线性代数/主题：量纲分析

线性代数
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正如俗话所说，“你不能把苹果和橙子加在一起”。它反映了我们在应用中，量具有单位，并且跟踪这些单位是值得的。每个人都做过这样的计算，使用单位作为检查。

60\,{\frac {\text{sec}}{\text{min}}}\cdot 60\,{\frac {\text{min}}{\text{hr}}}\cdot 24\,{\frac {\text{hr}}{\text{day}}}\cdot 365\,{\frac {\text{day}}{\text{year}}}=31\,536\,000\,{\frac {\text{sec}}{\text{year}}}

然而，包含单位的概念可以超越簿记。它可以用来推断物理量之间可能存在的关系。

首先，考虑物理方程： ${\text{distance}}=16\cdot ({\text{time}})^{2}$ 。如果距离以英尺为单位，时间以秒为单位，那么这个关于落体的语句是正确的。但是，它在其他单位制中并不正确；例如，它在米-秒制中不正确。我们可以通过使 $16$ 成为一个量纲常数来解决这个问题。

{\text{dist}}=16\,{\frac {\text{ft}}{{\text{sec}}^{2}}}\cdot ({\text{time}})^{2}

例如，上述方程在码-秒制中成立。

{\text{distance in yards}}=16\,{\frac {(1/3)\,{\text{yd}}}{{\text{sec}}^{2}}}\cdot ({\text{time in sec}})^{2}={\frac {16}{3}}\,{\frac {\text{yd}}{{\text{sec}}^{2}}}\cdot ({\text{time in sec}})^{2}

因此，我们的第一点是，通过“包含单位”，我们的意思是我们将注意力限制在使用量纲常数的方程上。

通过使用量纲常数，我们可以对单位含糊其辞，只说所有量都是用长度单位 $L$ 、质量 $M$ 和时间 $T$ 的组合来测量。我们将把这三个称为量纲（这三个是我们在这个主题中需要的唯一三个量纲）。例如，速度可以用 ${\text{feet}}/{\text{second}}$ 或 ${\text{fathoms}}/{\text{hour}}$ 来测量，但在所有情况下，它都涉及到长度单位除以时间单位，所以速度的量纲公式是 $L/T$ 。类似地，密度的量纲公式是 $M/L^{3}$ 。我们更喜欢使用负指数而不是分数线，并且我们将在量纲中包含一个零指数，也就是说，我们将把速度的量纲公式写成 $L^{1}M^{0}T^{-1}$ ，密度的量纲公式写成 $L^{-3}M^{1}T^{0}$ 。

在这个语境中，“你不能把苹果加到橘子上”就变成了要检查方程式所有项是否具有相同量纲公式的建议。例如，以下这个自由落体方程式： $d-gt^{2}=0$ 。 $d$ 项的量纲公式是 $L^{1}M^{0}T^{0}$ 。对于另一项， $g$ 的量纲公式是 $L^{1}M^{0}T^{-2}$ （ $g$ 是上面给出的量纲常数 $16\,{\text{ft}}/{\text{sec}}^{2}$ ），而 $t$ 的量纲公式是 $L^{0}M^{0}T^{1}$ ，所以整个 $gt^{2}$ 项的量纲公式是 $L^{1}M^{0}T^{-2}(L^{0}M^{0}T^{1})^{2}=L^{1}M^{0}T^{0}$ 。因此，这两个项具有相同的量纲公式。具有这种性质的方程式称为 **量纲齐次** 方程式。

量纲公式为 $L^{0}M^{0}T^{0}$ 的量被称为 **无量纲** 量。例如，我们通过取圆心角所对弧长与半径的比值来测量角度

它是长度与长度的比值 $L^{1}M^{0}T^{0}/L^{1}M^{0}T^{0}$ ，因此角度的量纲公式是 $L^{0}M^{0}T^{0}$ 。

使用单位不仅仅是记账，而是将其用于得出结论的经典例子是考虑单摆周期的公式。

p={\text{--some expression involving the length of the string, etc.--}}

周期是以时间为单位的 $L^{0}M^{0}T^{1}$ 。因此，方程另一侧的量必须具有以某种方式组合的量纲公式，使得它们的 $L$ 和 $M$ 相互抵消，只剩下一个 $T$ 。下表列出了经验丰富的研究人员认为可能相关的量。唯一包含 $L$ 的量纲公式是用于弦长和重力加速度的公式。为了使这两个公式的 $L$ 相互抵消，它们出现在方程式中时必须处于比率中，例如，作为 $(\ell /g)^{2}$ ，或者作为 $\cos(\ell /g)$ ，或者作为 $(\ell /g)^{-1}$ 。因此，周期是 $\ell /g$ 的函数。

