线性代数/主题：量纲分析/解题

解题

问题 1

考虑一个以初始速度$v_{0}$发射的弹丸，发射角度为$\theta$。对这种运动的调查可能从这些是相关量的猜想开始。（de Mestre 1990）

量	量纲   公式
水平位置 $x$	$L^{1}M^{0}T^{0}$
垂直位置 $y$	$L^{1}M^{0}T^{0}$
初始速度 $v_{0}$	$L^{1}M^{0}T^{-1}$
发射角度 $\theta$	$L^{0}M^{0}T^{0}$
重力加速度 $g$	$L^{1}M^{0}T^{-2}$
时间 $t$	$L^{0}M^{0}T^{1}$

1. 证明$\{gt/v_{0},gx/v_{0}^{2},gy/v_{0}^{2},\theta \}$是一组完整的无量纲积。（提示。这可以通过在出现的线性系统中找到适当的自由变量来完成，但有一个使用基性质的捷径。）
2. 以下两个运动方程是关于抛射体的熟悉方程：$x=v_{0}\cos(\theta )t$ 和 $y=v_{0}\sin(\theta )t-(g/2)t^{2}$。请将每个方程改写为前一项的无量纲乘积之间的关系。

答案

1. 这个关系

   $(L^{1}M^{0}T^{0})^{p_{1}}(L^{1}M^{0}T^{0})^{p_{2}}(L^{1}M^{0}T^{-1})^{p_{3}}(L^{0}M^{0}T^{0})^{p_{4}}(L^{1}M^{0}T^{-2})^{p_{5}}(L^{0}M^{0}T^{1})^{p_{6}}=L^{0}M^{0}T^{0}$

   导致这个线性系统

   ${\begin{array}{*{6}{rc}r}p_{1}&+&p_{2}&+&p_{3}&\ &\ &+&p_{5}&&&=&0\\&&&&&&&&&&0&=&0\\&&&&-p_{3}&&&-&2p_{5}&+&p_{6}&=&0\end{array}}$

   （注意，$p_{4}$没有限制）。自然参数化使用自由变量得到 $p_{3}=-2p_{5}+p_{6}$ 和 $p_{1}=-p_{2}+p_{5}-p_{6}$。由此得到的解集的描述

   $\{{\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\p_{4}\\p_{5}\\p_{6}\end{pmatrix}}=p_{2}{\begin{pmatrix}-1\\1\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}+p_{4}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}+p_{5}{\begin{pmatrix}1\\0\\-2\\0\\1\\0\end{pmatrix}}+p_{6}{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,p_{2},p_{4},p_{5},p_{6}\in \mathbb {R} \}$

   给出 $\{y/x,\theta ,xt/{v_{0}}^{2},v_{0}t/x\}$ 作为一个无量纲乘积的完整集合（回想一下，在这个上下文中“完整”并不意味着没有其他无量纲乘积；它仅仅意味着该集合是一个基底）。然而，这不是问题中要求的无量纲乘积集合。有两种方法可以继续。第一个是修改参数的选择，希望能找到合适的集合。为此，我们可以反过来进行上一段。将给定的无量纲乘积 $gt/v_{0}$, $gx/v_{0}^{2}$, $gy/v_{0}^{2}$, 和 $\theta$ 转换为向量，给出以下描述（注意参数所在位置的 *?*）。

   $\{{\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\p_{4}\\p_{5}\\p_{6}\end{pmatrix}}={\underline {\ {\textit {?}}\ }}{\begin{pmatrix}0\\0\\-1\\0\\1\\1\end{pmatrix}}+{\underline {\ {\textit {?}}\ }}{\begin{pmatrix}1\\0\\-2\\0\\1\\0\end{pmatrix}}+{\underline {\ {\textit {?}}\ }}{\begin{pmatrix}0\\1\\-2\\0\\1\\0\end{pmatrix}}+p_{4}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,p_{2},p_{4},p_{5},p_{6}\in \mathbb {R} \}$

