线性代数/线性方程组

线性代数
	线性方程组	矩阵

我们将从研究线性方程组开始我们的线性代数学习。这种线性方程在应用数学中经常出现，用于对某些现象进行建模。例如，在线性规划中，利润通常在与劳动力、时间可用性等相关的某些约束条件下最大化。这些约束可以写成线性方程组的形式。

虽然我们已经学习了本章的内容（参见代数/方程组），但快速重读本页面以更新定义是一个好主意。

线性系统

一个线性方程是一个方程，其中每个项都是一个常数，或是一个常数乘以一个变量的第一次方。这样的方程等价于将一个一次多项式等于零。以下是一些线性方程的例子。

术语“线性”来自基础代数和平面几何，其中实平面上的直线的代数表示的标准形式是 $ax+by=c$ ，其中 a、b、c 是实常数，x、y 是实变量。回顾上面的例子会发现每个方程都符合一般形式。

以下不是线性方程

为了使一个方程成为线性方程，它不必处于标准形式（所有带有变量的项都在左侧）。线性方程中的常数不必是整数（甚至不必是有理数）。

线性方程按它们涉及的变量个数进行分类。分类很简单——一个有n个变量的方程被称为n个变量的线性方程。如果 n 为 2，则线性方程在几何上是一条直线，如果 n 为 3，则它是一个平面。一般 n 的几何形状有时被称为仿射超平面。然而，我们将简单地对所有 n 使用术语n-平面。

为了清晰和简单起见，n 个变量的线性方程写成以下形式 $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+...+a_{n}x_{n}=b\$ ，其中 $a_{1},a_{2},...,a_{n}\$ 是常数（称为系数），而 $b\$ 是常数项。

一个线性系统（或线性方程组）是由涉及相同变量集的线性方程组成的集合。例如，

{\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}

是一个包含三个变量 $x,y,z\,\!$ 的三个线性方程组。

一个包含 *m* 个线性方程和 *n* 个未知数（或变量）的一般方程组可以写成

{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}

这里 $x_{1},\ x_{2},...,x_{n}$ 是未知数， $a_{11},\ a_{12},...,\ a_{mn}$ 是系统的 *系数*， $b_{1},\ b_{2},...,b_{m}$ 是常数项。

一个线性方程的解是指任何一个满足该线性方程的值的n元组，即 $(s_{1},s_{2},....,s_{n})\$ 。例如， $(-1,-1)\$ 是线性方程 $x+3y=-4\$ 的一个解，因为 $-1+(3\times -1)=-1+(-3)=-4$ ，但 $(1,5)\$ 不是。

类似地，一个线性方程组的解是指任何一个同时满足该方程组中所有线性方程的值的 n 元组 $(s_{1},s_{2},....,s_{n})\$ 。

例如，

{\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}

它的解为 $(1,-2,-2)\$ 。这也可以写成

${\begin{alignedat}{2}x&=&1\\y&=&-2\\z&=&-2\end{alignedat}}$

我们也把所有可能的解的集合称为解集。

一般来说，对于任何线性方程组，关于解有三种可能的情况

唯一解：在这种情况下，只有一个特定的解集存在。在几何上，这意味着由线性方程组中每个方程所指定的 n 维平面在由该方程组的变量所指定的空间中都相交于一个唯一的点。

无解：这些方程被称为不一致的，它们在空间中指定了不相交或重叠的 n 维平面。不可能指定一个满足该方程组中所有方程的解集。

无穷多解：这些方程指定了 n 维平面，其交点是一个 m 维平面，其中 $m\leq n$ 。在这种情况下，可以证明在特定范围内存在一个无穷大的解集，它们满足该线性方程组。

下图说明了这些情况


唯一解	无解	无穷多解

为什么只有这三种情况，而没有其他情况？虽然下一章将提供一个证明，但现在你自己想出这个证明是一个很好的练习。

如果一个线性方程组没有解，则称该方程组为不一致的。如果存在至少一个解，则称该方程组为一致的。

我们知道，可以用加减消元法和代入法等方法求解二元一次方程组或三元一次方程组。但是，当变量数量很多时，这些方法不适合处理大型方程组。因此，这些方法被推广了，并在实际应用中通常使用一种称为高斯消元法的系统性方法。我们将在后面的章节中学习它。该方法的一个变体，称为高斯-约旦消元法，也经常使用。

许多情况下，我们需要求解许多线性方程组，这些方程组中唯一的区别是常数项。变量的系数保持不变。在这种情况下，使用一种称为LU 分解的方法。如果可能，也可以使用它的一个变体，称为乔列斯基分解。我们将在后面的章节中学习这些方法。

本章旨在作为复习。没有练习。找到以下方程组的解集：1.x1+2x2+3x3-4x4+5x5=25