这是一个非凡的结果：在进行任何实际的摆动测量之前，我们仅仅通过纸笔分析，就能推导出这些量之间关系的一些信息。

要系统地进行量纲分析，我们需要了解两点（这些论点在 (Bridgman 1931) 的第二章和第四章中进行了论述）。首先，我们将看到，每个关于物理量的方程式都包含一项或多项的求和，其中每一项都具有以下形式

m_{1}^{p_{1}}m_{2}^{p_{2}}\cdots m_{k}^{p_{k}}

对于测量这些量的数字 $m_{1}$ ，...， $m_{k}$ 。

其次，请注意，构造一个量纲齐次的表达式的一个简单方法是取无量纲量的乘积或添加这些无量纲项。白金汉定理指出，任何关于具有量纲公式的量的完整关系都可以通过代数运算转化为一种形式，其中存在一个函数 $f$ 使得

f(\Pi _{1},\ldots ,\Pi _{n})=0

对于一组完整的无量纲量 $\{\Pi _{1},\ldots ,\Pi _{n}\}$ 。 (下面的第一个例子描述了什么是“完整的”无量纲量集。) 我们通常希望用其他量来表示其中一个量，例如 $m_{1}$ ，为此，我们将假设上述等式可以改写为

m_{1}=m_{2}^{-p_{2}}\cdots m_{k}^{-p_{k}}\cdot {\hat {f}}(\Pi _{2},\ldots ,\Pi _{n})

其中 $\Pi _{1}=m_{1}m_{2}^{p_{2}}\cdots m_{k}^{p_{k}}$ 是无量纲的，而 $\Pi _{2}$ ，..., $\Pi _{n}$ 不包含 $m_{1}$ (与 $f$ 一样，这里的 ${\hat {f}}$ 只是一个函数，这次是 $n-1$ 个参数的函数)。因此，为了进行量纲分析，我们应该找出哪些无量纲量是可能的。

例如，再次考虑摆的周期公式。

量	量纲公式
周期 $p$	$L^{0}M^{0}T^{1}$
绳长 $\ell$	$L^{1}M^{0}T^{0}$
摆锤质量 $m$	$L^{0}M^{1}T^{0}$
重力加速度 $g$	$L^{1}M^{0}T^{-2}$
摆动弧度 $\theta$	$L^{0}M^{0}T^{0}$

根据上面提到的第一个事实，我们预计该公式将具有（可能是一些项的总和）形式 $p^{p_{1}}\ell ^{p_{2}}m^{p_{3}}g^{p_{4}}\theta ^{p_{5}}$ 。为了利用第二个事实，找到哪些幂的组合 $p_{1}$ ，...， $p_{5}$ 产生无量纲乘积，请考虑以下方程式。

(L^{0}M^{0}T^{1})^{p_{1}}(L^{1}M^{0}T^{0})^{p_{2}}(L^{0}M^{1}T^{0})^{p_{3}}(L^{1}M^{0}T^{-2})^{p_{4}}(L^{0}M^{0}T^{0})^{p_{5}}=L^{0}M^{0}T^{0}

它对幂给出了三个条件。

{\begin{array}{*{5}{rc}r}&\ &p_{2}&\ &&+&p_{4}&&&=&0\\&&&&p_{3}&&&&&=&0\\p_{1}&&&&&-&2p_{4}&&&=&0\end{array}}

请注意， $p_{3}$ 为 $0$ ，因此摆锤的质量不会影响周期。该系统的 Gauss 消元和参数化给出了以下结果

\{{\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\p_{4}\\p_{5}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-1/2\\0\\1/2\\0\end{pmatrix}}p_{1}+{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}p_{5}\,{\big |}\,p_{1},p_{5}\in \mathbb {R} \}