   已经将 $p_{4}$ 放置到位。检查行发现，我们也可以将 $p_{6}$，$p_{1}$ 和 $p_{2}$ 放置到位。第二种方法，遵循提示，是注意到给定集合在四维向量空间中大小为四，因此我们只需要证明它是线性无关的。通过检查，通过考虑向量的第六个、第一个、第二个和第四个分量，很容易做到这一点。
2. 第一个方程可以改写为

   ${\frac {gx}{{v_{0}}^{2}}}={\frac {gt}{v_{0}}}\cos \theta$

   因此，白金汉函数为 $f_{1}(\Pi _{1},\Pi _{2},\Pi _{3},\Pi _{4})=\Pi _{2}-\Pi _{1}\cos(\Pi _{4})$。第二个方程可以改写为

   ${\frac {gy}{{v_{0}}^{2}}}={\frac {gt}{v_{0}}}\sin \theta -{\frac {1}{2}}\left({\frac {gt}{v_{0}}}\right)^{2}$

   这里白金汉函数为 $f_{2}(\Pi _{1},\Pi _{2},\Pi _{3},\Pi _{4})=\Pi _{3}-\Pi _{1}\sin(\Pi _{4})+(1/2){\Pi _{1}}^{2}$。

问题 2

爱因斯坦（爱因斯坦 1911）推测固体的红外特征频率可以由原子间的相同力决定，这些力也决定了固体的普通弹性行为。相关量为

量	量纲   公式
特征频率 $\nu$	$L^{0}M^{0}T^{-1}$
压缩性 $k$	$L^{1}M^{-1}T^{2}$
每立方厘米的原子数 $N$	$L^{-3}M^{0}T^{0}$
原子的质量 $m$	$L^{0}M^{1}T^{0}$

证明只有一个无量纲的乘积。由此得出，在任何关于具有这些量纲公式的量之间的完整关系中，$k$ 是一个常数乘以 $\nu ^{-2}N^{-1/3}m^{-1}$。这一结论在早期量子现象的研究中发挥了重要作用。

答案

我们考虑

$(L^{0}M^{0}T^{-1})^{p_{1}}(L^{1}M^{-1}T^{2})^{p_{2}}(L^{-3}M^{0}T^{0})^{p_{3}}(L^{0}M^{1}T^{0})^{p_{4}}=(L^{0}M^{0}T^{0})$

这给出了幂之间的关系。

${\begin{array}{*{4}{rc}r}&&p_{2}&-&3p_{3}&&&=&0\\&&-p_{2}&&&+&p_{4}&=&0\\-p_{1}&+&2p_{2}&&&&&=&0\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{3}}}\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{2}+\rho _{3}}}\;{\begin{array}{*{4}{rc}r}-p_{1}&+&2p_{2}&&&&&=&0\\&&-p_{2}&&&+&p_{4}&=&0\\&&&\ &-3p_{3}&+&p_{4}&=&0\end{array}}$

这是解空间（因为我们希望将 $k$ 表示为其他量的函数，$p_{2}$ 被视为参数）。

$\{{\begin{pmatrix}2\\1\\1/3\\1\end{pmatrix}}p_{2}\,{\big |}\,p_{2}\in \mathbb {R} \}$

因此，$\Pi _{1}=\nu ^{2}kN^{1/3}m$ 是无量纲组合，我们有 $k$ 等于 $\nu ^{-2}N^{-1/3}m^{-1}$ 乘以一个常数（函数 ${\hat {f}}$ 是常数，因为它没有参数）。

问题 3

发动机产生的扭矩的量纲公式为 $L^{2}M^{1}T^{-2}$。我们首先可以猜测它取决于发动机的转速（量纲公式为 $L^{0}M^{0}T^{-1}$），以及排气量（量纲公式为 $L^{3}M^{0}T^{0}$）（Giordano, Wells & Wilde 1987）。

