线性代数/主题：晶体/解决方案

解决方案

问题 1

一小块盐的一面有多少个基本区域？(用尺子，我们可以估计那一面是一个边长为$0.1$ 厘米的正方形。)

答案

每个基本单元是$3.34\times 10^{-10}$ 厘米，所以大约有$0.1/(3.34\times 10^{-10})$ 个这样的单元。这大约是$2.99\times 10^{8}$ 个，所以大约有$300,000,000$ 个(三亿)单元。

问题 2

在石墨图像中，假设我们对一个距离原点$5.67$ 埃向上，$3.14$ 埃向右的点感兴趣。

1. 用给定的石墨基底表示该点。
2. 该点距离原点多少个六边形？
3. 用第二个基底表示该点，其中第一个基底向量相同，但第二个基底向量垂直于第一个基底向量(向上穿过平面)并且具有相同的长度。

答案

1. 我们求解

   $c_{1}{\begin{pmatrix}1.42\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}1.23\\0.71\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5.67\\3.14\end{pmatrix}}\quad \implies \quad {\begin{array}{*{2}{rc}r}1.42c_{1}&+&1.23c_{2}&=&5.67\\&&0.71c_{2}&=&3.14\end{array}}$

   得到$c_{2}=\approx 4.42$ 和 $c_{1}\approx 0.16$。
2. 该点位于晶格中。在左侧的图像中，在晶胞上叠加了两个基底向量${\vec {\beta }}_{1}$ 和 ${\vec {\beta }}_{2}$，以及一个显示$0.16{\vec {\beta }}_{1}+4.42{\vec {\beta }}_{2}$ 偏移量的框。右侧的图片显示了该点在晶格中出现的位置，以左下角六边形的左下角为原点。

       

   所以这个点位于六边形下一列，向上一个或两个六边形，具体取决于你怎么数它们。

3. 这个第二个基底

   $\langle {\begin{pmatrix}1.42\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1.42\end{pmatrix}}\rangle$

   使计算更容易

   $c_{1}{\begin{pmatrix}1.42\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1.42\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5.67\\3.14\end{pmatrix}}\quad \implies \quad {\begin{array}{*{2}{rc}r}1.42c_{1}&&&=&5.67\\&&1.42c_{2}&=&3.14\end{array}}$

   (我们得到 $c_{2}\approx 2.21$ 和 $c_{1}\approx 3.99$), 但似乎与我们研究的物理结构关系不大。

问题 3

给出金刚石立方体中原子在基底和埃单位下的位置。

答案

就角原子的位置而言，它们是 $(0,0,0)$，$(1,0,0)$，…，$(1,1,1)$。面原子的位置是 $(0.5,0.5,1)$，$(1,0.5,0.5)$，$(0.5,1,0.5)$，$(0,0.5,0.5)$，$(0.5,0,0.5)$ 和 $(0.5,0.5,0)$。从顶部向下四分之一位置的原子是 $(0.75,0.75,0.75)$ 和 $(0.25,0.25,0.25)$。从底部向上四分之一位置的原子位于 $(0.75,0.25,0.25)$ 和 $(0.25,0.75,0.25)$。转换为埃很简单。

问题 4

这说明了如何从物质结晶的形状计算晶胞的尺寸（参见 Ebbing 1993，第 462 页）。

1. 回想一下，一摩尔中有 $6.022\times 10^{23}$ 个原子（这就是阿伏伽德罗常数）。根据这一点，以及铂的摩尔质量为 $195.08$ 克/摩尔，计算每个原子的质量。
2. 铂以面心立方晶格形式结晶，每个晶格点上都有原子，也就是说，它看起来像上面给出的金刚石晶体中间图。找到每个晶胞中的铂原子数（提示：将单个晶胞内的铂原子分数加起来）。
3. 由此，求出晶胞的质量。
4. 铂晶体密度为 $21.45$ 克/立方厘米。根据这一点以及晶胞的质量，计算晶胞的体积。
5. 求出每条边的长度。
6. 描述一个自然的三维基底。

答案

1. $195.08/6.02\times 10^{23}=3.239\times 10^{-22}$
2. $4$
3. $4\cdot 3.239\times 10^{-22}=1.296\times 10^{-21}$
4. $1.296\times 10^{-21}/21.45=6.042\times 10^{-23}$ 立方厘米
5. $3.924\times 10^{-8}$ 厘米。
6. $\langle {\begin{pmatrix}3.924\times 10^{-8}\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\3.924\times 10^{-8}\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\3.924\times 10^{-8}\end{pmatrix}}\rangle$

参考资料

• Ebbing, Darrell D. (1993), General Chemistry (第四版), Houghton Mifflin.