线性代数/主题：网络分析

下图显示了汽车部分电气网络。电池位于左侧，以叠放的线段形式绘制。电线以线条形式绘制，为了整洁，显示为直线和锐角直角。

这种网络的设计人员需要回答诸如以下问题：当远光灯和大灯同时开启时，电流是多少？下面，我们将使用线性系统来分析更简单的电气网络版本。

为了进行分析，我们需要了解电气和电气网络的两个事实。

关于电气，第一个事实是电池就像一个泵：它提供一种力，推动电流流过连接电池两端的电路，如果有这样的电路的话。 我们说电池提供了电流流动的电势。当然，这个网络在电流流经电路时流经灯泡时才实现其功能。例如，当驾驶员踩下刹车时，开关就会接触，在图的左侧形成一个电路，而流过该电路的电流将使刹车灯亮起，提醒后面的驾驶员。

第二个关于电气的事实是，在某些类型的网络组件中，电流的大小与电池提供的力成正比。 也就是说，对于每个这样的组件，都有一个数字，称为其电阻，使得电势等于电流乘以电阻。测量单位为：电势以伏特表示，电流以安培表示，电阻以欧姆表示。这些单位的定义是 ${\mbox{volts}}={\mbox{amperes}}\cdot {\mbox{ohms}}$.

具有此特性的组件，即电压电流响应曲线是通过原点的直线，称为电阻器。（上面显示的灯泡不是这种类型的组件，因为它们的电阻值会随着温度的升高而改变。）例如，如果电阻器的值为 $2$ 欧姆，然后将其连接到一个 $12$ 伏特的电池上，会产生 $6$ 安培的电流。反过来，如果我们有 $2$ 安培的电流流过它，那么它的两端一定有 $4$ 伏特的电势差。 这是电阻器上的压降。思考上面这种电气电路的一种方式是，电池提供了电压上升，而其他组件则提供了电压下降。

我们需要了解网络的两个事实是基尔霍夫定律。

• 电流定律。对于网络中的任何一点，流入的电流等于流出的电流。
• 电压定律。围绕任何电路，总压降等于总上升。

在上面的网络中，只有一个电压上升，在电池上，但有些网络有多个电压上升。

首先，我们可以考虑下面的网络。它有一个电池提供电流流动的电势和三个电阻器（电阻器以之字形绘制）。 当组件像这里一样一个接一个地连接时，据说它们处于串联状态。

根据基尔霍夫电压定律，因为电压升高为$20$ 伏特，则总电压降也必须为$20$ 伏特。由于从开始到结束的电阻为$10$ 欧姆（导线的电阻可以忽略不计），因此电流为$(20/10)=2$ 安培。现在，根据基尔霍夫电流定律，每个电阻器上的电流为$2$ 安培。（因此，电压降为：$4$ 伏特跨越$2$ 欧姆电阻，$10$ 伏特跨越$5$ 欧姆电阻，以及$6$ 伏特跨越$3$ 欧姆电阻。）

前面的网络非常简单，我们没有使用线性系统，但下一个网络更复杂。 在这个网络中，电阻器是并联的。这个网络更类似于前面显示的汽车照明图。

我们首先标记分支，如下所示。令并联部分左分支的电流为$i_{1}$，右分支的电流为$i_{2}$，电池的电流为$i_{0}$。（我们遵循基尔霍夫电流定律；例如，右分支的所有点都具有相同的电流，我们称之为$i_{2}$。注意，我们不需要知道实际的流动方向——如果电流的流动方向与我们的箭头相反，那么我们将在解决方案中得到一个负数。）

应用于电流 $i_{0}$ 与 $i_{1}$ 和 $i_{2}$ 相交的右上角点，得到 $i_{0}=i_{1}+i_{2}$。应用于右下角，得到 $i_{1}+i_{2}=i_{0}$。在从电池顶部循环出来、沿着并联部分的左分支向下、再回到电池底部的电路中，电压升高为 $20$，而电压降为 $i_{1}\cdot 12$，因此电压定律给出 $12i_{1}=20$。类似地，从电池到右分支再回到电池的电路得到 $8i_{2}=20$。并且，在简单地围绕并联部分的左右分支循环（任意地顺时针方向）的电路中，电压升高为 $0$，电压降为 $8i_{2}-12i_{1}$，因此电压定律给出 $8i_{2}-12i_{1}=0$.

${\begin{array}{*{3}{rc}r}i_{0}&-&i_{1}&-&i_{2}&=&0\\-i_{0}&+&i_{1}&+&i_{2}&=&0\\&&12i_{1}&&&=&20\\&&&&8i_{2}&=&20\\&&-12i_{1}&+&8i_{2}&=&0\end{array}}$

该解决方案为 $i_{0}=25/6$，$i_{1}=5/3$，和 $i_{2}=5/2$，所有单位均为安培。（顺便说一下，这说明冗余方程在实践中确实会产生。）

基尔霍夫定律可以用来建立复杂网络的电气特性。 下图显示了五个电阻，以**串联-并联**的方式连接。

该网络为**惠斯通电桥**（见问题 4）。为了分析它，我们可以将箭头放置如下。

基尔霍夫电流定律应用于顶节点、左节点、右节点和底节点，得到以下结果。

${\begin{array}{rl}i_{0}&=i_{1}+i_{2}\\i_{1}&=i_{3}+i_{5}\\i_{2}+i_{5}&=i_{4}\\i_{3}+i_{4}&=i_{0}\end{array}}$