1. 尝试找到一组完整的无量纲乘积。问题出在哪里？
2. 通过添加空气密度（量纲公式为 $L^{-3}M^{1}T^{0}$）调整猜测。现在找到一组完整的无量纲乘积。

答案

1. 设置

   $(L^{2}M^{1}T^{-2})^{p_{1}}(L^{0}M^{0}T^{-1})^{p_{2}}(L^{3}M^{0}T^{0})^{p_{3}}=(L^{0}M^{0}T^{0})$

   给出以下结果

   ${\begin{array}{*{3}{rc}r}2p_{1}&&&+&3p_{3}&=&0\\p_{1}&&&&&=&0\\-2p_{1}&-&p_{2}&&&=&0\end{array}}$

   这意味着 $p_{1}=p_{2}=p_{3}=0$。也就是说，在具有这些量纲公式的量中，唯一的无量纲乘积是平凡的。
2. 设置

   $(L^{2}M^{1}T^{-2})^{p_{1}}(L^{0}M^{0}T^{-1})^{p_{2}}(L^{3}M^{0}T^{0})^{p_{3}}(L^{-3}M^{1}T^{0})^{p_{4}}=(L^{0}M^{0}T^{0})$

   给出以下结果。

   ${\begin{array}{*{4}{rc}r}2p_{1}&&&+&3p_{3}&-&3p_{4}&=&0\\p_{1}&&&&&+&p_{4}&=&0\\-2p_{1}&-&p_{2}&&&&&=&0\end{array}}\;{\xrightarrow[{\rho _{1}+\rho _{3}}]{(-1/2)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{2}\leftrightarrow \rho _{3}}}{\begin{array}{*{4}{rc}r}2p_{1}&&&+&3p_{3}&-&3p_{4}&=&0\\&&-p_{2}&+&3p_{3}&-&3p_{4}&=&0\\&\ &&&(-3/2)p_{3}&+&(5/2)p_{4}&=&0\end{array}}$

   将 $p_{1}$ 作为参数来表达扭矩，可以得到以下解集描述。

   $\{{\begin{pmatrix}1\\-2\\-5/3\\-1\end{pmatrix}}p_{1}\,{\big |}\,p_{1}\in \mathbb {R} \}$

   用 $\tau$ 表示扭矩，用 $r$ 表示旋转速度，用 $V$ 表示空气体积，用 $d$ 表示空气密度，我们有 $\Pi _{1}=\tau r^{-2}V^{-5/3}d^{-1}$，所以扭矩是 $r^{2}V^{5/3}d$ 乘以一个常数。

问题 4

多米诺骨牌倒塌会形成波浪。我们可以推测波速 $v$ 取决于多米诺骨牌之间的间距 $d$，每张多米诺骨牌的高度 $h$ 以及重力加速度 $g$。 (Tilley)

1. 找出这四个量的量纲公式。
2. 证明 $\{\Pi _{1}=h/d,\Pi _{2}=dg/v^{2}\}$ 是一组完整的无量纲量。
3. 证明如果 $h/d$ 是固定的，那么传播速度与 $d$ 的平方根成正比。

答案

1. 这些是量纲公式。

   量	量纲   公式
   波速 $v$	$L^{1}M^{0}T^{-1}$
   多米诺骨牌之间的间距 $d$	$L^{1}M^{0}T^{0}$
   多米诺骨牌的高度 $h$	$L^{1}M^{0}T^{0}$
   重力加速度 $g$	$L^{1}M^{0}T^{-2}$

2. 关系式

   $(L^{1}M^{0}T^{-1})^{p_{1}}(L^{1}M^{0}T^{0})^{p_{2}}(L^{1}M^{0}T^{0})^{p_{3}}(L^{1}M^{0}T^{-2})^{p_{4}}=(L^{0}M^{0}T^{0})$

