线性代数/主题：网络分析/解决方案

解决方案

这些问题中的许多系统最容易在计算机上解决。

问题 1

计算每个网络每个部分的电流。

1. 这是一个简单的网络。

   

2. 将它与上面讨论的并联情况进行比较。

   

3. 这是一个相当复杂的网络。

   

答案

1. 总电阻为 $7$ 欧姆。在 $9$ 伏特电势下，电流将为 $9/7$ 安培。顺便说一下，电压降将是：$27/7$ 伏特跨越 $3$ 欧姆电阻，和 $18/7$ 伏特跨越两个 $2$ 欧姆电阻中的每一个。
2. 解决此网络的一种方法是注意到左侧的 $2$ 欧姆电阻在其两端有 $9$ 伏特电压降（因此流过它的电流是 $9/2$ 安培），右侧的剩余部分也有 $9$ 伏特电压降，因此像之前的那样进行分析。我们也可以使用线性系统。

   

   使用图表中的变量，我们得到一个线性系统

   ${\begin{array}{*{4}{rc}r}i_{0}&-&i_{1}&-&i_{2}&&&=&0\\&&i_{1}&+&i_{2}&-&i_{3}&=&0\\&&2i_{1}&&&&&=&9\\&&&&7i_{2}&&&=&9\end{array}}$

   这将得出唯一的解 $i_{1}=81/14$，$i_{1}=9/2$，$i_{2}=9/7$ 和 $i_{3}=81/14$。

   当然，第一段和第二段得出了相同的答案。本质上，在第一段中，我们用比高斯方法不那么系统的方法解线性方程组，先解出一些变量，然后代入。

3. 使用这些变量

   

   一个足以得出唯一解的线性方程组是这个。

   ${\begin{array}{*{7}{rc}r}i_{0}&-&i_{1}&-&i_{2}&&&&&&&&&=&0\\&&&&i_{2}&-&i_{3}&-&i_{4}&&&&&=&0\\&&&&&&i_{3}&+&i_{4}&-&i_{5}&&&=&0\\&&i_{1}&&&&&&&+&i_{5}&-&i_{6}&=&0\\&&3i_{1}&&&&&&&&&&&=&9\\&&&&3i_{2}&&&+&2i_{4}&+&2i_{5}&&&=&9\\&&&&3i_{2}&+&9i_{3}&&&+&2i_{5}&&&=&9\end{array}}$

   (最后三个等式来自包含 $i_{0}$-$i_{1}$-$i_{6}$ 的电路，包含 $i_{0}$-$i_{2}$-$i_{4}$-$i_{5}$-$i_{6}$ 的电路，以及包含 $i_{0}$-$i_{2}$-$i_{3}$-$i_{5}$-$i_{6}$ 的电路。）Octave 给出 $i_{0}=4.39437$，$i_{1}=3.00000$，$i_{2}=1.39437$，$i_{3}=0.38028$，$i_{4}=1.01408$，$i_{5}=1.39437$，$i_{6}=4.39437$.

问题 2

在我们分析的第一个网络中，三个电阻串联，我们直接相加得到它们共同作用就像一个 $10$ 欧姆的单个电阻。对于并联电路，我们可以做类似的事情。在分析的第二个电路中，

电池中的电流为 $25/6$ 安培。 因此，并联部分等效于一个 $20/(25/6)=4.8$ 欧姆的单个电阻。

1. 如果我们将 $12$ 欧姆的电阻改为 $5$ 欧姆，等效电阻是多少？
2. 如果两个电阻都是 $8$ 欧姆，等效电阻是多少？
3. 如果并联的两个电阻分别为 $r_{1}$ 欧姆和 $r_{2}$ 欧姆，求等效电阻的公式。

答案

1. 使用之前分析中的变量，

   ${\begin{array}{*{3}{rc}r}i_{0}&-&i_{1}&-&i_{2}&=&0\\-i_{0}&+&i_{1}&+&i_{2}&=&0\\&&5i_{1}&&&=&20\\&&&&8i_{2}&=&20\\&&-5i_{1}&+&8i_{2}&=&0\end{array}}$

   然后，流过每个支路的电流为 $i_{2}=20/8=2.5$，$i_{1}=20/5=4$，以及 $i_{0}=13/2=6.5$，所有单位均为安培。因此，并联部分就像一个大小为 $20/(13/2)\approx 3.08$ 欧姆的单个电阻。
2. 类似的分析表明，$i_{2}=i_{1}=20/8=4$ 且 $i_{0}=40/8=5$ 安培。等效电阻为 $20/5=4$ 欧姆。
3. 与之前分析类似，得出 $i_{2}=20/r_{2}$，$i_{1}=20/r_{1}$，以及 $i_{0}=20(r_{1}+r_{2})/(r_{1}r_{2})$，单位为安培。因此，并联部分相当于一个大小为 $20/i_{1}=r_{1}r_{2}/(r_{1}+r_{2})$ 欧姆的单个电阻。（此等式通常表述为：等效电阻 $r$ 满足 $1/r=(1/r_{1})+(1/r_{2})$。）

