatrix}}+2{\begin{pmatrix}1&1&4\\3&0&5\end{pmatrix}}$

问题 2

证明定理 1.5.

证明矩阵加法代表线性映射的加法。
证明矩阵标量乘法代表线性映射的标量乘法。

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问题 3

证明每个，其中运算定义如下，其中 $G$ 、 $H$ 和 $J$ 是矩阵，其中 $Z$ 是零矩阵，其中 $r$ 和 $s$ 是标量。

矩阵加法是可交换的 $G+H=H+G$ .
矩阵加法是结合的 $G+(H+J)=(G+H)+J$ .
零矩阵是加法单位元 $G+Z=G$ .
$0\cdot G=Z$
$(r+s)G=rG+sG$
矩阵有加法逆元 $G+(-1)\cdot G=Z$ .
$r(G+H)=rG+rH$
$(rs)G=r(sG)$

问题 4

固定域和陪域空间。一般来说，一个矩阵可以表示相对于不同基的许多不同的映射。但是，证明零矩阵只表示零映射。还有其他这样的矩阵吗？

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问题 5

令 $V$ 和 $W$ 是维数分别为 $n$ 和 $m$ 的向量空间。证明空间 $\mathop {\mathcal {L}} (V,W)$ 中从 $V$ 到 $W$ 的线性映射同构于 ${\mathcal {M}}_{m\!\times \!n}$ .

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问题 6

证明根据前几个问题，对于任何六个变换 $t_{1},\dots ,t_{6}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ 都存在标量 $c_{1},\dots ,c_{6}\in \mathbb {R}$ 使得 $c_{1}t_{1}+\dots +c_{6}t_{6}$ 为零映射。(提示：这个问题有点误导性。)