线性代数/主题：域

线性代数
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仅涉及分数或仅涉及整数的线性组合比涉及实数的组合更容易计算，因为使用无理数进行计算很麻烦。其他数字系统，如有理数或整数，是否可以代替 $\mathbb {R}$ 在向量空间的定义中?

是和不是。如果我们把“工作”理解为本章的结果仍然成立，那么分析我们在本章中使用了实数的哪些性质，就会得出以下关于代数系统需要满足的条件，以便在 $\mathbb {R}$ 的位置“工作”。

定义 1.1

一个域是一个集合 ${\mathcal {F}}$ ，具有两个运算" $+$ " 和 " $\cdot$ "，使得

对于任何 $a,b\in {\mathcal {F}}$ $a,b\in {\mathcal {F}}$ ， $a+b$ $a+b$ 的结果在 ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$ 中，并且
- $a+b=b+a$
- 如果 $c\in {\mathcal {F}}$ ，则 $a+(b+c)=(a+b)+c$
对于任何 $a,b\in {\mathcal {F}}$ $a,b\in {\mathcal {F}}$ ， $a\cdot b$ $a\cdot b$ 的结果在 ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$ 中，并且
- $a\cdot b=b\cdot a$
- 如果 $c\in {\mathcal {F}}$ ，则 $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$
如果 $a,b,c\in {\mathcal {F}}$ ，那么 $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$
存在一个元素 $0\in {\mathcal {F}}$ $0\in {\mathcal {F}}$ ，使得
- 如果 $a\in {\mathcal {F}}$ ，那么 $a+0=a$
- 对于每个 $a\in {\mathcal {F}}$ ，存在一个元素 $-a\in {\mathcal {F}}$ ，使得 $(-a)+a=0$
存在一个元素 $1\in {\mathcal {F}}$ $1\in {\mathcal {F}}$ ，使得
- 如果 $a\in {\mathcal {F}}$ ，那么 $a\cdot 1=a$
- 对于每个元素 $a\neq 0$ 的 ${\mathcal {F}}$ ，存在一个元素 $a^{-1}\in {\mathcal {F}}$ ，使得 $a^{-1}\cdot a=1$ 。

由实数集以及通常的加法和乘法运算组成的数系自然是一个域。另一个域是由有理数集以及通常的加法和乘法运算组成的。一个不是域的代数结构的例子是整数数系——它不满足最后一条条件。

一些例子令人惊讶。在以下运算下，集合 $\{0,1\}$

${\begin{array}{c|cc}+&0&1\\\hline 0&0&1\\1&1&0\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|cc}\cdot &0&1\\\hline 0&0&0\\1&0&1\end{array}}$

是一个域（参见问题 4）。

我们可以将线性代数发展成一个向量空间理论，其标量来自任意域，而不是仅从 $\mathbb {R}$ 中获取标量。在这种情况下，本书中几乎所有陈述都可以通过将" $\mathbb {R}$ "替换为" ${\mathcal {F}}$ "来实现，因此通过将系数、向量条目和矩阵条目视为 ${\mathcal {F}}$ 的元素（“几乎”是因为涉及距离或角度的陈述是例外）。以下是一些示例；每个示例都适用于域 ${\mathcal {F}}$ 上的向量空间 $V$ .

对于任何 ${\vec {v}}\in V$ ${\vec {v}}\in V$ 和 $a\in {\mathcal {F}}$ $a\in {\mathcal {F}}$ ,
1. $0\cdot {\vec {v}}={\vec {0}}$ ，并且
2. $-1\cdot {\vec {v}}+{\vec {v}}={\vec {0}}$ ，并且
3. $a\cdot {\vec {0}}={\vec {0}}$ .
$V$ 子集的生成空间（线性组合的集合）是 $V$ 的子空间。
线性无关集的任何子集也线性无关。
在有限维向量空间中，任何两个基具有相同数量的元素。