线性代数/主题：克莱姆法则

线性代数
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我们已经通过寻找一个判断矩阵是否非奇异的公式，以代数方式引入了行列式函数。在此介绍之后，我们看到了一个几何解释，即行列式函数给出了由矩阵的列形成的盒子的尺寸。本主题建立了这两种观点之间的联系。

首先，一个线性系统

{\begin{array}{*{2}{rc}r}x_{1}&+&2x_{2}&=&6\\3x_{1}&+&x_{2}&=&8\end{array}}

等价于向量之间的线性关系。

x_{1}\cdot {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}+x_{2}\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6\\8\end{pmatrix}}

下图显示了一个平行四边形，其边由 ${\binom {1}{3}}$ 和 ${\binom {2}{1}}$ 形成，嵌套在一个由 $x_{1}{\binom {1}{3}}$ 和 $x_{2}{\binom {2}{1}}$ 形成的边组成的平行四边形内部。

因此，即使没有行列式，我们也可以用几何术语来陈述本书开头提出的代数问题，即找到线性系统的解：我们需要将向量扩大多少倍 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，才能将小平行四边形膨胀以填充较大的平行四边形？

然而，通过利用行列式的几何意义，我们可以得到一些不仅仅是重述的东西，它也为我们提供了新的见解，有时还可以让我们快速计算答案。比较这些阴影框的大小。

第二个盒子由 $x_{1}{\binom {1}{3}}$ 和 ${\binom {2}{1}}$ 构成，尺寸函数（即行列式）的一个性质是，其尺寸因此是第一个盒子的尺寸的 $x_{1}$ 倍。由于第三个盒子由 $x_{1}{\binom {1}{3}}+x_{2}{\binom {2}{1}}={\binom {6}{8}}$ 和 ${\binom {2}{1}}$ 构成，并且通过将第二列的 $x_{2}$ 倍加到第一列，行列式不变，因此第三个盒子的尺寸等于第二个盒子的尺寸。我们有以下结果。

{\begin{vmatrix}6&2\\8&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}x_{1}\cdot 1&2\\x_{1}\cdot 3&1\end{vmatrix}}=x_{1}\cdot {\begin{vmatrix}1&2\\3&1\end{vmatrix}}

求解得到其中一个变量的值。

x_{1}={\frac {\begin{vmatrix}6&2\\8&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2\\3&1\end{vmatrix}}}={\frac {-10}{-5}}=2

将这个例子推广得到的定理，即 **克莱姆法则 (Cramer's Rule)**，如下：如果 $\left|A\right|\neq 0$ ，则系统 $A{\vec {x}}={\vec {b}}$ 有唯一的解 $x_{i}=\left|B_{i}\right|/\left|A\right|$ ，其中矩阵 $B_{i}$ 由 $A$ 将第 $i$ 列替换为向量 ${\vec {b}}$ 得到。习题 3 要求证明该法则。