(为了用其他量表示周期，我们取 $p_{1}$ 作为参数之一)。

以下是线性代数。无量纲量组包含所有满足上述条件的项 $p^{p_{1}}\ell ^{p_{2}}m^{p_{3}}a^{p_{4}}\theta ^{p_{5}}$ 。在“ $+$ ”运算（将两个无量纲量相乘）和“ $\cdot$ ”运算（将无量纲量乘以标量）（见练习 5）下，该集合形成一个向量空间。巴克莱定理中的“无量纲量的完整集合”意味着该向量空间的一个基。

我们可以先取 $p_{1}=1$ ， $p_{5}=0$ ，然后取 $p_{1}=0$ ， $p_{5}=1$ 来得到基。对应的无量纲量为 $\Pi _{1}=p\ell ^{-1/2}g^{1/2}$ 和 $\Pi _{2}=\theta$ 。因为集合 $\{\Pi _{1},\Pi _{2}\}$ 是完整的，巴克莱定理指出

p=\ell ^{1/2}g^{-1/2}\cdot {\hat {f}}(\theta )={\sqrt {\ell /g}}\cdot {\hat {f}}(\theta )

其中 ${\hat {f}}$ 是一个我们无法从这个分析中确定的函数（一年级物理教科书将通过其他方法证明，对于小角度，它近似于常数函数 ${\hat {f}}(\theta )=2\pi$ ）。

因此，对具有给定量纲公式的量之间可能关系的分析，已经产生了相当多的信息：摆的周期不依赖于摆锤的质量，并且它随摆线长度的平方根而增加。

在下一个例子中，我们尝试确定在相互引力吸引下绕轨道运行的太空中两个物体的公转周期。有经验的调查人员可以预期这些是相关的量。

量	量纲公式
周期 $p$	$L^{0}M^{0}T^{1}$
平均距离 $r$	$L^{1}M^{0}T^{0}$
第一个质量 $m_{1}$	$L^{0}M^{1}T^{0}$
第二个质量 $m_{2}$	$L^{0}M^{1}T^{0}$
万有引力常数 $G$	$L^{3}M^{-1}T^{-2}$

为了得到完整的无量纲乘积集，我们考虑方程

(L^{0}M^{0}T^{1})^{p_{1}}(L^{1}M^{0}T^{0})^{p_{2}}(L^{0}M^{1}T^{0})^{p_{3}}(L^{0}M^{1}T^{0})^{p_{4}}(L^{3}M^{-1}T^{-2})^{p_{5}}=L^{0}M^{0}T^{0}

这会导致一个系统

{\begin{array}{*{5}{rc}r}&&p_{2}&&&&&+&3p_{5}&=&0\\&&&&p_{3}&+&p_{4}&-&p_{5}&=&0\\p_{1}&&&&&&&-&2p_{5}&=&0\end{array}}

和这个解。

\{{\begin{pmatrix}1\\-3/2\\1/2\\0\\1/2\end{pmatrix}}p_{1}+{\begin{pmatrix}0\\0\\-1\\1\\0\end{pmatrix}}p_{4}\,{\big |}\,p_{1},p_{4}\in \mathbb {R} \}

如前所述，这里的线性代数是这些量的无量纲乘积的集合形成了一个向量空间，我们想要为该空间生成一个基，即无量纲乘积的“完整”集合。其中一个集合可以通过设置 $p_{1}=1$ 和 $p_{4}=0$ ，以及设置 $p_{1}=0$ 和 $p_{4}=1$ 得到 $\{\Pi _{1}=pr^{-3/2}m_{1}^{1/2}G^{1/2},\,\Pi _{2}=m_{1}^{-1}m_{2}\}$ 。有了它，白金汉定理说明这些量之间的任何完整关系都可以用这种形式表达。

p=r^{3/2}m_{1}^{-1/2}G^{-1/2}\cdot {\hat {f}}(m_{1}^{-1}m_{2})={\frac {r^{3/2}}{\sqrt {Gm_{1}}}}\cdot {\hat {f}}(m_{2}/m_{1})