问题 3

对于本主题开头的汽车仪表板示例，计算这些电流值（假设所有电阻均为 $2$ 欧姆）。

1. 如果驾驶员踩刹车，导致刹车灯亮起，而其他电路未闭合。
2. 如果远光灯和刹车灯亮起。

答案

1. 电路图如下所示。

   

2. 电路图如下所示。

   

问题 4

证明，在该惠斯通电桥中，

$r_{2}/r_{1}$ 等于 $r_{4}/r_{3}$ 当且仅当流过 $r_{g}$ 的电流为零。(这种设备在实践中的使用方法是，将一个未知电阻$r_{4}$ 与另外三个电阻 $r_{1}$，$r_{2}$ 和 $r_{3}$ 进行比较。在 $r_{g}$ 放置一个显示电流的仪表。三个电阻$r_{1}$，$r_{2}$ 和 $r_{3}$ 是可变的—— 通常它们都有一个校准旋钮—— 直到中间的电流读数为 $0$， 然后上面的等式就可以给出 $r_{4}$ 的值。)

答案

基尔霍夫电流定律应用于 $r_{1}$，$r_{2}$ 和 $r_{g}$ 相交的节点，以及应用于 $r_{3}$，$r_{4}$ 和 $r_{g}$ 相交的节点得出这些。

$i_{3}r_{3}-i_{g}r_{g}-i_{1}r_{1}=0$
$i_{4}r_{4}-i_{2}r_{2}+i_{g}r_{g}=0$

假设 $i_{g}$ 为零，则有 $i_{1}=i_{2}$，$i_{3}=i_{4}$，$i_{1}r_{1}=i_{3}r_{3}$ 以及 $i_{2}r_{2}=i_{4}r_{4}$。 然后重新排列最后一个等式，

$r_{4}=(i_{2}r_{2})/i_{4}*(i_{3}r_{3})/(i_{1}r_{1})$

并约去 $i$，得到我们想要的结论。

除了电气网络之外，还有其他类型的网络，我们可以问基尔霍夫定律在这些网络中适用程度如何。以下问题考虑了对街道网络的扩展。

问题 5

考虑这个交通环岛。

这是交通量，单位为每五分钟的汽车数量。

${\begin{array}{r|c|c|c}&{\textit {North}}&{\textit {Pier}}&{\textit {Main}}\\\hline {\textit {into}}&100&150&25\\{\textit {outof}}&75&150&50\end{array}}$

我们可以建立方程式来模拟交通流。

1. 将基尔霍夫电流定律应用于这种情况。这是一个合理的建模假设吗？
2. 用变量标记圆形中的三个路段之间的弧线。使用（调整后的）电流定律，针对三个进出交叉点中的每一个，写出描述该节点交通流的方程式。
3. 求解该方程组。
4. 解释你的解。
5. 将电压定律重新表述为适用于这种情况的定律。它是否合理？

答案

1. 一个调整后的版本是：在任何交叉点，流入等于流出。在这种情况下，它似乎是合理的，除非汽车在交叉点停留很长时间。
2. 我们可以用这种方式标记流量。

   

   由于 $50$ 辆汽车从 Main 出去，而 $25$ 辆汽车驶入，所以 $i_{1}-25=i_{2}$。 同样，Pier 的进出平衡意味着 $i_{2}=i_{3}$，而 North 给出了 $i_{3}+25=i_{1}$。 我们得到了这个方程组。

   ${\begin{array}{*{3}{rc}r}i_{1}&-&i_{2}&&&=&25\\&i_{2}&-&i_{3}&=&0\\-i_{1}&&&+&i_{3}&=&-25\end{array}}$

3. 行操作 $\rho _{1}+\rho _{2}$ 和 $rho_{2}+\rho _{3}$ 得出结论：该方程有无数个解。以 $i_{3}$ 为参数，

   $\{{\begin{pmatrix}25+i_{3}\\i_{3}\\i_{3}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,i_{3}\in \mathbb {R} \}$

   当然，由于该问题是按汽车数量来描述的，我们可能会将 $i_{3}$ 限制为自然数。
4. 如果我们想象一个初始为空的圆，其输入/输出行为与给定信息一致，我们可以叠加一个 $z_{3}$ 个汽车无限循环，以获得新的解决方案。
5. 一个合适的重新表述可能是：进入圆形的汽车数量必须等于离开圆形的汽车数量。这种表述的合理性并不那么清晰。在五分钟的时间段内，进入的汽车数量很容易比离开的汽车数量多出六辆，尽管问题描述中的进入/离开表格满足了这个性质。无论如何，这对于获得唯一解没有任何帮助，因为我们需要知道无限循环的汽车数量。