   给出了以下线性方程组。

   ${\begin{array}{*{4}{rc}r}p_{1}&+&p_{2}&+&p_{3}&+&p_{4}&=&0\\&&&&&&0&=&0\\-p_{1}&&&&&-&2p_{4}&=&0\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{1}+\rho _{4}}}\;{\begin{array}{*{4}{rc}r}p_{1}&+&p_{2}&+&p_{3}&+&p_{4}&=&0\\&&p_{2}&+&p_{3}&-&p_{4}&=&0\end{array}}$

   将 $p_{3}$ 和 $p_{4}$ 作为参数，解集可以这样描述。

   $\{{\begin{pmatrix}0\\-1\\1\\0\end{pmatrix}}p_{3}+{\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\1\end{pmatrix}}p_{4}\,{\big |}\,p_{3},p_{4}\in \mathbb {R} \}$

   这给出了一个完整的集合 $\{\Pi _{1}=h/d,\Pi _{2}=dg/v^{2}\}$。
3. 巴克莱姆定理指出 $v^{2}=dg\cdot {\hat {f}}(h/d)$，因此，由于 $g$ 是一个常数，如果 $h/d$ 是固定的，那么 $v$ 与 ${\sqrt {d\,}}$ 成正比。

问题 5

证明无量纲乘积在 ${\vec {+}}$ 操作（将两个这样的乘积相乘）和 ${\vec {\cdot }}$ 操作（将这样的乘积提升到标量的幂次）下形成一个向量空间。（向量箭头是为了避免混淆。）也就是说，证明对于任何特定的齐次系统， $m_{1}$，...，$m_{k}$ 幂次的这一组乘积

$\{m_{1}^{p_{1}}\dots m_{k}^{p_{k}}\,{\big |}\,p_{1},\ldots ,p_{k}{\text{ satisfy the system}}\}$

是一个向量空间。

$m_{1}^{p_{1}}\dots m_{k}^{p_{k}}{\vec {+}}m_{1}^{q_{1}}\dots m_{k}^{q_{k}}=m_{1}^{p_{1}+q_{1}}\dots m_{k}^{p_{k}+q_{k}}$

和

$r{\vec {\cdot }}(m_{1}^{p_{1}}\dots m_{k}^{p_{k}})=m_{1}^{rp_{1}}\dots m_{k}^{rp_{k}}$

(假设所有变量表示实数)。

答案

检查向量空间定义中的条件是例行公事。

问题 6

关于苹果和橘子的建议并不正确。考虑圆的常见方程 $C=2\pi r$ 和 $A=\pi r^{2}$.

1. 检查 $C$ 和 $A$ 具有不同的量纲公式。
2. 生成一个量纲不齐次（即，它将苹果和橘子加在一起）但对任何圆都成立的方程。
3. 前一项要求一个完整的但量纲不齐次的方程。生成一个量纲齐次但不完整的方程。

(仅仅因为老话不严格正确，并不妨碍它成为一个有用的策略。量纲齐次性通常被用作检查模型中使用的方程的合理性的方法。关于任何完整方程都可以很容易地被制成量纲齐次的论证，请参见 (Bridgman 1931, 第一章，尤其是第 15 页)。

答案

1. 周长的量纲公式是 $L$，即 $L^{1}M^{0}T^{0}$。面积的量纲公式是 $L^{2}$.
2. 一个是 $C+A=2\pi r+\pi r^{2}$.
3. 一个例子是这个公式，它将角度所对的弧长与半径和弧度制下的角度大小联系起来：$\ell -r\theta =0$。该公式中的两项都具有量纲公式 $L^{1}$。该关系在某些单位制（例如英寸和弧度）中成立，但在所有单位制（例如英寸和度）中都不成立。

参考文献

• Bridgman, P. W. (1931), Dimensional Analysis, Yale University Press.
• de Mestre, Neville (1990), The Mathematics of Projectiles in sport, Cambridge University Press.
• Giordano, R.; Wells, M.; Wilde, C. (1987), "Dimensional Analysis", UMAP Modules, COMAP (526).
• Einstein, A. (1911), Annals of Physics, 35: 686 {{citation}}: Missing or empty |title= (help).
• Tilley, Burt, Private Communication.