基尔霍夫电压定律应用于内环（从 $i_{0}$ 到 $i_{1}$ 到 $i_{3}$ 到 $i_{0}$ 环）、外环和不涉及电池的上环，得到以下结果。

${\begin{array}{rl}5i_{1}+10i_{3}&=10\\2i_{2}+4i_{4}&=10\\5i_{1}+50i_{5}-2i_{2}&=0\end{array}}$

这些足以确定解$i_{0}=7/3$, $i_{1}=2/3$, $i_{2}=5/3$, $i_{3}=2/3$, $i_{4}=5/3$，以及$i_{5}=0$.

不仅是电气网络，其他类型的网络也可以用这种方式进行分析。例如，练习中给出了街道网络。

练习

这些问题的许多系统最容易在计算机上求解。

问题 1

计算每个网络中每个部分的电流。

1. 这是一个简单的网络。

   

2. 将它与上面讨论的并联情况进行比较。

   

3. 这是一个相当复杂的网络。

   

问题 2

在我们分析的第一个网络中，三个电阻串联，我们直接加起来得到它们一起作用就像一个$10$ 欧姆的单个电阻。我们可以对并联电路做类似的事情。在分析的第二个电路中，

电池中的电流为$25/6$ 安培。因此，并联部分等效于一个$20/(25/6)=4.8$ 欧姆的单个电阻。

1. 如果我们将$12$ 欧姆电阻改为$5$ 欧姆，等效电阻是多少？
2. 如果两个电阻都是$8$ 欧姆，等效电阻是多少？
3. 如果并联的两个电阻分别为$r_{1}$ 欧姆和$r_{2}$ 欧姆，求出等效电阻的公式。

问题 3

对于本主题开头的汽车仪表盘示例，求解这些电流（假设所有电阻都为$2$ 欧姆）。

1. 如果驾驶员踩着刹车，刹车灯亮着，没有其他电路闭合。
2. 如果远光灯和刹车灯都亮着。

问题 4

证明，在这个惠斯通电桥中，

$r_{2}/r_{1}$ 等于 $r_{4}/r_{3}$ 当且仅当流过 $r_{g}$ 的电流为零。（此设备在实际应用中的使用方法是将未知电阻 $r_{4}$ 与另外三个电阻 $r_{1}$, $r_{2}$ 和 $r_{3}$ 进行比较。— 通常它们都有一个校准旋钮— 直到中间的电流读数为 $0$，然后上面的等式给出 $r_{4}$ 的值。）

除了电气网络之外，还有其他类型的网络，我们可以问基尔霍夫定律对它们的适用程度。接下来的问题考虑了对街道网络的扩展。

问题 5

考虑这个交通环岛。

这是交通流量，单位为每五分钟的汽车数量。

${\begin{array}{r|c|c|c}&{\textit {North}}&{\textit {Pier}}&{\textit {Main}}\\\hline {\textit {into}}&100&150&25\\{\textit {outof}}&75&150&50\end{array}}$

我们可以建立方程来模拟交通流量。

1. 将基尔霍夫电流定律应用于这种情况。这是一个合理的建模假设吗？
2. 用变量标记环岛中的三条连接道路的弧线。使用（调整后的）电流定律，针对每个入出交叉口，写出描述该节点交通流量的方程。
3. 求解该系统。
4. 解释你的解决方案。
5. 将电压定律重新表述为适用于这种情况的形式。它的合理性如何？

问题 6

这是一个街道网络。

可以观察到汽车每小时进出该网络入口和出口的流量。

${\begin{array}{r|c|c|c|c|c}&{\textit {east\ Winooski}}&{\textit {west\ Winooski}}&{\textit {Willow}}&{\textit {Jay}}&{\textit {Shelburne}}\\\hline {\text{into}}&80&50&65&--&40\\{\text{out of}}&30&5&70&55&75\end{array}}$

(请注意，为了到达 Jay，汽车必须先通过其他道路进入网络，这就是表格中没有“进入 Jay”项的原因。同时要注意，在很长一段时间内，总进入量应大约等于总离开量，这就是两行都加起来为 $235$ 辆车的原因。）一旦进入网络，交通可能以不同的方式流动，也许会填满 Willow 并使 Jay 大部分空闲，或者也许以其他方式流动。基尔霍夫定律限制了这种自由度。

1. 通过为每个街区设置一个变量，建立方程式并求解方程式，确定该街道网络内流量的限制。注意有些街道是单行道。（提示：这不会产生唯一的解，因为交通可以通过各种方式流经这个网络；你应该至少得到一个自由变量。）
2. 假设在 Willow 和 Jay 之间东部 Winooski 大道拟进行一些施工，因此该街区的交通将减少。在不影响网络每小时进出流量的情况下，该街区允许的最小交通流量是多少？

解决方案