问题 6

这是一个街道网络。

可以观察到汽车每小时进入这个网络的入口，以及离开其出口的流量。

${\begin{array}{r|c|c|c|c|c}&{\textit {east\ Winooski}}&{\textit {west\ Winooski}}&{\textit {Willow}}&{\textit {Jay}}&{\textit {Shelburne}}\\\hline {\text{into}}&80&50&65&--&40\\{\text{out of}}&30&5&70&55&75\end{array}}$

(注意，要到达 Jay，汽车必须先通过其他道路进入网络，这就是表格中没有“进入 Jay”条目。还要注意，在很长一段时间内，总的进入量近似等于总的离开量，这就是两行都加起来等于 $235$ 辆汽车的原因。) 进入网络后，交通可能会以不同的方式流动，例如，可能会填满 Willow 并让 Jay 大部分时间空闲，或者以其他方式流动。基尔霍夫定律限制了这种自由度。

1. 通过为每个街区设置一个变量，建立方程，并求解方程，确定此街道网络内部流量的限制条件。注意，有些街道是单行道。(提示：这不会产生唯一解，因为交通可以以各种方式流经此网络；你应该至少得到一个自由变量。)
2. 假设在 Willow 和 Jay 之间的 Winooski 大道东侧拟建一些建筑，因此该街区的交通流量将减少。为了不扰乱网络进出流量的每小时流量，该街区允许的最低交通流量是多少？

答案

1. 以下是每个未知街区的变量；每个已知街区显示了其流量。

   

   我们应用基尔霍夫定律，即流入 Willow 和 Shelburne 交叉口的流量必须等于流出流量，得到 $i_{1}+25=i_{2}+125$。从右到左，从上到下对交叉口进行操作，得到以下方程。

   ${\begin{array}{*{7}{rc}r}i_{1}&-&i_{2}&&&&&&&&&&&=&10\\-i_{1}&&&+&i_{3}&&&&&&&&&=&15\\&&i_{2}&&&+&i_{4}&&&&&&&=&5\\&&&&-i_{3}&-&i_{4}&&&+&i_{6}&&&=&-50\\&&&&&&&&i_{5}&&&-&i_{7}&=&-10\\&&&&&&&&&&-i_{6}&+&i_{7}&=&30\end{array}}$

   行操作 $\rho _{1}+\rho _{2}$，然后是 $\rho _{2}+\rho _{3}$，再是 $\rho _{3}+\rho _{4}$，然后是 $\rho _{4}+\rho _{5}$，最后是 $\rho _{5}+\rho _{6}$，得到以下系统。

   ${\begin{array}{*{7}{rc}r}i_{1}&-&i_{2}&&&&&&&&&&&=&10\\&&-i_{2}&+&i_{3}&&&&&&&&&=&25\\&&&&i_{3}&+&i_{4}&-&i_{5}&&&&&=&30\\&&&&&&&&-i_{5}&+&i_{6}&&&=&-20\\&&&&&&&&&&-i_{6}&+&i_{7}&=&-30\\&&&&&&&&&&&&0&=&0\end{array}}$

   由于自由变量是 $i_{4}$ 和 $i_{7}$，我们将它们视为参数。

   ${\begin{array}{rl}i_{6}&=i_{7}-30\\i_{5}&=i_{6}+20=(i_{7}-30)+20=i_{7}-10\\i_{3}&=-i_{4}+i_{5}+30=-i_{4}+(i_{7}-10)+30=-i_{4}+i_{7}+20\\i_{2}&=i_{3}-25=(-i_{4}+i_{7}+20)-25=-i_{4}+i_{7}-5\\i_{1}&=i_{2}+10=(-i_{4}+i_{7}-5)+10=-i_{4}+i_{7}+5\end{array}}$

   显然，$i_{4}$ 和 $i_{7}$ 必须为正数，事实上，第一个等式表明 $i_{7}$ 必须至少为 $30$。如果我们从 $i_{7}$ 开始，那么 $i_{2}$ 等式表明 $0\leq i_{4}\leq i_{7}-5$。

2. 我们不能让 $i_{7}$ 为零，否则 $i_{6}$ 将为负数（这意味着汽车在 Jay 的单行道上逆行）。然而，我们可以让 $i_{7}$ 小到 $30$，然后就有很多合适的 $i_{4}$。例如，解为

   $(i_{1},i_{2},i_{3},i_{4},i_{5},i_{6},i_{7})=(35,25,50,0,20,0,30)$

   当选择 $i_{4}=0$ 时得到的结果。