线性代数/主题：域/解答

解答

问题 1

证明实数构成域。

解答

这些检查都是常规的; 大多数只是说明该性质是如此熟悉，以至于不需要证明。

问题 2

证明这些是域。

1. 有理数 $\mathbb {Q}$
2. 复数 $\mathbb {C}$

解答

对于这两个结构，这些检查都是常规的。与先前的问题一样，大多数检查只是说明该性质是如此熟悉，以至于不需要证明。

问题 3

举一个例子，说明整数系不是域。

解答

对于 $2$ 没有乘法逆元，因此整数不满足条件 5。

问题 4

考虑集合 $\{0,1\}$，它服从上面给出的运算。证明它是域。

解答

这些检查可以通过列出所有可能性来完成。例如，为了验证加法的交换律，即 $a+b=b+a$，我们可以很容易地检查所有可能的对 $a$，$b$，因为只有四种这样的对。类似地，对于结合律，只有八种三元组 $a$，$b$，$c$，因此检查并不太长。(还有其他方法来进行检查，特别是，读者可能会认识到这些运算作为算术“模 $2$”。)

问题 5

给出合适的运算，使集合 $\{0,1,2\}$ 成为域。

解答

这些将起作用。

${\begin{array}{c|ccc}+&0&1&2\\\hline 0&0&1&2\\1&1&2&0\\2&2&0&1\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|ccc}\cdot &0&1&2\\\hline 0&0&0&0\\1&0&1&2\\2&0&2&1\end{array}}$

与前一项一样，可以列出所有情况来检查它们是否满足条件，尽管这种检查方法有点长(利用交换律有助于缩短工作量)。