线性代数/主题：克拉默法则/解

解

问题 1

使用克拉默法则求解每个变量的值。

1. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&-&y&=&4\\-x&+&2y&=&-7\end{array}}$
2. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}-2x&+&y&=&-2\\x&-&2y&=&-2\end{array}}$

答案

1. $x=1$, $y=-3$
2. $x=-2$, $y=-2$

问题 2

使用克拉默法则求解这个系统关于 $z$ 的解。

${\begin{array}{*{4}{rc}r}2x&+&y&+&z&=&1\\3x&&&+&z&=&4\\x&-&y&-&z&=&2\end{array}}$

答案

$z=1$

问题 3

证明克拉默法则。

答案

行列式在经过任何类型的旋转操作后都不会改变，包括列旋转。因此，$\det(B_{i})=\det({\vec {a}}_{1},\dots ,x_{1}{\vec {a}}_{1}+\dots +x_{i}{\vec {a}}_{i}+\dots +x_{n}{\vec {a}}_{n},\dots ,{\vec {a}}_{n})$ 等于 $\det({\vec {a}}_{1},\dots ,x_{i}{\vec {a}}_{i},\dots ,{\vec {a}}_{n})$ （使用将第一列乘以 $-x_{1}$ 并加到第 $i$ 列的操作，依此类推）。这等于 $x_{i}\cdot \det({\vec {a}}_{1},\dots ,{\vec {a}}_{i},\dots ,{\vec {a}}_{n})=x_{i}\cdot \det(A)$，如所要求的那样。

问题 4

假设一个线性系统拥有与未知数数量相同的方程式，并且所有系数和常数都是整数，并且其系数矩阵的行列式为 $1$。证明解中的所有元素都是整数。（备注： 这经常用于为练习设计线性系统。如果讲师使用这个属性构建线性系统，那么解就不会是令人不快的分数。）

答案

因为 $A$ 的行列式非零，因此可以使用克莱姆法则。克莱姆法则表明 $x_{i}=\left|B_{i}\right|/1$。由于 $B_{i}$ 是一个整数矩阵，其行列式也是一个整数。

问题 5

使用克莱姆法则给出二元一次方程组解的公式。

答案

方程组

${\begin{array}{*{2}{rc}r}ax&+by&=&e\\cx&+dy&=&f\end{array}}$

的解是

$x={\frac {ed-fb}{ad-bc}}\qquad y={\frac {af-ec}{ad-bc}}$

当然，前提是分母不为零。

问题 6

克莱姆法则可以区分无解和无穷多解的线性方程组吗？

答案

当然，奇异矩阵的行列式 |A| 等于零，但是无穷多解的情况的特征是所有 |B_i| 也等于零。

问题 7

本主题中的第一张图片（没有使用行列式的图片）展示了唯一解的情况。为无穷多解的情况和无解的情况绘制类似的图片。

答案

我们可以一起考虑这两个非奇异情况，以及这个系统

${\begin{array}{*{2}{rc}r}x_{1}&+&2x_{2}&=&6\\x_{1}&+&2x_{2}&=&c\end{array}}$

当然，当 $c=6$ 时，它有无穷多个解；而当 $c$ 等于其他任何值时，它无解。相应的向量方程

$x_{1}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+x_{2}\cdot {\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6\\c\end{pmatrix}}$

给出了两个重叠向量的图像。它们都位于直线 $y=x$ 上。在 $c=6$ 的情况下，右边的向量也位于直线 $y=x$ 上，但在其他情况下，它不在上面。