备注。 先前公式的一个重要应用是当 $m_{1}$ 是太阳的质量，而 $m_{2}$ 是行星的质量。由于 $m_{1}$ 比 $m_{2}$ 大得多， ${\hat {f}}$ 的自变量近似为 $0$ ，我们可以想知道当 $m_{2}$ 变化时，公式的这部分是否保持近似恒定。看到这一点的一种方法是这样的。太阳比行星大得多，以至于相互旋转近似于太阳中心。如果我们将行星的质量 $m_{2}$ 改变 $x$ 倍（例如，金星的质量是地球质量的 $x=0.815$ 倍），那么引力会乘以 $x$ ，而作用在 $x$ 倍质量上的 $x$ 倍力，由于 $F=ma$ ，给出相同的加速度，围绕相同的中心（近似）。因此，轨道将相同，因此周期将相同，因此上述等式的右侧也保持不变（近似）。因此， ${\hat {f}}(m_{2}/m_{1})$ 当 $m_{2}$ 变化时，近似恒定。这就是开普勒第三定律：行星周期的平方与其绕太阳运行的平均轨道半径的立方成正比。

最后的例子是量纲分析最早的明确应用之一。瑞利勋爵考虑了深水波的传播速度，并建议以下为相关量。

量	量纲公式
波的速度 $v$	$L^{1}M^{0}T^{-1}$
水的密度 $d$	$L^{-3}M^{1}T^{0}$
重力加速度 $g$	$L^{1}M^{0}T^{-2}$
波长 $\lambda$	$L^{1}M^{0}T^{0}$

方程式

(L^{1}M^{0}T^{-1})^{p_{1}}(L^{-3}M^{1}T^{0})^{p_{2}}(L^{1}M^{0}T^{-2})^{p_{3}}(L^{1}M^{0}T^{0})^{p_{4}}=L^{0}M^{0}T^{0}

给出了这个系统

{\begin{array}{*{4}{rc}r}p_{1}&-&3p_{2}&+&p_{3}&+&p_{4}&=&0\\&&p_{2}&&&&&=&0\\-p_{1}&&&-&2p_{3}&&&=&0\end{array}}

并具有此解空间

\{{\begin{pmatrix}1\\0\\-1/2\\-1/2\end{pmatrix}}p_{1}\,{\big |}\,p_{1}\in \mathbb {R} \}

(如单摆示例，数量之一 $d$ 最终被发现与关系无关)。存在一个无量纲乘积 $\Pi _{1}=vg^{-1/2}\lambda ^{-1/2}$ ，因此 $v$ 是 ${\sqrt {\lambda g}}$ 乘以一个常数 ( ${\hat {f}}$ 是常数，因为它是不带参数的函数)。

如上三个例子所示，量纲分析可以帮助我们更深入地表达这些量之间的关系。如需进一步了解，可以参考经典著作（Bridgman 1931）——这本简短的书非常有趣。另一个来源是（Giordano、Wells & Wilde 1987）。关于量纲分析在建模中的地位的描述可以在（Giordano、Jaye & Weir 1986）中找到。

练习

问题 1

考虑一个以初速度 $v_{0}$ 、角度 $\theta$ 发射的弹丸。对该运动的探究可以从假设这些是相关的量开始。（de Mestre 1990）

量	量纲公式
水平位置 $x$	$L^{1}M^{0}T^{0}$
垂直位置 $y$	$L^{1}M^{0}T^{0}$
初始速度 $v_{0}$	$L^{1}M^{0}T^{-1}$
发射角 $\theta$	$L^{0}M^{0}T^{0}$
重力加速度 $g$	$L^{1}M^{0}T^{-2}$
时间 $t$	$L^{0}M^{0}T^{1}$

证明 $\{gt/v_{0},gx/v_{0}^{2},gy/v_{0}^{2},\theta \}$ 是一组完整的无量纲积。（提示：这可以通过在产生的线性系统中找到合适的自由变量来完成，但是有一个使用基的性质的捷径。）
以下两个关于抛射物的运动方程是熟悉的： $x=v_{0}\cos(\theta )t$ 和 $y=v_{0}\sin(\theta )t-(g/2)t^{2}$ 。对每个进行操作，将其改写为前一项中无量纲积之间的关系。

问题 2: 爱因斯坦（Einstein 1911）推测固体的红外特征频率可以通过确定固体普通弹性行为的原子间相同力来确定。相关量是

量	量纲公式
特征频率 $\nu$	$L^{0}M^{0}T^{-1}$
压缩率 $k$	$L^{1}M^{-1}T^{2}$
每立方厘米原子数 $N$	$L^{-3}M^{0}T^{0}$
原子质量 $m$	$L^{0}M^{1}T^{0}$

证明只有一个无量纲积。由此得出结论，在具有这些量纲公式的量之间的任何完整关系中， $k$ 是一个常数乘以 $\nu ^{-2}N^{-1/3}m^{-1}$ 。这个结论在早期量子现象研究中发挥了重要作用。

问题 3

发动机产生的扭矩具有量纲公式 $L^{2}M^{1}T^{-2}$ 。我们可以先猜测它取决于发动机的转速（量纲公式为 $L^{0}M^{0}T^{-1}$ ），以及排气量（量纲公式为 $L^{3}M^{0}T^{0}$ ）（Giordano, Wells & Wilde 1987）。

尝试找到一组完整的无量纲积。会发生什么问题？
通过添加空气密度（量纲公式为 $L^{-3}M^{1}T^{0}$ ）来调整猜测。现在找到一组完整的无量纲积。

问题 4

多米诺骨牌的倒塌会形成波浪。我们可以推测波速 $v$ 取决于多米诺骨牌之间的间距 $d$ 、每块多米诺骨牌的高度 $h$ ，以及重力加速度 $g$ 。 (Tilley)

找到这四个量的量纲公式。
证明 $\{\Pi _{1}=h/d,\Pi _{2}=dg/v^{2}\}$ 是一组完整的无量纲积。
证明如果 $h/d$ 是固定的，那么传播速度与 $d$ 的平方根成正比。

问题 5

证明无量纲积在 ${\vec {+}}$ 运算（将两个这样的积相乘）和 ${\vec {\cdot }}$ 运算（将该积提升到标量的幂次）下形成向量空间。（向量箭头是为了防止混淆。）也就是说，证明对于任何特定的齐次系统，这组 $m_{1}$ ，..., $m_{k}$ 的幂的积的集合

\{m_{1}^{p_{1}}\dots m_{k}^{p_{k}}\,{\big |}\,p_{1},\ldots ,p_{k}{\text{ satisfy the system}}\}

是向量空间，其运算规则为

m_{1}^{p_{1}}\dots m_{k}^{p_{k}}{\vec {+}}m_{1}^{q_{1}}\dots m_{k}^{q_{k}}=m_{1}^{p_{1}+q_{1}}\dots m_{k}^{p_{k}+q_{k}}

和

r{\vec {\cdot }}(m_{1}^{p_{1}}\dots m_{k}^{p_{k}})=m_{1}^{rp_{1}}\dots m_{k}^{rp_{k}}

(假设所有变量代表实数).

问题 6

关于苹果和橘子的说法是不正确的。考虑圆的常见公式 $C=2\pi r$ 和 $A=\pi r^{2}$ .

验证 $C$ 和 $A$ 具有不同的量纲公式。
写出一个不具有量纲齐次性（即，它加了苹果和橘子）但对任何圆都成立的等式。
上一题要求写出一个完整但不具有量纲齐次性的等式。写出一个具有量纲齐次性但不完整的等式。

(虽然老话不完全正确，但它仍然是一种有用的策略。量纲齐次性通常被用作检验模型中使用的等式合理性的方法。关于任何完整等式都可以很容易地变成量纲齐次性的论证，请参见 (Bridgman 1931, Chapter I, especially page 15.)

解答

参考文献

Bridgman, P. W. (1931), Dimensional Analysis, Yale University Press.
de Mestre, Neville (1990), The Mathematics of Projectiles in sport, Cambridge University Press.
Giordano, R.; Jaye, M.; Weir, M. (1986), "The Use of Dimensional Analysis in Mathematical Modeling", UMAP Modules, COMAP (632).
Giordano, R.; Wells, M.; Wilde, C. (1987), "Dimensional Analysis", UMAP Modules, COMAP (526).
Einstein, A. (1911), "Elementare Betrachtungen über die thermische Molekularbewegung in festen Körpern", Annals of Physics, 35: 686.
Tilley, Burt, Private Communication.

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